《九年级数学上册专题突破讲练相似中的“射影定理”试题（新版）青岛版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册专题突破讲练相似中的“射影定理”试题（新版）青岛版（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1相似中的相似中的“射影定理射影定理”1.1. 射影射影定理定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德（Euclid）定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图，RtABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1） （2） （3）2ADBD DC2ABBD BC2ACCD BCABCABDDAC 注意：注意：（1）在RtABC中，AD为斜边BC上的高，图中共有 6 条线段：AC、BC、CD、AD、DB、AB，已知任意两条，便可求出其余四条；（2）射影定理的每个乘积式中含三条线段，若已知两条线段，可
2、求第三条；（3）平方项一定是两相似三角形的公共边。2.2. 定理推论定理推论在ABC中，D是BC边上的一点，且满足，则有。BADC 2ABBD BCABDCBA例题例题 1 1 已知CD是ABC的高，DECA，DFCB，求证：CEFCBA。解析：解析：根据CDECAD和CDBCFD得和利用2CDCE CAg2CDCF CB等量代换和变形，即可证明CEFCBA。2答案：答案：证明：在RtADC中，由射影定律得，2CDCE CA在RtBCD中，2CDCF CBCE CACF CBCECF CBCAECFBCA CEFCBA 点拨：点拨：本题主要考察了相似三角形的基本模型射影定理的应用。做题时要善于
3、发现相似，找出等量关系，进行适当的变形。例题例题 2 2 已知：如图，AB为O的直径，AC为弦，CDAB于D。若AEAC，BE交O于点F，连接CF、DE。求证：（1） （2）2AEAD ABACFAED 解解析析：（1）根据AEAC，可以把结论转化为证明，只需连接BC，2ACAD AB证明ACDABC即可。 （2）根据（1）中的结论，即可证明三角形ADE相似于三角形AEB，得到AEDB，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明。答答案案：（1）连接BC，AB为O的直径，ACB90CDAB，ACDABC，ACAB ADACACAE，2AEAD AB（2），EADBAE，2AEAD AB ADEAEB，
4、3AEDBACFB，ACFAED点拨：点拨：本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用，注意转化思想的应用是解决本题的关键。【要点总结要点总结】射影定理是相似三角形中的特殊形式，经常结合圆、矩形、平面直角坐标系和函数考查，因此要善于在复杂的图形中发现满足射影定理的模型，并对其进行代数式的变形，以及等量代换，从而达到解题目的。例题例题 如图，在RtABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，BCa，ACb（ba） ，若，求的值。1 3tan DCEa b解解析析：在RtABC中，利用射影定理得到，进而得到BD的表达式，2BCBD BA由面积法可求出CD的长，根据CE为中线，建立关系式
5、DEBEBD，再根据正切函数的定义，建立关于a、b的关系式。答答案案：在RtABC中，ACB90，CDAB，2BCBD BA即：。由等面积法知：，2222BCaBDBAab 11 22abAB CD。22abCD ab 又因为CE是中线，则。222 2222221 22abaDEBEBDab abab 在RtCDE中， 得：，1 3tan DCE22222212 3baab abab223230aabb解得，于是有或（舍负值） 。110 3ab 101 3a b101 3a b点拨：点拨：本题考查了射影定理、勾股定理、解直角三角形，综合性较强，要认真对待。4（答题时间：（答题时间：3030 分
6、钟）分钟）一、选择题一、选择题1. 在RtABC中，C90，CDAB，垂足为点D，若AD：BD9：4，则AC：BC的值为（ ） A. 9：4 B. 3：2 C. 4：9 D. 2：3 *2. 在RtABC中，BAC90，ADBC于点D，若，则（ ）3 4AC ABBD CDA. B. C. D. 4 33 416 99 16 *3. 已知：在ABC中，BAC90，ADBC于D，M为BC中点。下列关系式中正确的是（ ）A. B. 222ACABDM BC222ACBCDM ACC. D. 222ACABDM AC222BCABAD AC*4. 若正实数x，y，z满足， 。则下列关系式中正222x
7、yz222z xrr确的是（ ） A. B. C. D. 无法确定xyzrxyzrxyzr二、填空题二、填空题*5. 如图，ABC 中，点D在BC上，以为直径作O，恰过A点，若ABAC8BD AC与O相切，则AB的长为 。*6. 如图，矩形ABCD中， ，点E在BC上，点F在CD上，且，5 6AB BC1 6ECBC，FGAE于G，则AG：GE 。3 5FCCD*7. 两个任意大小的正方形，都可以适当剪开，拼成一个较大的正方形，如用两个边长分别为a，b的正方形拼成一个大正方形。图中RtABC的斜边AB的长等于 （用a，b的代数式表示） 。5*8. RtABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高
8、，则 三者之间的222,ABACAD等量关系式为 。三、解答题三、解答题*9. 如图，AB为O的直径，C为O上一点，CDAB于点D，交AE于点G，弦CE交AB于点F，求证：。2ACAG AE*10. （沈阳模拟）已知RtABC中，BAC90，ADBC，垂足为D，DFAC，垂足为F，DEAB，垂足为E。求证：（）AB ACAD BC（）3ADBC BE CF*11. 已知：如图，BD、CE是ABC的高，DGBC与CE交于F，GD的延长线与BA的延长线交于点H。求证：。2GDGF GH*12. （莆田） （1）如图 1，在RtABC中，ABC90，BDAC于点D。求证：6；2ABAD AC（2）如
9、图 2，在RtABC中，ABC90，点D为BC边上的点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F。，求的值；1ABBD BCDCAF FC（3）在RtABC中，ABC90，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合） ，直线BEAD于点E，交直线AC于点F。若，请探究并直接写出的所有ABBDnBCDCAF FC可能的值（用含n的式子表示） ，不必证明。71. B 解析：由射影定理得，又，2CDAD BD:9:4AD BD ，故选B。:9:4:6AD BD CD :3:2AC BCAD CD2. C 解析：由勾股定理得： :3:4:5AC AB BC ，可得：ABCDBADACADBC，2ABBD
10、BC2ACCD BC，选C。222222416 39AB BDABBC ACCDAC BC3. A 解析：由BAC90，ADBC， ABCDBADAC，可得，。2ACCD BC2ABBD BC又M为BC中点，可得，1 2AMBMCMBC222ACABBCCDBDBCCMDMBMDMBC DM。4. B 解析：如图，由条件可构造RtABC，222zyx由条件联想到射影定理，作斜边z上的高r，222z xrr由三角形的面积可得：，即。11 22xyzrxyzr22rx zxy rBACD5. 解析：连接AD，作于H点，4 3AHBC设， ABACxCDy由CADCBA得：28xy y由射影定理得：
11、，故，2ABBH BD228ABxBHBD又知H为BC中点，故，即 2BCBH22 8284xxy8由、解得：。4 3x 6. 41 解析：矩形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，且，5 6AB BC1 6ECBC，FGAE于G，3 5FCCD2 5DFCD2AD CF2DF CEADDF CFCE又ECFFDA，CEFDFA，AFDFEC，2ADDF CFCEAFDCFEFECCFE90，AFE90又FGAE，AFEAGF，AFGFEG，则AG2FG，2，2AFAGFG EFFGEGEGFG EFAFFG21EG AG4EG，AG：GE4：1。 7. 解析：RtABC的边BC在斜边AB上
12、的射影为a，由BC2aAB可得22ab a。22 BaAb a8. 222111 ADABAC解析：由射影定理可得：，；2ADBD DC2ABBD BC2ACCD BC，222111111,ADBD CD ABBD BC ACCD BC化简可得。222111 ADABAC9. 证明：延长CG，交O于点M，ABCM，ACGEACAM 又CAGEAC CAGEAC ACAG AEAC2ACAG AE10. 证明：（）因为RtABC中，BAC90，ADBC。显然ABDCBA，即ABBC ADACAB ACAD BC（）由射影定理知2ADAE AB又由三角形相似可知，且DFAE,DFBEABED CF
13、ED BCAD，结合射影定理 AE AB ADBC CF BE3ADBC BE CF11. 证明：BDAC，DGBC，DGCDGB90，CDB90，由射影定理得：CGDDGB， ，2DGBG CG9CEAB，ECBCBE90，又HGBH90，ECBH，FGCHGB90，CGFHGB，GFGC GBGH GF GHBG GC2GDGF GH12. （1）证明：如图，BDAC，ABC90，ADBABC，又 AA，ADBABC，。ABAD ACAB2ABAD AC（2）解：方法一：如图，过点C作CGAD交AD的延长线于点G，BEAD，CGDBED90，CGBF。，ABBC2BD2DC，BDDC，1ABBD BCDC又BDECDG，BDECDG，1 2EDGDEG由（1）可得：，2ABAE AD2BDDE AD，AE4DE，。222224BDAEAB DEBDBD422AEDE EGDECGBF，。2AFAE FCEG方法二：如图，过点D作DGBF，交AC于点G，ABBC。1ABBD BCDC1 2BDDCBCDGBF，FC2FG。1 2FGBD FCDC由（1）可得：，2ABAE AD2BDDE AD，222224BDAEAB DEBDBDDGBF，。4AFAE FGDE22AFAF FCFG
