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1、线 性 代 数 综 合练 习 题（三）一、填空题：；解：把行列式按第一列展开第一个行列式按第三行展开 ，第二个行列式按第一行展 开，2、设A为四阶方阵，且R（A）=2，则；解：因为A为四阶方阵，且秩为2，所以A的任何3 阶子式为零，而A的伴随矩阵 的元素为A的3阶 子式，故 为零矩阵，所以 0。3、设向量组 的秩为2，则t= ; 解： 对下面矩阵施行初等行变换因为的秩为2，所以A的秩也为2，故4、已知n 阶可逆阵A的任意行和 等于2，则 的一个特征值 为 ；解：因为A的任意行和为2，所以即2为A的一个特征值， 为对应的特征向量，所以5为 的一个特征值 。 5、设A，B均为n阶方阵，且则。解：所
2、以答案为二、选择题1. 设 线性相关 线性无关, 则正确的结论是线性无关线性表示答: 正确的结论为C.线性相关线性表示2、设为正定二次型，则 t 的取值范围解：因为f为正定二次型，所以 二次型矩阵A为正定矩阵，故A 的行列式大于零，即解得所以选(c).3、设A为 矩阵，B 为 矩阵，则下面结论正确的是。解：因为AB为m阶方阵，当 时，有 所以选(b).4、A为n阶方阵，则 必为 (a) 正交阵； (b) 对称阵; (c) 可逆阵； (d) 正定阵。解：所以 为对称矩阵。 5、设n阶方阵A，B，C满足 ABC=E，则下面结论正确的是 (a) ACB=E; (b) CBA=E; (c) BAC=E
3、; (d) BCA=E.解：因为ABC=E，所以A可逆，且A的逆矩阵为BC，因此有BCA=E，故选(d).解：因为A为正交矩阵，所以有即故选(d).6、已知A为正交矩阵，则 为(a) 1 ; (b) -1; (c) 0 ; (d) 1 或 1。1. 设三阶矩阵其中 均为三维行向量.且求解:三，计算下面各题：2、验证 是 的一个基， 并将 用该基线性表示。解： 因为 是三个三维向量，故只需证 明它们线性无关即可，也就是由它们为列构成的 矩阵 A与单位矩阵E等价，而 由它们线行表示 ，就是求方程组 的解 ，因 此对矩阵施行初等行变换所以 线性无关 ，即为 的一个基，且 由 线性表示为3、四元非齐次
4、线性方程组AX=b,且 R(A)=2,已知 是它的三个解向量，求其通解。其中解： 由于非齐次线性方程AX=b, 为四元，且 R(A)=2,所以对 应的齐次线性方程组的基础 解系含有两个解向量，为AX=b的解，为AX=b的一个特解，为方程组AX=0的两个解，且 是线性无关的，所以可以作为 基础解系，因此非齐次线性方 程组的通解为(其中 为任意实数) 4、设二阶方阵A满足求An。解：由已知得5、设向量组A ：求：秩及一个 极大无关组(写出计算过程)。 解：由 为列构成矩阵A，并对其 施行初等行变换，所以，秩 为3，为一个极大无关组。四、设线性方程组判断其相容性，若相容 ，求出其所有解。 解：对增广
5、矩阵B=(A b)施行初等行变换可知R(A)=R(B)=3,所以方程组 是相容的，其同解方程组为取 为自由未知量，得方程组的所有解为(其中 c 为任意实数)。五、设方阵问：A是否可以对角化，若 可以，求出一个正交阵，使其化为对角阵。解：因为A是一个实对称矩阵，所以必存在 一个正交矩阵P，使 即A能对角化；解特征方程 得A的 特征值， 当 时，解方程组即得基础解系的解向量为它们已经正交，只需单位化取当 时，解方程组 即得基础解系的解向量为单位化得以为列构成的矩阵P 既为所求的正交矩阵，易证其中六、设二次型用正交变换法将其化为标准 形,并写出所用的正交变换。 解：二次型矩阵为解A的特征多项式即解得A的特征值为当 时，解方程组得基础解系单位化得当 时，解方程组得基础解系当 时，解方程组得基础解系单位化得由 为列作正交矩阵易验证所以二次型经正交变换X=PY 化为标准形所用的正交变换为若进一步地令 用正交变换把其化为 标准形，并确定k为何值时，B为正定阵，则由 得所以有 即有正交变换X=PY 使当 时，B为正定阵。完
