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1、 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则时, 有一、 无穷小运算法则 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证: 考虑两个无穷小的和 . 设当时 , 有当时 , 有取则当因此这说明当时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，( P56 , 题 4 (2) )解答见课件第二节 例5机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设又设即当时, 有取则
2、当时 , 就有故即是时的无穷小 .推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求解: 利用定理 2 可知说明 : y = 0 是的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、 极限的四则运算法则则有证: 因则有(其中为无穷小) 于是由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论: 若且则( P45 定理 5 )利用保号性定理证明 .说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示: 令机动 目录 上
3、页 下页 返回 结束 定理 4 . 若则有提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 .( C 为常数 )推论 2 .( n 为正整数 )例2. 设 n 次多项式试证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小(详见P44)定理 5 . 若且 B0 , 则有证: 因有其中设 无穷小有界因此由极限与无穷小关系定理 , 得为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理6 . 若则有提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时
4、分母为 0 !例3. 设有分式函数其中都是多项式 ,试证: 证: 说明: 若不能直接用商的运算法则 .例4.若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 . 求解: x = 1 时分母 = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 . 求解: 时,分子分子分母同除以则分母“ 抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：为非负常数 )( 如P47 例5 )( 如P47 例6 )( 如P47 例7 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、 复合函数的极限运算法则 定理7. 设且 x 满足时,又则有证: 当 时, 有当时, 有对上述取则当时故因此式成立.机动
5、 目录 上页 下页 返回 结束 定理7. 设且 x 满足时,又则有说明: 若定理中则类似可得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 求解: 令已知( 见 P46 例3 ) 原式 =( 见 P33 例5 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 . 求解: 方法 1则令 原式方法 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2
6、) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习1.是否存在 ? 为什么 ?答: 不存在 . 否则由利用极限四则运算法则可知存在 , 与已知条件矛盾.解:原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求解法 1 原式 =解法 2 令则原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 试确定常数 a 使解 : 令则故机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此作业P48 1 （5），（7），（9），（12），（14）2 （1），（3）3 （1）4第六节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故机动 目录 上页 下页 返回 结束
