《第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 第十二节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例（82页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数求 导一般不超过三次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会 用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数求导 一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最 小值(对多项式函数求导一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.1.函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增.如果 ，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.如果 ，那么f(x)在这个区间内为常数.f(x)0f(x)0f(x)0思考探究1f(
2、x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件. 2.函数的极值(1)函数的极小值函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其 他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的 左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y f(x)的 ，f(a)叫做函数yf(x)的 .f(x)0f(x) 0极小值点极小值(2)函数的极大值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数yf(x) 的 ，f(
3、b)叫做函数yf(x)的 .极小值点、极大值点统称为 ，极大值和极小值统称为 .f(x)0f(x)0极大值点极大值极值点极值3.函数的最大值与最小值在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，函数yf(x)在a，b上求最大值与最小值的步骤：(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.思考探究2极值点一定是最值点这句话对吗？提示：函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.函数的极值不一定是最
4、值，最值点也不一定是极值点.1.函数f(x)x33x21的单调递减区间为 ( )A.(2，) B.(，2)C.(，0) D.(0,2)解析：f(x)x33x21，f(x)3x26x3x(x2)，由f(x)0得，0x2，函数f(x)的单调递减区间为(0,2)答案：D2.函数yax3x在(，)上是减函数，则 ( )A.a B.a1C.a2 D.a0解析：y3ax21，当a0时，y0，适合；当a0时，因为函数yax3x在(，)上是减函数，则3ax210在R上恒成立，即ax2 恒成立，所以a0.答案：D3. f(x)x33x23x的极值点的个数是 ( )A.0 B.1C.2 D.3解析：导函数值恒大于
5、或等于零，函数总单调递增.答案：A4.函数y3x26lnx的单调增区间为 ，单调减区间为 .解析：y6x .定义域为(0，)，由y0得x1，增区间为(1，)；由y0得0x1，减区间为(0,1)答案：(1，) (0,1)5.已知函数f(x)x312x8在区间3,3上的最大值与最 小值分别为M，m，则Mm .解析：由题意得f(x)3x212，令f(x)0得x2，且f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所以M24，m8，Mm32.答案：321.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实根.(3)把函数f(
6、x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的 各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把 函数f(x)的定义区间分成若干个小区间.(4)确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定 函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.2.证明可导函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f(x).(2)确认f(x)在(a，b)内的符号.(3)作出结论：f(x)0时f(x)为增函数；f(x)0时f(x)为减函数.3.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应注意函数f(x) 在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0(或 f(x)0)，x(a，b)恒成立，且f(x)在
7、(a，b)的任意子 区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增 减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)0，甚至可以 在无穷多个点处f(x0)0，只要这样的点不能充满所给 区间的任何一个子区间.(2009安徽高考)已知函数f(x)x a(2lnx)，a0.讨论f(x)的单调性.思路点拨课堂笔记 f(x)的定义域是(0，)，导函数f(x)1 .设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判别式a28.当0即0a ，对一切x0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数.当0即a 时，仅对x 有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)也是(0，)上的单调递增函数.当
8、0即a2 时，方程g(x)0有两个不同的实根，X1 ，x2 ,0x1x2，x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)单调递增 极大单调递减极小单调递增此时f(x)在(0， )上单调递增，在( )上单调递减，在( ，)上单调递增.是否存在实数a，使f(x)在(1,2)内为单调递增函数，若存在，求出a的取值范围？若不存在，说明理由.解：f(x)在(1,2)内为单调递增函数，f(x)0在x(1,2)内恒成立.即x2ax20在x(1,2)内恒成立，ax ，令h(x)x ，x(1,2)，则 h(x)3，a .又a0，a的取值范围是0a .运用导数求可导函数yf(x)极值的步骤：1
9、.先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；2.求方程f(x)0的根；3.检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负， 么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正，那么f(x)在 这个根处取得极小值.特别警示 可导函数的极值点必须是导数为0的点，导数为0的点不一定是极值点.可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在x0的左侧与右侧的f(x)的符号不同.不可导的点也可能是极值点.(文)(2009天津高考改编)设函数f(x) x3x2(m21)x(xR)，其中m0.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区
10、间与极值.思路点拨课堂笔记 (1)当m1时，f(x) x3x2，f(x)x22x，故f(1)1.所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1.(2)f(x)x22xm21.令f(x)0，解得x1m或x1m.因为m0，所以1m1m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1 m)1m(1m,1 m)1m(1m，)f(x )00f(x)极小值值极大值值所以f(x)在(，1m)，(1m，)内是减函数，在(1m,1m)内是增函数.函数f(x)在x1m处取得极小值f(1m)，且f(1m) m3m2 .函数f(x)在x1m处取得极大值f(1m)，且f(1m) m3m2 .在(1)的
11、条件下，求f(x)在x1,3上的最值.解：当m1时，f(x) x3x2，f(x)x22x.令f(x)0，则x0或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1 (1,0)0(0,2)2(2,3)3f(x)00f(x)00由上表可知，f(x)的最大值为 ，最小值为0.(理)(2009天津高考)已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)当a 时，求函数f(x)的单调区间与极值.思路点拨 课堂笔记 (1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.所以曲线yf(x)在点(
12、1，f(1)处的切线的斜率为3e.(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2.由a 知，2aa2.以下分两种情况讨论.(1)若a ，则2aa2.当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，a2) a2(a2， 2a)2a (2a，)f(x)00f(x)极大 值极小 值所以f(x)在(，a2)，(2a，)内是增函数，在(a2，2a)内是减函数.函数f(x)在xa2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.函数f(x)在x2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.在第(1)问的条件下，求f(x)在3,1上的最值.解：当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex令f(x)0，则x0或x2.当x变化时，f
