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1、在平面问题和轴对称问题的有限元分析中，曾采用了线性位移模式的常应变三角形单元进行计算。这种单元的最大优点是：它能够机动灵活近似地表现结构的复杂边界形状；单元网格划分时，能粗细变化比较自如，因而得到广泛应用。缺点是：由于它的位移采用线性插值函数，计算精度比较低；对结构的曲线边界只能用许多小直线段逐渐逼近。特别是，在结构的应力集中部位，产生的计算误差较大，有时即使配置了极密集的单元网格，仍然不能很好地反映应力集中因子的正确数值。,第三章 等参数单元（等参元）,3-1 等参元概念,对于矩形单元，由于它采用了双线性位移模式，使得单元内的应力和应变不是常量而是按线性变化，它比常应变三角形单元能较好地反映
2、出结构的实际应力分布状态，但是它很难适应曲线边界和非正交的直线边界；同时在划分单元时，改变单元的大小也很困难，即不便于在不同部位采用大小不同的单元，因为已把每个单元的边长之半 作为常量而引入单元刚度矩阵中（见式(2.48)）。因此，矩形平面单元未能在实际中得到广泛的应用。 为此，我们希望找到一种单元，一方面它具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布状态，即或是单元网格划分的比较疏些，也可以得到比较好的计算精度；另一方面，它又能很好地适应曲线边界和非正交的直线边界。等参元就具备了上述两条优点，因而得到广泛应用。,前面已谈到：无论是三角形单元还是矩形单元，其单元内位移用形函数表示为,实
3、际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即,(3-1),(3-2),可见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函数插值公式与该点的位置坐标变换式，都具有完全相同的形式。它们都是用同样个数的相应结点值（结点位移值或坐标值）作为参数，并且用完全相同的形函数作为这些结点值前面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数插值公式；当参数取为结点坐标时，就得到位置坐标插值公式（或位置坐标变换式）。 常应变三角形单元和矩形单元的这种位移函数插值公式与位置坐标变换式之间的对应协调关系，就是等参元的基本特征。所以，等参元的基本概念可简单概括成：一个单元的位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等
4、，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值者，称为等参元。 显然，常应变三角形单元和矩形单元就是两种最简单的等参元。但是，本章所要研究的等参元，并不是这种单元，而是4结点任意四边形等参元和8结点曲边四边形单元。,由前述知，具有双线性位移模式的矩形单元只适用于正交的、规则形状的结构。对于非正交的、不规则形状，可以用任意四边形单元代替矩形单元进行有限元分割。 在直角坐标系（又称整体坐标系） 中，任取一任意四边形单元1,2,3,4，四边形的四个角点取为结点，各结点的直角坐标值为 。对于这种任意四边形等参元，可令其实际形状所构成的单元为子单元，把子单元的各边中点连线做一个局
5、部坐标系（或称自然坐标系） ，且令单元各结点的局部坐标系分别是： ； ； ； 。这样，就把子单元影射到局部坐标系上，而成为正方形单元，称此正方形单元为母单元。整体坐标系适用于所有单元，即适用于整个求解区，而局部坐标系只适用于每一个单元。,3-2 四结点任意四边形等参元,一位移插值函数式及坐标变换式,在子单元上再作各对边的等分线，这些等分线影射到母单元上，也必然是母单元各对应边上的等分线。这样，母单元与子单元之间的相应点存在着一一对应的关系。这种对应关系说明，在母单元 平面上平行于 或 的直线，在 平面内的子单元上仍然是相对应的直线。,因此，我们就可以把矩形单元的位移函数插值式(3-1)，单元内
6、任一点的坐标变换式(3-2)，以及局部坐标变换式（类似坐标变换式），用在任意四边形等参元上，并重新写成,(3-3),(3-4),(3-5),式(3-3)和(3-4)是任意四边形在局部坐标系下的位移插值函数和单元内任一点局部坐标插值公式，而式(3-5)是每个单元的局部坐标系与结构的整体坐标系之间的坐标变换式。由这些公式看出，任意四边形单元符合等参元条件，它当然是等参元。 由于任意四边形单元的位移插值函数(3-3)，在局部坐标系下满足形容条件，因此坐标变换式(3-5)也就满足相容条件，从而使得式(3-3)在整体坐标下满足相容条件。也就是说，在两相邻任意四边形单元公共边上的位移是连续的，坐标变换后仍
7、然是连续的，两相邻单元公共边上的公共点在坐标变换后仍为公共点，决不会出现重叠和开裂现象。,利用任意四边形等参元分析平面问题时，有了该单元的位移插值函数式(3-3)和坐标变换式(3-5)，就可以应用第二章已导出的一系列公式去求解。但是，这一系列公式都是在整体坐标 下导出的，其中，应变矩阵 的每个元素都是各结点形函数 对整体坐标,进行重积分，而任意四边形等参元的形函数 又是针对局部坐标的，因此需要对 和 进行坐标变换。这样，就引出了坐标变换矩阵和变换行列式。,和 的偏导数；单元刚度矩阵 的每个,元素又是各结点形函数 对整体坐标 和 的偏导数的乘积，再对,二坐标变换矩阵及变换行列式,设任意四边形在整
8、体坐标下的位移插值函数式为,而该单元在局部坐标系下的位移插值函数式(3-3)可以写成：,这两种形式的位移插值函数式通过坐标变换式(3-5)联系起来。为了方便，把式(3-5)写成：,(3-6),(3-7),(3-8),根据复合函数的求导法则，(3-6)，(3-7)，(3-8)三式之间有如下关系,由式(3-9)可抽象出,(3-9),把上面二式写成矩阵形式，得,令,(3-11),(3-10),称 为坐标变换矩阵或雅克比矩阵，它是局部坐标的函数。因此式(3-10)变成,故有,(3-13),(3-12),式中 称为坐标变换矩阵或雅克比逆阵，它也是局部坐标的函数。,式中的 是坐标变换行列式。,另外，为了把
9、 化成对局部坐标的重积分，还需把微分面积 做相应的变换。,(3-14),设任意四边形等参元1,2,3,4内任一点 沿局部坐标 方向的微分矢量为 ，由于在 方向上只有 变化，而 不变，故微分矢量 在整体坐标系的 轴上的投影 分别为,同理，由于在 方向上只有 变化而 不变，故 在,轴上的投影：,两个微分矢量,所构成的微小平行四边形面积 ：,而 又可以看成是在整体坐标中的微分面积,，故有,式中,(3-15),（3-15）,为了进一步阐明和计算任意四边形等参元的单元刚度矩阵,及应力矩阵 （或应变矩阵 ），需要把前述的 及 展成具体形式的表达式，为此，将(3-5)式代入(3-12)式，得,再将,对,然后
10、代入 中得,(3-16),分别求偏导数，,式(3-16)表明，只有给定整体坐标下的单元四个结点的坐标值 和 就完全由单元的局部坐标来决定了，而且它的每个元素都是 和 的线性函数，令常数项分别为,则(3-16)式可写成,由式(3-16)可以得出雅克比行列式,(3-16),(3-17),它也是 的线性函数。由(3-16)和(3-17)式可以直接写成,的逆阵：,式中,的每个元素变成,(3-18),的较复杂的函数。,由式(3-18)看出，为了确保 的存在，必须要求变换行列式,，这个条件的实质是，要求任意四边形等参元在整体坐标下的形状必须是凸的四边形，而不能有一个内角等于或大于 。否则，在单元上将得不到
11、整体坐标与局部坐标之间的一一对应的变换关系，而使计算方法失效。因此，所谓任意四边形等参元，其任意性还是有一定限度的，要求四边形的任意两对边不能通过适当的延伸而在单元内出现交点。通常，在实际有限元计算中，为了尽量使其形状接近于正方形比较好，但可以大小不一样。,及 表达式中的有关 及 都换成局部坐标的函数表达式。此时，任意四边形等参元的一切计算都可以立足在局部坐标系下进行了。,根据上述已求得的 ， 及 等函数表达式，就可以将,首先，由式(3-13)引出：,所以,式中,(3-19),然后，将式(3-19)代入 中，就把 的各元素化成 的函数；再将式(3-17)代入式(3-15)，并将式(3-15)
12、及 代入,，就把,的重积分,，其被积函数,应该指出， 中的每个元素都含有对 和 的重积分，尽管其积分区域变得十分简单，而其被积函数都比较复杂，需要采用数值积分（通常是采用高斯求积法），由于任意四边形等参元的应力,是 和 的函数，因此在求解单元应力时，必须指明是求哪一点的应力，而且各单元之间的应力是不连续的。,的每个元素化成对局部坐标,的函数式。,都是 和 的复杂函数，对于各单元的应力 也可以化成是 和,四节点任意四边形等参元尽管比矩形单元好，比三角形单元的精度高，但是它对结构的曲线边界仍然要以许多小直线段去逐渐逼近，计算精度仍不够理想，为了进一步提高计算精度，可在四节点任意四边形等参元的基础上
13、，增加结点个数，选用高幂次结构模式的等参元。一般常用的是八结点曲边四边形等参元。,3-3 八结点曲边四边形等参元,一位移插值函数及坐标变换,左图是8结点平面等参元在整体坐标 下的实际形状，它除了四个角点1，2，3，4之外，又在每边中点选一个结点5或6，7，8，各结点的整体坐标值为 。类似于4结点任意四边形等参元，这种子单元映射到局部坐标系 上，就变成边长为2的8结点正方形母单元。,现在，我们首先考虑在局部坐标系下的8结点正方形母单元。由于它的8个结点共有16个位移分量，故必须选择局部坐标的双二次多项式，做为它的位移模式。,式中 是由单元8个结点的局部坐标值 和,来决定的待定常数。,(3-20),可用类似于以前用过的方法，将8结点的局部坐标值代入式(3-20)，得到以 为未知数，以 及 为已知数的16个联立方程组，求解这个方程组即得 的表达式。然后再回代到(3-20)中，经整理,式中 是第,(3-21),个结点的形函数。,应该指出，用上式求解联立方程组的方法来导出式(3-21)，比较麻烦，特别是当待定系数比较多时，欲导出形函数 的显式是非常烦琐的。为了简化求导 的过程，我们可以利用 的特点来决定各结点的形函数显式。,由第二章知，各种单元的形函数,都有两个特点,时， 或 是 的二次函数；当固定 时， 或 又是,
