5-高等数学实验-1

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1、 数学实验高等数学分册-1数学实验第5.1章 函数与极限第1章函数与极限验证性试验实验一 函数图形 实验二 函数的极限 实验三 复合函数与反函数第1章函数与极限-验证性实验实验一 函数图形【实验目的】 1.了解基本初等函数及图形特征，会用Matlab图形 命令画图； 2.会画复合函数、参量函数及分段函数的图形。【实验要求】 熟悉Matlab图形命令plot第1章函数与极限-验证性实验【实验内容】 1.利用图形命令分别在同一坐标系下画出下列基本初等函数 的图形，并观察图形特征 （1） 【实验过程】1.（1）x=-1:0.01:1;y1=x;y2=x.2;y3=x.3;y4=x.4;plot(x,

2、y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-); gtext(y=x),gtext(y=x2),gtext(y=x3),gtext(y=x4)第1章函数与极限-验证性实验运行结果：图1-1 幂函数图第1章函数与极限-验证性实验（2） x=linspace(-1,1,60); y1=2.x;y2=10.x;y3=(1/3).x;y4=exp(x); plot(x,y1,-,x,y2,:,x,y3,*,x,y4,-); 第1章函数与极限-验证性实验运行结果：图1-2 指数函数图第1章函数与极限-验证性实验2.利用图形命令画出下列函数的图形 （1） ;x=-5:0.01:5; y=3*x.2-

3、x.3; plot(x,y);第1章函数与极限-验证性实验运行结果：图1-3 函数的 图形第1章函数与极限-验证性实验（2） ; x=-pi:0.01:pi;y=cos(4*x); plot(x,y);第1章函数与极限-验证性实验运行结果：图1-4 函数 的图形第1章函数与极限-验证性实验实验二 函数的极限【实验目的】 1.熟悉函数极限的概念； 2.掌握求各种类型函数的极限的方法； 3.会用Matlab命令求函数极限。 【实验要求】 熟悉Matlab中求极限的命令limit第1章函数与极限-验证性实验【实验内容】 1.计算下列极限 (1) (2)【实验过程】 （1） syms x a b li

4、mit(sin(a*x)/sin(b*x), x,0) 运行结果： ans = a/b第1章函数与极限-验证性实验（2）syms x limit(1-cos(x)/(x*sin(x),x,0) 运行结果： ans = 1/2第1章函数与极限-验证性实验实验三 复合函数与反函数【实验目的】 1.了解简单函数与复合函数的关系，理解能构成复合函数的 条件，掌握如何求几个函数的复合函数； 2.掌握函数的反函数概念，会求函数的反函数。 【实验要求】 熟悉Matlab中求复合函数的命令compose，以及求反函数 的命令finverse。第1章函数与极限-验证性实验【实验内容】 1求下列函数的复合函数 (

5、1) ，求【实验过程】 1.（1）syms x y f=1/(1+x2); g=sin(y); compose(f,g) 运行结果： ans = 1/(sin(y)2+1) 由上述结果可知： 第1章函数与极限-验证性实验2求下列函数的反函数（1） (1) syms x y=1/tan(x); g=finverse(y) 运行结果： g = atan(1/x)由上述结果可知： 的反函数为第1章函数与极限设计性实验实验一 数据拟合问题 实验二 复利问题第1章函数与极限设计性实验实验一 数据拟合问题【实验目的】 1.加深对函数基本概念的理解； 2.讨论了函数的实际应用问题； 3.掌握Matlab软件

6、中有关函数、画图等命令。 【实验要求】 掌握函数基本知识，Matlab软件第1章函数与极限设计性实验【实验内容】某研究所为了研究氮肥(N)的施肥量与 土豆产量的影响，做了十次实验，实验数 据见表1，其中ha表示公顷，t表示吨，kg 表示千克。试分析氮肥的施肥量与土豆产 量之间的关系。第1章函数与极限设计性实验表1 氮肥施肥量与土豆产量关系的实验数据【实验方案】设y代表土豆产量，x代表氮肥的施肥量。显然，y和 x之间应该有某种关系，假设y与x之间的关系为函数 关系，则问题就转化为已知数据点(xi,yi)位置关系， 寻找函数y=y(x)。这就是数据拟合问题。施肥量 x(kg/ha)03467101

7、135202259336404471产量 y(t/ha)15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75所谓数据拟合，就是从一组实验数据点 (xi,yi)出发，寻找函数y=y(x)的一个近似表达 式y=f(x)(称为经验公式)。从几何上看，就 是希望根据给定的这些数据点(xi,yi) ，求曲 线y=y(x)的一条近似曲线y=f(x)。近似曲线 y=f(x)不必过每一个数据点，但如果近似曲 线的效果要好的话，那么数据点 (xi,yi)离近 似曲线的距离应该尽量小。 用偏差平方和函数来刻画近似曲线的效果 ，偏差平方和函数越小则近似曲线的拟合 效果

8、越好，因此最好的近似曲线应该满足多项式函数由于性质良好，计算方便， 常常用来进行数据拟合。可以考虑采用1，x，x2作为基函数来拟合这组数 据(即用二次多项式函数a0+a1x+a2x2作为经验公 式)，此时偏差平方和函数为其中n为数据点的数目。要使偏差平方和函数W 最小，需要该方程组称为法方程组。第1章函数与极限设计性实验将实验数据(xi,yi)代入上式，解得a0=14.7391,a1=0.1973139,a2=-0.000339492即拟合函数为y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2从图1-10可以看出拟合效果比较好，但是是 否还可以更好呢？一般而言，拟合次数的提

9、高 可以使得拟合效果变好，但是并不是次数越高 越好。现在提高拟合次数，将基函数由1，x，x2 修改为1，x，x2，x3(三次拟合)，1，x， x2，x3，x4(四次拟合)，得到拟合图1- 5至图1-9。从图形可以看出拟合曲线的次数在二、 三、四、五次拟合的效果都相差不大，但 是高次拟合效果反而不理想，例如本例中 的八次拟合，所以在本例中使用二次拟合 效果就比较好了，拟合函数为y=14.7391+0.1973139x-0.000339492x2第1章函数与极限设计性实验【实验过程】 clear x=0 34 67 101 135 202 259 336 404 471; y=15.18 21.3

10、6 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75; p=polyfit(x,y,2); disp(num2str(p(1),*x2+,num2str(p(2),*x+,num 2str(p(3); xx=linspace(0,471,100); yy=polyval(p,xx); plot(x,y,r*,xx,yy)第1章函数与极限设计性实验运行结果：图1-5 二次拟合 图1-6 三次拟合 图1-7 四次拟合 图1-8 五次拟合第1章函数与极限设计性实验图1-9 八次拟合 八次拟合时的系统提示： Warning: Polynomial is b

11、adly conditioned. Add points with distinct X values, reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described in HELP POLYFIT.第1章函数与极限设计性实验实验二 复利问题 【实验目的】 1.加深对函数极限概念的理解 2.讨论极限在实际问题中的应用 3.会用Matlab命令求函数极限 【实验要求】 掌握极限概念，Matlab软件求函数极限的命 令limit第1章函数与极限设计性实验【实验内容】复利，即利滚利。不仅是一个经济问题，而

12、且是 一个古老又现代的经济社会问题。随着商品经济 的发展，复利计算将日益普遍，同时复利的期限 将日益变短，即不仅用年息、月息，而且用旬息 、日息、半日息表示利息率。现在我们已进入电 子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一 个储户连续不断存款和取款，结算本息的频率趋 于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这 意味着银行不断地向储户支付利息，称为连续复 利问题。若银行一年活期年利率为0.06，那么储户存 10万元的人民币，如果银行允许储户在一 年内可任意次结算，在不计利息税的情况 下，由于复利，显然这比一年结算一次要 多，因为多次结算增加了复利。结算越频 繁，获利越大。连续复利会造成总结算额

13、 无限增大吗？随着结算次数的无限增加， 一年后该储户是否会成为百万富翁？第1章函数与极限设计性实验【实验方案】设本金为p，年利率为r，若一年分为n期(即 储户结算频率为n)，每期利率为r/n，存期为t 年。依题意，第一期到期后利息为本金*利率=p*r/n第一期到期后的本利和是本金+利息=p+p*r/n=p(1+r/n)第1章函数与极限设计性实验因规定按复利计息，故第二期开始时的本金 为p(1+r/n)， 第二期到期后的利息应为本金*利率= p(1+r/n)*r/n第二期到期后的本利和是本金+利息= p(1+r/n)+ p(1+r/n)*r/n =p(1+r/n)2，第n期到期后的本利和是p(1

14、+r/n)n存期为t年(事实上是有tn期)，到期后的本利和为p(1+r/n)tn随着结算次数的无限增加，即在上式中n,t=1 年后本息共计10.6184(万元)随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳 定于10.6184万元，储户并不能通过该方法成为百 万富翁。第1章函数与极限设计性实验实际上，若年利率为r，一年结算无限次， 总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元 。它表明在n时，结果将稳定于这个值 。而且用复利计息时，只要年利率不大， 按季、月、天连续计算所得结果相差不大 。第1章函数与极限设计性实验【实验过程】 syms n a=limit(100000*(1+0.06/n)n,n,inf) a = 100000*exp(3/50) 一年结算无限次，总结算额有上限为 syms n r a=limit(100000*(1+r/n)n,n,inf) a = 100000*exp(r)作业思考与提高1.本世纪初，瘟疫还常在某些地区流行。现假设有这样一 种传染病，任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初 设有A人患病，每个人年平均传染率为k ,治愈率为i，若一 年内等时间间隔检测n次，则一年后患病人数为多少？若 检测次数无限增加，一年后传染病人数会无