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1、第十章 等截面直杆的扭转,要点：,（1）等截面直杆扭转问题的基本方程, 扭转应力函数,（2）按应力求解扭转问题的方法,（3）扭转问题的薄膜比拟理论,10-1 扭转问题中应力和位移,10-2 扭转问题的薄膜比拟,10-3 椭圆截面的扭转,10-4 矩形截面杆的扭转,10-5 薄壁杆的扭转,10-6 扭转问题的差分解,主 要 内 容,10-1 扭转问题中应力和位移,问题：,（1）等截面直杆，截面形状可以任意；,（2）两端受有大小相等转向相反的扭矩 M ；,求：杆件内的应力与位移？,1. 扭转应力函数,求解方法：,按应力求解；,半逆解法,（3）两端无约束，为自由扭转，不计体力 ；,材料力学结果：,（
2、1）,（自由扭转）,（2）,侧表面：,（10-1）,扭转问题的未知量：,为三向应力状态，且不是轴对称问题。, 由材料力学中某些结果出发，求解。,扭转问题的基本方程,平衡方程：,（8-1）,将式（10-1）代入，得：,（a）, 扭转问题的平衡方程,相容方程：,相容方程：,（9-32）, 扭转问题的相容方程,（c）,边界条件：,（1）侧面：,（2）端面：,（n = 0, ）,（b）,（d）,（e）,（f）,（a）,（b）, 扭转问题的相容方程, 平衡方程,基本方程的求解,由式（a）的前二式，得, 二元函数,由式（a）的第三式，得,由微分方程理论，可知：一定存在一函数（x，y），使得：,于是有：,（
3、10-2）,（x，y）扭转应力函数,也称普朗特尔(Prandtl)应力函数,将式（10-2）代入相容方程（b），有,（10-3）,由此可解得：, 用应力函数表示的相容方程,式中：C 为常数。,结论：,等直杆的扭转问题归结为：,按相容方程（10-3）确定应力函数（x，y），然后按式（10-2）确定应力分量，并使其满足边界条件。,定解条件边界条件,（1）侧表面：,将 、 l、m 代入上述边界条件，有,又由式（10-2），应力函数 差一常数不影响应力分量的大小，,表明：在杆件的侧面上（横截面的边界上），应力函数 应取常数。,（10-4）, 扭转问题的定解条件之一。,对于多连体（空心杆）问题， 在每一
4、边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取 s=0，而其余边界上则取不同的常数，如：,于是对单连体（实心杆）可取：,Ci 由位移单值条件确定。,（2）上端面：,由圣维南原理转化为：,（c）,（d）,（e）,对式（c），应有,同理，对式（d），应有,对式（e）：,分部积分，得：,同理，得：,将其代入式（e）：,得到：,（10-5）,结论：,等直杆的扭转问题归结为解下列方程：,（10-3）,泛定方程：,定解条件：,（10-4）,（10-5）,应力分量：, 应力函数法,（10-5）,对多连体情形，有,其中：, 分别为第i个内边界上的值和第i个内边界所围的面积。,2. 扭转的
5、位移与变形,由物理方程，得：,再几何方程方程代入，有,（f）,积分前三式，有,代入后三式，有,又由：,得：,从中求得：,代入 f1、f2 和 u、v 得：,其中： u0、v0 、x、y、z 和以前相同，代表刚体位移。,若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有,（10-6）,将其用极坐标表示：,由,将式（10-6）代入，有：,由此可见：,对每个横截面（z =常数）,它在 x y 面上的投影形状不变，而只是转动一个角度 =Kz 。,K 单位长度杆件的扭转角 。,将其代入：,有：,将两式相减，得：,（10-7）,（10-8）,将其对照式（10-3）：,（10-3）,可见：,（10-9）,实际问题
6、中，K 可通过实验测得。,小 结：,平衡微分方程：,相容方程：,2. 扭转问题应力的求解,（x，y）扭转应力函数, (Prandtl)应力函数,（10-3）,（10-4）,（10-5）,应力函数的确定, 侧面边界条件, 杆端边界条件, 相容方程,1. 扭转问题按应力求解的基本方程,应力函数法,应力的确定,K 单位长度杆件的扭转角,3. 扭转问题杆件位移与变形, 杆件的抗扭刚度,或：, 扭转杆件的变形, 扭转杆件的位移,本章前面内容回顾：,平衡微分方程：,相容方程：,2. 扭转问题应力的求解,（x，y）扭转应力函数, (Prandtl)应力函数,（10-3）,（10-4）,（10-5）,应力函数
7、的确定, 侧面边界条件, 杆端边界条件, 相容方程,1. 扭转问题按应力求解的基本方程,应力函数法,应力的确定,K 单位长度杆件的扭转角,3. 扭转问题杆件位移与变形, 杆件的抗扭刚度,或：, 扭转杆件的变形, 扭转杆件的位移,10-3 椭圆截面的扭转,1. 问题的描述,椭圆截面直杆：,长半轴为a，,短半轴为b，,受扭矩 M 作用。,求：杆中的应力与位移。,2. 问题的求解,求应力函数 ,根据：,（10-4）,及椭圆截面方程：,可假设：,（a）,（b）,式中：m为待定常数。将其代入方程（10-3）：,得到：,（c）,利用方程（10-5）：,（c）,利用方程（10-5）：,（d）,式中：,代入式
8、（d）, 有：,可求得：,（e）,（e）,（c）,将其代入式（e）, 得：,（f）,至此， 满足所有的条件：,（10-4）,（10-3）,（10-5）,求剪应力,（1）剪应力分量：,（10-12）,（2）合剪应力：,（10-13）,（3）最大、最小剪应力：,对上式求极值，当,（10-14）,当 a = b 时，与材料力学中圆截面结果相同。,求杆的形变与位移,由,得到：,（10-15）, 杆件单位长度的扭转角,单位长度的扭转角,位移分量,由,（10-16）,可求得：,由式（10-7）和式（f） :,（f）,比较两式，得：,对其分别积分，得：,式中：w0 为常数，代表刚体位移。,若不计刚体位移，则
9、有：,（10-17）,表明：,（1）扭杆的横截面并不保持平面，而翘曲成曲面。,（2）曲面的等高线在 xy 面上的投影为双曲线，其渐近线为 x、y 轴。,（3）仅当 a = b 时（圆截面杆），才有 w = 0，横截面保持平面。,讨论：,应力函数 的选取, 可利用杆截面的边界方程，如：,（a）椭圆：, 边界曲线方程, 应力函数,（b）等边三角形：,= 常数,（c）带半圆槽的杆：,小圆：,大圆：,= 常数,（d）矩形截面杆：,4条边界的方程为：,假设扭转应力函数为：, 常数,表明：, 上述函数不能作为扭转应力函数。,设定: 扭转应力函数 为：, 显然，满足侧面的边界条件,判断：扭转应力函数 是否满
10、足：,若满足，则由此确定待定常数 m，得应力函数 (x,y)。,如：椭圆截面杆的扭转应力函数 (x,y),椭圆截面方程：,可假设：,如：等边三角形截面杆的应力函数 (x,y),等边三角形截面边界方程：,可假设应力函数 (x,y)：,= 常数,如：带半圆槽截面杆的应力函数 (x,y),小圆：,大圆：,= 常数,可假设应力函数 (x,y)：,注意：,半逆解法不是对所有情形都适用。,如：对矩形截面杆不适用。,例：,图示空心圆截面杆件，外半径为a，内半径为b，试求其扭转剪应力及位移。,解：,求应力函数 ,为使 在外边界上的值为零，内边界上的值为常数，可取：,（1）,由端部边界条件式（10-5）得：,于
11、是，得,（2）,（3）,求剪应力,（4）,（5）,求变形与位移,单位长度扭转角：,位移分量：,（10-7）,由：,刚体位移,由于变形引起的轴向位移：,即平面保持平面假设成立。,例：,图示空心椭圆截面杆件，边界的方程分别为：,试求其扭转剪应力及位移。,内边界：,外边界：,（作为作业题）,10-2 扭转问题的薄膜比拟,1. 薄膜比拟概念,比拟的概念：,如果两个物理现象，具有以下相似点：,（1）泛定方程；,（2 ）定解条件；,则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。,扭转问题的薄膜比拟：, 由普朗特尔（Prandtl., L.）提出,薄膜在均匀压力下的垂度 z ，与等截面直杆扭转问题中的应力函
12、数 ，在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。,因此，可用求薄膜垂度 z,变化规律的方法来解等截面杆扭转问题。 扭转问题的薄膜比拟方法。, 为扭转问题提供了一种实验方法,2. 薄膜比拟方法,设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的垂度 z 。,有关薄膜假定：,不能受弯矩、扭矩、剪力作用，只能受张力 T （单位宽度的拉力）作用。,2. 薄膜比拟方法,方法说明：,取薄膜的一微小部分（ abcd 矩形），其受力如图，,ab 边上拉力：,ab 边上拉力在 z 轴上投影：,cd 边上拉力：,cd 边上拉力在 z 轴上投影
13、：,ad 边上拉力：,ab 边上拉力在 z 轴上投影：,bc 边上拉力：,bc 边上拉力在 z 轴上投影：,在 z 方向上外力：,两边同除以dxdy，整理得：,或：,（10-10）,边界条件：,（10-11）,对于均布压力，有：,式（10-10）和（10-11）变为：,（a）,另一方面，扭转问题有：,（10-8）,（10-4）,将式（10-8）、（10-4）改写为：,（b）,比较式（a）、（b）可见：,当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：,与,决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解答。并有：,（c）,3. 扭矩M、截面上的剪应力与薄膜体积、斜率的关系,薄膜与边界平面间的体
14、积为：,由式（c）:,（c）,得到:,代入上式，有:,由式（10-5）：,得到：,（d）,或,扭矩 M 与薄膜体积的关系,截面剪应力与薄膜斜率的关系,由,可得：,其中：,薄膜垂度 z 沿 y方向的斜率。,（e）,（f）,结论：,当薄膜受均布压力q 作用时，使得：,则得：,（1）,（2）,（3）,由于 x、y 轴方向是可以取在扭杆横截面上任意两互相垂直的方向，因而可得到如下推论：,（1）在扭杆横截面的某一点处，沿任一方向的剪应力，就等于该薄膜在该点处沿垂直方向的斜率。,（2）扭杆横截面的最大剪应力，等于该薄膜的最大斜率。,注：最大剪应力的方向，与该薄膜的最大斜率的方向垂直。,剪应力环流公式：,图
15、中曲线 C 为薄膜变形后的某一条等高线 ，B 为等高线上某一点，C上有：,=常数,即，垂度 z 对曲线 C 的切向导数为零：,对于扭转杆件，,沿曲线 C 有,而：,(a),等高线 C 上任一点 B 的剪应力在法向上投影之和为零，即，B点的剪应力方向必沿此等高线的切线方向。,表明：,薄膜上的等高线 C 在边界平面上投影，即为扭转截面上剪应力流线。, 法向剪应力, 切向剪应力,由薄膜垂度与扭转应力函数的关系，得到：,各点剪应力与对应薄膜在该点的最大斜率成正比，,而最大剪应力的方向与薄膜,在该点的最大斜率方向互相垂直。,用等高线所在的平面截割薄膜，,由其 z 方向平衡，,其中：A为所截处等高线所围的面积；,为所截薄膜在等高线处的斜率。,因为：,所以，有：,或：,将其代入式（b）,有,(c),化简式（c）,有,(d), 剪应力环流公式,表明：,剪应力沿流线的积分与杆件的单位扭转角 K 、剪应力流线所围面积 A 成正比。,结论： 扭转应力函数的两个基本性质,
