2.2无阻尼的自由振动和振型 振动力学课件

《2.2无阻尼的自由振动和振型 振动力学课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.2无阻尼的自由振动和振型 振动力学课件（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二节无阻尼的自由振动和振型 振型叠加（模态分析法）：求解多自由度系统运动微分方程组常用两种方法：直接积分法：通过直接积分微分方程求出方程的解；通过坐标变换，使耦合的运动微分方程转化为一组新坐标下的相互独立运动微分方程，对已经解耦的每一个方 程就像单自由度系统一样地可独立求解，然后再进行坐标 的反变换，求得原坐标的振动响应解。无阻尼单自由度系统在任意初始条件下产生的自由振动总是以固有频率进行的简谐振动；无阻尼多自由度系统在任意初始条件下产生的自由振动是怎样的振动？问题：无阻尼自由振动，则表明系统内各个坐标偏离平衡值均以同一频率 和同一初相角 作不同振幅（振幅不唯一）的简谐运动。（广义本征值问题

2、）有非零解的充要条件是 （系数行列式等于零）动力学微分方程为即 展开后得到 的n次代数方程，即为系统的本征方程：频率方程分三种情况讨论频率方程：A. 频率方程不重根情形B. 频率方程的零根情形C. 频率方程重根情形A. 频率方程不重根情形：一、固有频率当 为正定阵，即系统为平衡状态稳定时，各坐标只能在平衡位置附近作微幅简谐运动。频率方程在 的n个正实根，即系统的本征值。每个本征值所对应的 称为系统的n个固有频率。多自由度系统的固有频率与单自由度系统相同，与初始条件无关，仅取决于系统自身的物理参数 、 。对于多自由度系统的自由振动等于n个不同频率的n个简谐振动的叠加，通常不再是简谐振动，也不是周

3、期性振动（除 可通约的情况） 最低的固有频率 为系统的基频。将其按大小排列：二、模态（振型）系统的本征向量 有非零解（即与相应 对应），显然 有n个，即模态：每个固有频率对应于系统的一种特定的振动形态。主振动：系统以任一个固有频率所作的振动。由线性代数可知 ， 不是本征方程的重根时，只有一个不独立方程。不失一般性，将最后一个方程除去，含 的项移至右端，此非齐次方程的解为这相当于令左端的系数行列式不等于零， ，并划去相应行后解出非齐次方程。列阵 表示系统作第i阶主振动时，各坐标振幅的相对比值。这相对比值完全由系统的物理性质确定，与初始状态无关，称为与 对应的第i阶主振型或第i阶模态。对应的振动解

4、为为任意常数，由初始运动状态决定，从而系统总响应为各阶模态响应的线性组合，将各阶主振型 排列为一矩阵即称为系统的模态矩阵或模态结论：系统的固有频率和模态完全由系统的物理参数 确定，是系统的固有特性。系统的模态矩阵或模态是各本（特）征值（固有频率）所对应的本征向量（固有振型）组成的。汽车简化模型例题2-1：汽车振动简化模型如图，已知汽车质量为m，对质心转动惯量为J，刚度系数分别为 ，长度尺寸 ，重心到O点的距离 试求： （1）动力学方程及其讨论；时的固有频率和模态。（2）解：动力学微分方程为可见，方程既有惯性耦合（惯性力之间相互联系）又有弹性耦合。讨论:(1)若取O与C重合，即消除惯性耦合(2)

5、若取，则消除弹性耦合解耦（2）取质心坐标，则有令请问：它的一阶、二阶模态怎样？或 （ 教材书）汽车简化模型的模态小结：固有频率M 正定，K 正定正定系统：主振动：代入振动方程： 有非零解的充分必要条件：特征方程 频率方程或特征多项式最小的固有频率： 为基频。特征值特征向量（固有频率）（模态）在特征向量中规定某个元素的值以确定其他各元素的 值的过程称为归一化 。主振动仅取决于系统的 M 阵、K 阵等物理参数。小结：模态特征值问题：描述了系统做第 阶主振动时具有的振动形态，称为第 阶主振型，或第 阶模态。三、模态的正交性两式相减：转置右乘左乘若 时， 模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性恒成立

6、由 均满足：四、主质量和主刚度当 时第 阶模态主质量第 阶模态主刚度第 阶主模态模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性主质量主刚度当 时利用 Kronecker 符号： 当 时第 阶固有频率：定义：全部主质量皆为1的主模态 五、正则模态（简正模态）令：正则模态和主模态之间的关系：相对于 的主刚度：正则模态矩阵正则模态的正交性条件：主模态的正交性条件：第 i 阶模态主质量第 i 阶模态主刚度第 i 阶主模态主模态：主质量为1固有频率的平方第 i 阶正则模态正则模态：多自由度系统：模态矩阵主质量矩阵主刚度矩阵对角阵推导：对角阵多自由度系统：正则模态将 组成矩阵正则模态矩阵单位矩阵谱矩阵正交性条件

7、：根据正则模态的正交性：单位矩阵 即 对角矩阵 即 例题22 如图系统求其固有频率、模态、主质量、主刚度、正则模态。解：特征方程为 令有三次方程主质量：主刚度：正则模态：除以算出各简正模态如图且将各练习：三自由度系统2k mmmk2kkx1x2x3求其固有频率、模态、主质量、主刚度、正则模态。解：动力学方程：2k mmmk2kkx1x2x3令 模态图形：1121-11-11第一阶模态：第二阶模态：第三阶模态：2k mmmk2kkx1x2x3无节点一个节点两个节点第二阶模态有 1 个节点，第三阶模态有 2 个节点，这由主振型内元素符号变号的次数可以判断出。模态矩阵：主质量矩阵：主刚度矩阵：谱矩阵

8、：正则模态和主模态之间的关系：小结：模态的正交性，主质量和主刚度若 时， 模态关于质量的正交性模态关于刚度的正交性第 i 阶模态主质量第 i 阶模态主刚度第 i 阶固有频率 ：正则模态：全部主质量皆为1；正则模态和主模态之间的关系：当 ，作业：如图系统：求其固有频率、模态、主质量、主刚度、正则模态 。解：（取小数点后四位数）（取小数点后四位数）（取小数点后四位数）主质量：主刚度：除以算出各正则模态将各主坐标下动力学方程（可检验固有频率值）六、模态叠加法耦合与坐标变换质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合。刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合。耦合的表现形式取决于坐标的选择耦合的表现形式取决于坐

9、标的选择同一个系统选择两种不同的坐标X 和Y 有变换关系：坐标坐标X X下系统：下系统：坐标坐标Y Y下系统：下系统：其中其中T T是非奇异矩阵是非奇异矩阵模态叠加法：应用主坐标能使多自由度系统的振动转化为n个独立的主振动叠加的分析法。主坐标：利用模态矩阵进行坐标变换后的新坐标。表明系统振动可表示为n阶主振动的叠加，故又称模态叠加法。六、模态叠加法n个模态 的正交性表明它们是线性独立的，可用于构成n维空间的基故空间内，任一向量可 表为这些基(模态)的线性组合，即模态叠加法 物理坐标主模态坐标(主坐标)模态矩阵坐标关系：另一种模态坐标：正则模态坐标物理坐标系统响应：正则模态矩阵多自由度系统：可采

10、用两类模态坐标进行描述：主模态坐标正则模态坐标求解无阻尼系统对初始条件的响应可分别采用两类模态坐标进行求解。自由振动方程： 1.采用主模态坐标：坐标变换：主模态坐标：主模态矩阵代入，并左乘 ：系统动力学方程 均为对角阵主坐标建立动力学方程此式是完全解耦方程组，相当于n个独立的单自由度系统各方程解为 2n个待定常数取决于坐标初始条件（主坐标）得系统的自由振动规律。模态坐标初始条件：再由变换为原坐标物理坐标，此外，代入系统的动能、势能公式得这表明各不同模态间不存在能量交换，这又是对正交性的物理解释。例题2 试计算22.1汽车振动的主质量、主刚度，并求出时， 系统的自由振动规律。解：由前面得出由得由

11、主坐标： 固有频率： 实际坐标表示系统自由振动规律：练习：求出时， 系统的自由振动规律。求解无阻尼系统对初始条件的响应2、采用正则模态坐标:坐标变换：正则模态坐标正则模态矩阵代入，并左乘 ：模态坐标初始条件：系统动力学方程 坐标变换：在求得 后，可利用 式求得原系统的解 。例：三自由度弹簧质量系统求：系统在初始条件下的响应。2k mmmk2kkx1x2x32k mmmk2kkx1x2x3解：动力学方程：模态初始条件：正则模态矩阵：固有频率：mk /23=wmk /32=wmk /1=w2k mmmk2kkx1x2x3模态坐标响应：mk /23=wmk /32=wmk /1=w原系统响应：mk

12、/23=wmk /32=wmk / 1=w也可展开求解：合并后结果完全一样分析：第1阶模态响应第2阶模态响应 第3阶模态响应第1阶模态第2阶模态第3阶模态分析：系统响应为各阶模态响应的叠加第1阶模态响应第2阶模态响应第3阶模 态响应第1阶模态第2阶模态第3阶模态多自由度系统模态叠加法的本质原因多自由度系统模态叠加法的本质原因第1阶模态主振动第2阶模态主振动第3阶模态主振动决定各质量每一时刻 位移的相对比值（以 为振动频率）（以 为振动频率）（以 为振动频率）小结: 模态叠加法物理空间耦合主模态空间解耦耦合正则模态空间 解耦物理空间随堂练习：如图所示多自由度系统。 系统存在初始条件： 试采用模态

13、叠加法求解系统响应。 随堂练习：如图所示量自由度系统。 系统存在初始条件： 试采用模态叠加法求解系统响应。 运动微分方程为： 有模态矩阵： 频率：坐标变换：模态空间的初始条件为 系统存在初始条件： 解：模态空间的初始条件为 补：模态截断法 对自由度数 n 很大的复杂振动系统，不可能求出全部的固有频率和相应的主振型，然后用模态叠加法分析系 统对激励的响应。 当激励频率主要包含低频成分时，可以撇去高阶振型及 固有频率对响应的贡献，而只利用较低的前面若干阶固 有频率及主振型近似分析系统响应。模态截断法或振型截断法截断前：截断后：n 自由度系统 将前 r 阶模态 中组成的截断模态矩阵 记为: 截断的主

14、质量矩阵和主刚度矩阵 截断前主质量主刚度截断后分别为前 r 个主质量和主刚度排成的 r 阶对角矩阵 。分别为前 r 个主质量和主刚度排成的 r 阶对角矩阵 刚度阵同质量阵截断后的主质量矩阵：截断后的主刚度矩阵：系统的任意 n 阶振动近似地表示为截断后的 r 阶模态和线性组合： 截断后的主坐标列阵利用模态截断法可将 n 自由度系统原有的 n 个坐标变换成较少的前 r 个主坐标 。n 自由度系统：代入并左乘得：求出 后，再利用 得到原 n 自由度系统的近似解注：采用正则模态时，过程同上.例题23 如图系统用截断模态法（r=2）列出系统的主坐标方程。截断主坐标下的动力学方程小结：模态截断法将前 r 阶模态 中组成的截断模态矩阵记为: 截断前主质量主刚度截断后求出 后，再利用 得到原 n 自由度系统的近似解得：重点：频率方程不重根情形下，能够建立多自由度动力学方程，计算系统的固有频率模态（振型）、模态正交性、主质量和主刚度、正则模态（简正模态）。