第四节 假设模态法在采用模态叠加法讨论连续系统的响应时，是将连续系统的解写作全部模态函数的线性组合： ：模态函数：模态坐标 若取前 n 个有限项作为近似解，则有：：应该是系统的模态函数，但实际中由于无法得到等原 因而代以假设模态，即满足部分或全部边界条件，但 不一定满足动力学方程的试函数族与假设模态所对应的广义坐标.一、假设模态法概述假设模态法是连续系统的另一类离散化的方法，它是利用有限个已知的模态函数线性组合近似确定系统的响应n值取决于精度要求，n越多精度越高，但同时也带来计算量越大， 是系统的实际模态函数，计算时以假设模态近似，满足部分或全部边界条件，n越大， 越接近真实的模态，解的精度越高用假设模态法可以建立由有限个广义坐标表示的动力学方程 二、广义坐标的动力学方程满足几何边界条件的假设模态二、广义坐标的动力学方程写成矩阵形式：梁上由 和 处集中力 引起的非保守力虚功令代入拉格朗日方程矩阵形式方程显然与集中质量法求法（解法）不同，结果形式相同，即都离散为一个有限自由度系统例题：变截面圆轴一端自由，一端固定，如图截面的极惯性 矩 ，求轴扭转振动的前两阶固有频率。
解：将轴的扭转假设模态的线性组合设等截面精确解由 得 注意：由于近似模态不是真正自然振型，故相当于增加约束即刚度，所以对于各阶近似频率均有 ，即它解出了的上限 工程上常取一系列近似方案，并算出结果中选一组最小的以梁的弯曲振动为例，设梁以某阶模态中作频率 的自由振动：（瑞利法使用单个试函数）由机械能守恒 （保守系统）三、瑞利法（基于能量原理的假设模态法）称为系统参考动能若分子、分母用近似函数 表示，是精确模态时， 为精确频率；若 是试函数（它满足位移边界条件，不满足动力学方程）则 为近似解；同样的理由瑞利商对于有集中质量和弹性支承的情况有例题：等截面悬臂粱在自由端处有一集中质量量 ，用瑞利法估计其基频解：若选均布载荷下静变形曲线为试函数：若选均布载荷下静变形曲线为试函数：均布载荷下静变形曲线为试函数：若采用自由端受集中力静挠曲线为试函数若采用自由端受集中力静挠曲线为试函数若采用自由端受集中力静挠曲线为试函数问题：请同学回答哪个是精确解？为什么？ 均布载荷下静变形曲线为试函数：若采用自由端受集中力静挠曲线为试函数将瑞利法使用的单个试函数改进为若干个独立的试函数 的线性组合。
使瑞利商取驻值，即 得到关于 的齐次线性方程，非零解条件可计算系统固有频率为满足位移边界条件的试函数族，称作里茨基函数 选择系数四、里茨法 （改进的瑞利法）对梁的弯曲振动有求导，得到本征方程：这又是多自由度系统特征值问题，它可求得n个本征值 和特征向量 以及各阶模态1. 可以求除基频以外的高阶频率；2. 改善瑞利法对基频的估计，基频精度更提高了此外，里兹法与假设模态法相比，若两者用了相同试函数则结果完全相同，而里兹法的极值是偏导数所得，假设模态的极值直接由拉氏（变分）原理得到里兹法相对瑞利法的改进优点：例题：图示楔形悬臂粱宽度为1，距固定端 处高用里兹法求系统的前二阶固有频率 解：设由特征方程精确解求基频取误差3.07％采用等截面悬臂梁的模态函数复杂，所以不采用若取误差仅为0.065% 0.07% 若要取得较好的 ，可取精确解作业：6.17模态综合法工程上通常只取子结构的若干阶低阶模态参与综合考虑界面协调条件后，使广义坐标数进一步减少，对于复杂结构，采用模态综合法可大大节省计算工作量模态综合法是非常有效分析方法如飞机、汽轮机组• 有限元法20世纪五六十年代发展起来的方法.• 吸取了集中质量法与假设模态法的优点.•有限元法是目前工程中计算复杂结构广泛使用的方法.每个单元作为弹性体，单元内各点的位移用节点位移的插值 函数表示（单元的假设模态）.由于是仅对单元、而非整个结构取假设模态，因此模态函数 可取得十分简单，并且可令各个单元的模态相同.将复杂结构分割成有限个单元，单元端点称为节点，将节点的 位移作为广义坐标，并将单元的质量和刚度集中到节点上.以杆的纵向振动为例进行介绍.杆的纵向振动单元质量矩阵和刚度矩阵的求解将杆划分为多个单元;取出其中一个单元进行分析.两端节点位移 u1(t)、u2(t)x 位置截面的位移：：单元假设模态 （形函数）取为一个节点坐标有单位位移、而其余节点坐标皆为零时，单元的静变形函数: 例如：x 位置截面的位移：单元动能：单元质量矩阵为常数时：材料密度：截面积单元势能：单元刚度矩阵为常数时：弹性模量f (x, t) 对虚位移 的虚功：：与节点坐标ue 对应的单元广义力列阵若轴向力 f (x,t) 为常力全系统的动力学方程以上对单元所作的分析必须进行综合，以扩展到总体结构.以一个例子进行说明:杆划分为三个单元单元质量矩阵：单元刚度矩阵：单元坐标全部节点坐标列阵：节点坐标约束条件：只有三个独立定义独立的广义坐标：广义坐标列阵：节点坐标与广义坐标之间的关系：全系统的动能：质量矩阵 M 也可直接利用单元质量矩阵组集而成.方法：将单元质量矩阵 me1、me2 和 me3 的各个元素统一按 qi (i=1,2,3) 的下标重新编号，放入 M 中与编号相对应的行和列中：单元质量矩阵：和广义坐标 相对应的质量矩阵：全系统的势能：也可组集得到：当杆上有常值轴向力作用时，三根杆的广义外力阵为：系统的广义力阵：作用力的总虚功：与广义坐标 q 对应的广义力阵.也可将Fe1、Fe2 和 Fe3 的各个元素统一按 qi (i=1,2,3) 的下标重新编号，放入 Q 中与编号相对应的行和列中:用广义坐标阵 q 表示的广义质量阵、广义刚度阵和广义外力阵：用广义坐标阵 q 表示的全系统的动力学方程：。