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1、 排列组合问题的解题策略选讲排列组合问题的解题策略选讲普通高中实验教科书普通高中实验教科书 数学数学 选修选修 2-3介绍、讲解高中排列组合问题常见的四种解题策略，使学 生提高这类问题的分析能力和解决能力。排列组合问题的解题策略 1 1 教教学学内内容容1 1教学目标教学目标(1)(1)知识与技能目标：知识与技能目标：掌握有关排列组合问题的解题策略，提高分析、解决问题的能力。(2)(2)过程与方法目标：过程与方法目标：通过排列组合问题的解题策略的思路形成过程，让学生领悟四种解题策略的思想方法。(3)(3)情感、态度与价值观目标：情感、态度与价值观目标：通过设问解疑，让学生感受思考的乐趣与成功的
2、喜悦，体会数学的理性与严谨，激发学生对数学知识的热爱，养成实事求是的科学态度。2 2教学重点、难点教学重点、难点(1)(1)重点：重点：排列组合问题解题策略的应用。(2)(2)难点：难点：排列组合问题解题策略的思路形成。3 3教学方法和手段教学方法和手段(1)(1)教学方法：教学方法：采用启发式讲授法的教学方法。在教学中，我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力，还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习，感受数学学科的人文思想，使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。(2)(2)教学手段：教学手段：利用多媒体平台。通过多媒体平台弥补传统教学的不足，增强教学效果的直观性，帮助学
3、生更好地理解排列组合问题解题策略的思路形成。课件精心制作、做好细节、突出重点。4 4教学过程教学过程(1)(1)复习回顾复习回顾在前面的几节课，我们已经对选修 2-3 的第一章计数原理进行系统地复习。说明：打出第 1 张幻灯片。排列组合问题的解题策略 2 2 图：第 1 张幻灯片片段排列组合问题的解题策略 3 3 教教学学内内容容说明：由于这些内容前面已经系统地复习了，所以简单扼要地叙述上面幻灯片的内容，主要是帮助学生回忆前几节课的内容。虽然复习巩固了，但同学们反映还是有很多题目不会做或做错。为什么呢？计数问题中，排列组合问题是最常见的。其特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特。有的题目
4、的解法往往是构造性的，方法灵活、多样，不同解法导致问题难易变化也较大。而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。所以面对这一类问题，同学们往往就会束手无策了。(2)(2)创设问题创设问题在这一类问题中，我们以如下几个问题作为典例进行研究。说明：打出第 2 张幻灯片。图：第 2 张幻灯片片段说明：问题逐个打出，读题。让学生对问题有个印象，提醒学生不要忙于解答，后面我们将会一一解答。上面所列的这几个问题，在高中阶段属于比较常见的类型。因而对这些问题归纳总结，并掌握一些在高中比较常用的解题策略是必要的。(3)(3)思考探究思考探究在讲解解题策略之前，我还得请同学们和我一起来弄清楚下面两个
5、思考题，这将使得我们能更好的理解排列组合问题，正所谓知己知彼，方能百战百胜。 思考思考 1 1：排列和组合的区别是什么？：排列和组合的区别是什么？很多学生都会按照课本的概念，认为涉及顺序的是排列问题，没有顺序的是组合问题，排列组合问题的解题策略 4 4 排列组合问题的解题策略 5 5 教教学学内内容容实际上这使得我们的思维出现很大程度的模糊。因为究竟什么才是有顺序，怎么理解有顺序呢？既然这样我们又该如何理解排列和组合的区别呢？我们先看几个例子。说明：打出第 3 张幻灯片。图：第 3 张幻灯片片段说明：上面四个例子打出顺序为和、。在和这两个例子从字面上看出有顺序吗？在中，学生认为“第一组”和“第
6、二组”是不同的，所以有顺序。因此均等分组后应该再排列，即方法数是2 24 22 2CAAA。那么的方法数就应该是2 4 2 2C A。虽然没有明显的顺序关系，但是学生可以从“位置是否可区分”来判断问题到底是有没有顺序的。当学生看到时，会很快给出3 3A这个答案，因为中出现了“3 个不同位置”的字眼。按照这样的理解那么的答案也就是3 3A了？虽然我们还不至于犯这样的错误，但是我们的判断依据是什么呢？我们的判断依据是“元素是否可区分”。于是，我们可以得到一个结论：问题中所涉及的元素和位置都具有可区分性的，属于问题中所涉及的元素和位置都具有可区分性的，属于排列问题，否则是组合问题。排列问题，否则是组
7、合问题。说明：结论在第 3 张幻灯片的底部打出。这样一来，排列组合的区别就更加明了，我们解题的思维方式也就更加清晰了。排列组合问题的解题策略 6 6 教教学学内内容容思考思考 2 2：符号：符号k nA的含义是什么？的含义是什么？符号k nA是指排列数，实际上这个符号限制着我们的思维方式。它的含义是指在n个元素中取出k个元素进行排列。说明：打出第 4 张幻灯片。图：第 4 张幻灯片片段在这个例子中，我们可以先从 6 人中取出 3 人，有3 6C种情况，再将 3 人分配到 3 个职位，有3 3A种情况，所以不同的选法为333 636CAAA种。也就是说k nA其中包含了两层意思，一层是在n个元素
8、中取出k个元素，另一层是再将这取出的k个元素进行全排列，即kkk nnkACAA。实际上k nA是将两个思维过程串在一起，这使得我们做较为难一点的题的时候，经常会思维混乱。于是，我们可以得到一个结论：所有的排列问题都遵循所有的排列问题都遵循“先取后排先取后排”的原则，用的原则，用kk nkCAA代替代替k nA更有利于解决较难的问题更有利于解决较难的问题。说明：结论在第 4 张幻灯片的底部打出。这个结论有利于解放思维，有利于我们对问题的思考。(4)(4)展开课题展开课题理解这两个思考题之后，我们就带着前面的四个问题，来对排列组合问题的一些常见解题策略进行学习。排列组合问题的解题策略 7 7 教
9、教学学内内容容策略策略 1 1插空策略插空策略插空策略可以解决元素不相邻的问题。说明：打出第 5 张幻灯片，先打出插空策略的说明。图：第 5 张幻灯片片段这类问题可把没有位置要求的元素进行排队，再把要求不相邻的元素插入中间和两端。说明：打出第 5 张幻灯片的插空策略的模型进行解释。有两个元素要求不相邻，那么把其余四个元素先排好，再把这两个元素插入其余四个元素的中间和两端。幻灯片中动画演示不相邻的两个元素的插空过程。接下来，我们来看一道例题。说明：打出第 6 张幻灯片，先打出例题。图：第 6 张幻灯片片段要使得甲乙不相邻，我们只要先排好其余 5 个人，然后在这 5 个人的间隙以及两端的排列组合问
10、题的解题策略 8 8 6 个位置选两个插入甲乙，这样甲乙自然就不相邻了。排列组合问题的解题策略 9 9 教教学学内内容容说明：引导学生根据模型对例题进行分析，进而加以肯定，打出例题的解答过程。并提出问题，在第 2 步中为什么是2 6A而不是2 6C呢？因为解决这个问题能使得更多的学生明白何为排列何为组合，那么课前的两个思考探究的作用就更加明显了。在第 2 步中，其中的2 6A可以解释为 6 个位置选两个为2 6C，因为甲乙是可区分的，所以应该再乘上2 2A，即222 626CAAA。解答完例题后，对插空策略进行总结：几个元素不能相邻时，先排一般元素，再让特几个元素不能相邻时，先排一般元素，再让
11、特殊元素按照要求进行插空。殊元素按照要求进行插空。说明：总结在第 6 张幻灯片的底部打出。前面我们提到的问题中，有一个就是“元素不相邻”的，下面把这个问题当成一道练习题，请同学们来完成。说明：打出第 7 张幻灯片，先打出练习题。图：第 7 张幻灯片片段引导学生将此问题等价为在七盏亮着的路灯的 6 个间隙中插入三盏关闭的路灯。说明：提问后再进行分析。打出分析过程。幻灯片动画演示这个插入的过程。可能有学生会认为答案是3 6A，根据前面的思考探究，由于关闭的路灯是不可区分的，所以应该是3 6C。在这个练习中，我们要注意考察问题中的条件，运用插空策略。先排一般元素，再让特殊元素按照要求进行插空，同学们
12、在平时的练习中要多加观摩揣意。策略策略 2 2捆绑策略捆绑策略排列组合问题的解题策略 1010 捆绑策略可以解决元素相邻的排列问题。排列组合问题的解题策略 1111 教教学学内内容容说明：打出第 8 张幻灯片，先打出捆绑策略的说明。图：第 8 张幻灯片片段对于这类问题可采用“局部到整体”的排法，即先把相邻元素局部先排列，然后当成一个元素，再与其他元素整体排列。说明：打出前面我们提到的问题 2,以及捆绑策略的模型进行解释。有一对双胞胎要求相邻，那么把这一对双胞胎“捆绑”在一起（局部排列），幻灯片中动画演示“捆绑”后放到其他元素中进行排列（整体排列）的过程。这样问题 2 的答案明显就是25 252
13、40AA A了。下面，我们同样通过一道例题进行融会贯通。说明：打出第 9 张幻灯片，先打出例题。图：第 9 张幻灯片片段排列组合问题的解题策略 1212 甲乙丙要相邻，我们可以先把甲乙丙排在一起（捆绑），然后把甲乙丙的排列当成一个排列组合问题的解题策略 1313 教教学学内内容容元素再与其它的元素进行排列。说明：引导学生进行分析，进而加以肯定，打出例题的解答过程。解答完例题后，对捆绑策略进行总结：几个元素必须相邻时，先按照要求把它们捆绑几个元素必须相邻时，先按照要求把它们捆绑成一个元素，再与其它的元素进行排列。成一个元素，再与其它的元素进行排列。 说明：总结在第 9 张幻灯片的底部打出。策略策
14、略 3 3剪串策略剪串策略剪串策略可以解决“将n个相同的元素分到k个不同的容器（n k）,每个容器至少一个元素”的这类问题。说明：打出第 10 张幻灯片，先打出剪串策略的说明。图：第 10 张幻灯片片段将n个相同的元素分到k个不同的容器（n k）,每个容器至少一个元素,可以将n个相同的元素串成一串，在这一串的n-1个空隙中选k-1个位置，剪断后自然就分成了k份，元素是不可区分的，属于组合问题，所以共有1 1k nC 种。特别提醒学生要注意“元素必须是相同的”才能符合剪串策略。说明：打出前面所提的问题 3，用模型进行解释。把足球看成是“珠子”串在一起，幻灯片中动画演示四把剪刀从 19 个间隙中的
15、任意选四个进行剪断的过程。那么通过模型的解释，问题 3 的答案明显就是4 19C了。排列组合问题的解题策略 1414 教教学学内内容容我们也同样通过一道例题再加以理解。说明：打出第 11 张幻灯片，先打出例题。图：第 11 张幻灯片片段因为是方程的正整数解，所以也就是把 200 个“1”分给12320,x x xx，至少分一个。即把 200 个相同的元素分到 20 个不同的容器，每个容器至少一个元素，符合剪串策略。说明：引导、启发学生进行对问题进行分析、转化。打出例题的解答过程。解答完例题后，对剪串策略进行总结：将将n n个相同的元素分到个相同的元素分到k k个不同的容器（个不同的容器（n n
16、 k k）, ,每个容器至少有一个元素的方法数为每个容器至少有一个元素的方法数为1 1k nC 种。种。说明：总结在第 11 张幻灯片的底部打出。4 4等机会策略等机会策略等机会策略可以解决元素顺序固定的排列问题。说明：打出第 12 张幻灯片，先打出等机会策略的说明。图：第 12 张幻灯片片段排列组合问题的解题策略 1515 教教学学内内容容解决元素顺序固定的排列问题，先把所有元素一起排列，因为每一个排列的机会相等，所以在所有元素的全排列中，只有几分之几是满足元素顺序固定的排列种数。说明：打出前面所提到的问题 4。九位领导的就座方法总数是9 9A，其中包括了校长坐在 1、2、3 和 7、8、9 位置的情况，用模型进行解释。由于每一个排列的机会相等，那么校长坐在中间三个位置的概率就是1 3，通过模型的解释，问题变得简单明了，答案9
