02经济学解释的工具中级微观十八讲

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1、上海大学经济学院 韩太祥1第 2 讲经济学解释的工具上海大学经济学院 韩太祥2n第1节 重要的数学表达“我们需要数理经济学的工具来弄清这些基本的真理 吗？是的，需要。如果不是用严格的数学方法，牛 顿、麦克斯韦、爱因斯坦、玻尔就不可能完成那些 科学革命，这种科学革命触发了带来全世界经济增 长的产业革命。仅仅阅读19世纪的经济学著作或者 由教书匠和空谈家炮制的现代改写本，是不能使人 超越经济科学的幼儿园的，这就是严酷的现实” 萨缪尔逊为经济分析基础写的中文版前言，北京 经济学院出版社1990年版 上海大学经济学院 韩太祥3一、 实数和集合l1. 基本概念l实数：量上是一个闭联集或连续统；结构上有序

2、结 构、代数结构和拓扑结构上海大学经济学院 韩太祥4l集合论的语言和方法渗透于整个微观经济理论集合的元素和子集空集、补集、差集集合的并和交有序对和n维向量上海大学经济学院 韩太祥5l凸组合和凸集向量（点）的凸组合如果两个向量u和v，有 0，1， u （1 ） v，称为凸组合Rn上的凸集对于所有的x1S，x2 S ，如果有下列式子 ，则 是一个凸集 tx1（1t）x2 S ，对于所有的t（0t1） ，该式成立上海大学经济学院 韩太祥6qRn上的凸集（文字定义）：如果对于集合内的任意两 个点，这两个点的所有加权平均数也是同一集合的点 ，那么，此集合是凸的。这种加权平均数称为凸组合上海大学经济学院

3、韩太祥7l2. 相关的拓扑知识l度量和度量空间l极限、极限点和区间l开球和闭球l开集、闭集、有界集和紧集上海大学经济学院 韩太祥8二、 实值函数l1. 关系和函数l二元关系二元关系：任何有序对（s，t）把一个元素s S 与另一个元素t T 联系起来。任何有序对的集 合被认为构成了集合S与T 之间的一个二元关系上海大学经济学院 韩太祥9l函数函数是一类普遍但十分特殊的关系。一 个函数是一种将一个集合内的每个要素 与另一集合内的单个且唯一的元素联系 起来。称函数f 是从一个集合D到另一个 集合R的映射，写成f ：DR。D是定义 域，R是值域。f 的象是值域内的点集上海大学经济学院 韩太祥10l函数

4、、斜率和弹性如果yf ( xi )来表示两类变量之间的关系。 f (xi )表示函数随自变量变化而变化的速度，也 是几何意义上f ( xi )的斜率函数具体一点的斜率表示弹性。例如令qapb 是需求函数，其弹性为上海大学经济学院 韩太祥11l2. 凸函数与凹函数上海大学经济学院 韩太祥12上海大学经济学院 韩太祥13上海大学经济学院 韩太祥14如果函数可微，函数的凹凸性也可以按其一 阶导数来定义上海大学经济学院 韩太祥15l3. 拟凸函数与拟凹函数上海大学经济学院 韩太祥16上海大学经济学院 韩太祥17上海大学经济学院 韩太祥18上海大学经济学院 韩太祥19上海大学经济学院 韩太祥20三、 比

5、较静态分析l1. 比较静态的含义l作为测试理论的比较静态学l例如，MR（q）=MC（q）是厂商最优产量条件， 并且有R （q）C （q）。如何检验呢？l引入一个可观察的外生变量税率t，看它对模型中 另一个可观察的量q的影响上海大学经济学院 韩太祥21q一阶条件为：R，(x)C，(x)t0上海大学经济学院 韩太祥22上海大学经济学院 韩太祥23l比较不同均衡状态的比较静态分析上海大学经济学院 韩太祥24第1讲l2. 雅可比行列式如果由方程组 y1f1（x1，x2，x3）y2f2（x1，x2，x3）y3f3（x1，x2，x3）雅可比行列式为 上海大学经济学院 韩太祥25第1讲如果有就可以进行比较静

6、态分析上海大学经济学院 韩太祥26l3. 全微分和全导数上海大学经济学院 韩太祥27第1讲l4. 隐函数定理和隐函数法则l隐函数定理l隐函数法则f（x，y）=0，有全微分：fxdxfydy0，从而有该法则表明，即使隐函数的具体形式未知，仍 可通过取函数f的一对偏导数比值的负值，而求 得隐函数的偏导数上海大学经济学院 韩太祥28第1讲例： 生产可能性曲线为2x2 y2 225，求其边际转换率 移项为隐函数2x2 y2 225 0 ， 有fx4x， fy2y，从而边际转换率 上海大学经济学院 韩太祥29l推广到联立方程组的情况给定联立方程组，它们定义一组隐函数。如果 雅可比行列式不为零，可直接从n

7、个联立方程中 解得隐函数的偏导数，而不需要解出变量y上海大学经济学院 韩太祥30l5. 包络定理上海大学经济学院 韩太祥31上海大学经济学院 韩太祥32包络定理l假定 y 是 x 的函数 y = x2 + axl对于a 的不同取值, 这个函数代表了一族抛物线l如果a 取定一个值, 那么 y 变成仅仅是 x 的函数，同 时可以计算使得y最大的x的取值上海大学经济学院 韩太祥33包络定理对于不同的a，x和y的最优值上海大学经济学院 韩太祥34包络定理随着 a 增加, y (y*) 的最大值上升a 和 y 的关系是二 次的上海大学经济学院 韩太祥35包络定理l假定我们感兴 y* 如何随着 a 变化l

8、我们有两种方法可以做到这点直接计算 y 的斜率保持 x 在最优值不变，直接计算 y/a上海大学经济学院 韩太祥36包络定理l为了计算函数的斜率, 我们必须对于任意的a解出 x 的最优值dy/dx =2x + a = 0x* = a/2l替代, 得到y* = (x*)2 + a(x*) =(a/2)2 + a(a/2)y* = a2/4 + a2/2 = a2/4上海大学经济学院 韩太祥37包络定理l因此 dy*/da = 2a/4 = a/2 = x*l但是, 我们可以利用包络定理节约时间l对于a的微小变化, dy*/da 可以通过保持x 在 x* 不变， 直接从y 计算y/ aly/ a =

9、 xl保持 x = x*y/ a = x* = a/2l这和前面的结果相同上海大学经济学院 韩太祥38包络定理l包络定理 表示了，函数最优值对于参数的变化可以 通过保持 x (或者几个x) 在最优值不变，偏微分目标 函数获得上海大学经济学院 韩太祥39包络定理l包络定理可以扩展到 y 是多变量的函数 y = f(x1,xn,a)l寻找 y 的最优值包括求解n个一阶条件方程 y/xi = 0 (i = 1,n)上海大学经济学院 韩太祥40包络定理lx 的最优值将是 a 的函数x1* = x1*(a) x2* = x2*(a)xn*= xn*(a). .上海大学经济学院 韩太祥41包络定理l替代进

10、原目标函数获得了y (y*)最优值的表达式y* = f x1*(a), x2*(a),xn*(a),al求导，可得上海大学经济学院 韩太祥42包络定理l考虑一阶条件,如果 x 在它们的最优值，那么所有项 ，除了 f/a ，都等于0l因此,上海大学经济学院 韩太祥43l6. 一般函数模型的比较静态分析当任意外生变量或参数发生变化时，内生变量的均 衡值将如何变化l有显性解的情况把内生变量作为外生变量或参数的显性表示， 为了解某一参数微小变化如何影响内生变量， 仅需把均衡解对该参数求偏导数即可上海大学经济学院 韩太祥44第1讲例：市场模型上海大学经济学院 韩太祥45第1讲考虑P，有四个偏导数上海大学

11、经济学院 韩太祥46l没有显性解的情况这时需要运用隐函数定理和隐函数法则步骤如下对每个均衡恒等式依次取全微分选择一个外生变量，令其他所有外生变量微分为零，然后 以该外生变量的微分除以每个恒等式余下的各项，并将两 个微分的商视为比较静态导数（若模型包含两个以上外生 变量，应视为偏导数）解所得到的方程组，求出比较静态导数，解释其经济含义 （使用克莱姆法则）若有其它外生变量，其分析可重复步骤2和步骤3上海大学经济学院 韩太祥47第1讲例：市场模型可将市场模型表示成隐函数形式上海大学经济学院 韩太祥48第1讲F1和F2有连续偏导数；内生变量的雅可比行列式不为零因此，如果均衡解存在，依据隐函数定理，有上

12、海大学经济学院 韩太祥49第1讲尽管不能解出 我们可以写出由此， 可以同时得到。对上述恒等式依次 进行微分，有上海大学经济学院 韩太祥50第1讲从而有得到矩阵方程上海大学经济学院 韩太祥51第1讲由克莱姆法则，得到的解为上海大学经济学院 韩太祥52四、 最优化分析l1. 无约束最优化问题求解l一元函数极值的一阶、二阶条件l泰勒展开式l多元函数极值的一阶、二阶条件l根据海赛行列式判别二阶条件上海大学经济学院 韩太祥53第1讲l函数增减性和函数凹凸性函数凹凸性与二阶充分条件函数凹凸确定一条曲线或一个曲面如何弯曲。曲线上 任意两点连线，其线段位于曲线下（上）方（两点除 外），函数为严格凹（凸）函数。

13、线段可位于曲线下 （上）方，也可位于曲线中，函数为凹（凸）函数（严格）凹（凸）函数必有极大值（极小值）上海大学经济学院 韩太祥54凹（凸）性检验对函数f定义域内任意两点u和v，且对01，当且仅 当如果函数 f 可微，定义域内任意两点u 和 v，当且仅当上海大学经济学院 韩太祥55如果函数二次可微，二阶偏导数存在，因此， d2z有定义。当且仅当d2z处处为负（正）半定时 ，则二阶连续可微函数zf(x1，xn)是凹（ 凸）函数极大值要求（严格）拟凹性；极小值要求（严 格）拟凸性上海大学经济学院 韩太祥56l极值和拐点l函数最优化及其高阶检验l总量、平均量和边际量之间的关系以产量为例上海大学经济学院

14、 韩太祥57l2. 有约束最优化问题求解l代入法l拉格朗日方法l二阶条件l海赛加边行列式与二阶条件上海大学经济学院 韩太祥58l最优化条件：二阶微分和二阶导数二阶微分条件上海大学经济学院 韩太祥59第1讲二阶导数条件极大值极小值一阶偏导数全为零fx0，fy0fx0，fy0二阶偏导数判别1fxx0， fyy0 （d2z 0） fxx 0， fyy 0 （d2z 0） 二阶偏导数判别2 fxx fyy （ fxy ）2fxx fyy （ fxy ）2上海大学经济学院 韩太祥60n假定 y = f(x1, x2)n最大值点的一阶条件y/x1 = f1 = 0y/x2 = f2 = 0n为了保证这个点

15、是最大值点, 从任何方向离开 驻点 y 必须减小上海大学经济学院 韩太祥61nx1 方向的斜率 (f1) 必须在驻点减小nx2 方向的斜率 (f2) 必须在驻点减小n但是, 交叉导数 (f12 = f21) 也必须满足约束，以 保证dy 对于任何方向离开驻点的运动都会减少上海大学经济学院 韩太祥62ny 的全微分dy = f1 dx1 + f2 dx2n这个函数的微分是 d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx22n根据Young定理, f12 = f21 并且 d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22上海大学经济学院 韩太祥63d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22n为了使得这个方程对于x的任何方向都是负的, f11 和 f22 必须是负的n如果 dx2 = 0, 那么 d 2y = f11 dx12q为了 d 2y 0q二阶导数 (f11 和 f22) 负的足够大使得它们足以超过来 自交叉导数 (f12