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1、二、无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限 被积函数有界 推广一、无穷限的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分)反常积分第五章 一、无穷限的反常积分引例. 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1. 设若存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作这时称反常积分收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 若则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并
2、非不定型 ,说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页 返回 结束 它表明该反常积分发散 .引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算反常积分解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析:原积分发散 !注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .例2. 证明第一类 p 积分证:当 p =1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算反常
3、积分解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2. 设而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: 而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,为瑕点(奇点) .例
4、如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义注意: 若瑕点的计算表达式 : 则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则则可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 下述解法是否正确: , 积分收敛例4. 计算反常积分解: 显然瑕点为 a , 所以原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 讨论反常积分的收敛性 . 解:所以反常积分发散 .例6. 证明反常积分证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .当 q1 时所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为当 q
5、1 时, 该广义积分发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7.解 ：求的无穷间断点, 故 I 为反常 积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限2. 两个重要的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化 .例如 ,(2) 当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为P256 题 1 (1) , (2) , (7) , (8) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常积分收敛 .注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反思考与练习P256 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ;2 ; 3第五节 目录 上页 下页 返回 结束 提示: P256 题2求其最大值 .作业备用题 试证, 并求其值 .解:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束
