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1、 第5章 微积分的应用微积分在实际问题中应用非常广泛， 特别是微分方程可以解决许多实际问题 。对于动态问题，通常可以与变化率 、进而与微分方程联系起来。可以考虑 建立微分方程模型。1. 雨中行走问题人在雨中沿直线从一处向另一处行走,当 雨的速度已知时,问人行走的速度多大时才能使 淋雨量最小?假设1.人行走的路线为直线，行走距离为L。2.雨的速度不变。3.人体为长方体。 分析：走的越快淋雨量越少吗？降雨速度变化吗？人身体的表面？行走的路线如何？淋雨量：通量！选择适当的直角坐标系,使人行走速度为：v1=(u,0,0)记雨的速度为：v2=(vx,vy,vz),相对速度：v= v2- v1 =(vx-
2、u,vy,vz)人身体的表面非常复杂,为了使问题简化,将人 体表面投影到三个坐标面，故可视为长方体，设其 前、侧、顶的面积之比为1:b:c 。单位时间内的淋雨量正比于| vx | vy | vz |从而总淋雨量正比于R(u)=(| vx | vy | vz |)T, (行走的时间为 L/u.)=(| vx | +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c 0) = 即问题化为1. vx a; 当 vx a时, u= vx , R(u)达到最小值.2. vx = a; 当 vx =a时, 在 u大于等于 vx 处 , R(u)都取 到最小值.3. vx a时,行走速度为 ,淋雨量最小,当
3、vx =a时,行走速度不小于 ,淋雨量最小 . 当 vx a时,走的越快,淋雨量越小.2.服药问题医生给病人开处方时必须注明两点：服药的剂 量和服药的时间间隔。超剂量的药品会对身体产生 严重不良后果,甚至死亡,而剂量不足,则不能达到治 病的目的。已知患者服药后,随时间推移,药品在体 内逐渐被吸收,发生生化反应,也就是体内药品的浓 度逐渐降低。药品浓度降低的速率与体内当时药品 的浓度成正比。在等间隔服药 ， 一次服药量为A的情况下，试 分析体内药的浓度随时间的变化规律.假设 当一次服药量为A时，体内药品的浓度瞬间增加a。 记 T服药间隔x(t) t 时刻体内药品的浓度单次服药由药品浓度降低的速率
4、与体内当时药品的浓度成正 比,得：等间隔多次服药(服药的脉冲性)：在区间nT, (n+1)T)上求解方程得x(t)=x(nT)e-k(t-nT) t nT, (n+1)T),n=0,1,2,在区间0, T)上解为：x(t)=ae-kt t nT, (n+1)T),n=0,1,2, 在区间T, 2T)上解为：x(t)= (a+ae-kT)e-k(t-T) 在区间2T, 3T)上解为：x(t)= (a+ae-kT +ae-2kT)e-k(t-2T) 在区间nT, (n+1)T)上解为：x(t)= (a+ae-kT +ae-2kT + ae-nkT )e-k(t-nT)=a(1- e-(n+1)kT
5、 )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT)=a(1- e-(n+1)kT )/ (1- e-kT ) e-k(t-nT) 由此看出，药的浓度在人体中呈上升趋势，且 最后稳定在一定的水平。当T=8,k=0.1, a=0.1 时，数值计算的结果如下图所示：3.交通管理中的黄灯时间 在十字路口的交通管理中,亮红灯之前,要亮 一段时间黄灯,这是为了让那些正行驶在十字路 口上或距十字路口太近以致无法停下的车辆通 过路口.那么,黄灯应该亮多长时间呢?1) 问题分析在十字路口行驶的车辆中,主要因素是机动车 辆。驶近交叉路口的驾驶员,在看到黄色信号后要 做出决定:是停还是要通过路口。假设他按法定速度(或
6、低于法定速度)行驶。当决定停车时,他必须有足够的停车距离。少 于此距离时不能停车,大于此距离时必须停车。等 于此距离时可以停车,也可以通过路口。当决定通过路口时,他必须有足够的时间使他 完全通过路口,这包括作出决定的时间、通过十字 路口的时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时 间。于是,黄灯状态应该持续的时间包括驾驶员的 决定时间(反应时间)、通过十字路口的时间和停车 距离的驾驶时间。 (2) 建模与求解记T1驾驶员反应时间,T2汽车通过十字路口的时间,T3停车距离的驾驶时间,则 黄灯应亮的时间为：T= T1 + T2 + T3下面计算T2 、T3设 法定行驶速度为v0,十字路口的长度为 I,
7、典型的车身长 度为L,则汽车通过十字路口的时间为:T2 =(I+L)/v0 停车过程是通过驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力, 使汽车减速直到停止。 设 m 为汽车质量,f为刹车摩擦系数,x(t)为行驶距离。由牛顿第二定律,刹车过程满足下述运动方程对方程积分一次,并代入初始条件得令末速为零,得刹车时间为：t1 = v0 / fg再积分一次,并代入条件x(0)=0得故停车距离为：所以 T3 = x(t1 )/v0 = v0 /(2fg) 驾驶员的反应时间T1,可根据统计数据或经验得到, 通常可假定为： T1=1 （秒）。 所以,黄灯应亮的时间为：T=(I+L)/v0 + v0 /(2fg) + T
8、14.新产品销售量一种耐用新产品进入市场后,一般会经过一 个销售量先不断增加,然后逐渐下降的过程,称 为产品的生命周期(Product Life Cycle),简记 为PLC。PLC曲线可能有若干种情况,其中有一种为 钟型，试建立数学模型分析此现象。1）问题分析当一个新产品进入市场时,其有关信息的传播一 般有两个途径: 经营者或厂家提供的广告；人们去商店亲眼看 到商品等，这是来自消费者以外的信息. 当一部分人购买之后经过使用而对产品有所评价 并传播开来,使其周围的人们得到了有关产品的信息,这是来 自消费者内部的信息.这两方面的信息引起消费者去购买该产品.由于是耐用产品(如电视机、洗衣机),所以
9、一般 不会重复购买.故产品的累积销售量可以认为是 购买者人数.2）建模与求解设 K为潜在的消费者总数,n(t)为t时刻购买了该产品的人数(累积销售量) 。在时间段t,t+t 中,购买者增量n(t)由两 部分组成:其一是由来自消费者外部的产品信息导致的购 买者增量:n1(t)其二是由消费者内部传播的产品信息导致的购买 者增量: n2(t)因外部信息导致的购买者增量应与未购买者人 数成正比。即:n1(t)=aK- n(t)t (a0为比例系数)因内部信息导致的购买者增量应与已购买者人 数、未购买者人数之积成正比。即：n2(t)= b n(t)K- n(t)t (b0为比例系数 )故在时间段t,t+
10、t 中,购买者总的增量为:n(t) = aK- n(t)t + b n(t)K- n(t)t 式两端同除以t,并令t 0得这就是该产品销售量的数学模型. 解此微分方程得 销售量为其导函数，导函数曲线即为PLC曲线,它 的图形为钟型.为什么要用三级火箭来发射人造卫星构造数学模型，以说明为什么不能用一级火箭而必须用 多级火箭来发射人造卫星？为什么一般都采用三级火箭系统 ？ 1、为什么不能用一级火箭发射人造卫星? （1）卫星能在轨道上运动的最低速度 假设：（i） 卫星轨道为过地球中心的某一平面上的圆，卫星 在此轨道上作匀速圆周运动。 （ii）地球是固定于空间中的均匀球体，其它星球对卫 星的引力忽略不
11、计。 分析： 根据万有引力定律，地球对卫星的引力为: 在地面有:得: k=gR2 R为地球半径， 约为6400公里 故引力: 假设(ii)假设(i)卫星所受到的引力也就是它作匀速圆周运动的向心力 故又有:从而 :设g=9.81米/秒2，得 : 卫星离地面高度(公里)卫星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86dmm-dmvu-v（2）火箭推进力及速度的分析 假设：火箭重力及空气阻力均不计 分析：记火箭在时刻t 的质量和速度分别为m(t)和(t) 有： 记火箭喷出的气体相对于火箭的速度为u（常数）， 由动量守恒定理： 0和m0一定的情
12、况下 ，火箭速度(t)由喷 发速度u及质量比决定 。 故：由此解得：（2）火箭推进力及速度的分析 现将火箭卫星系统的质量分成三部分： （i）mP（有效负载，如卫星） （ii）mF（燃料质量） （iii）mS（结构质量如外壳、燃料容器及推进器）。 最终质量为mP + mS ，初始速度为0， 所以末速度：根据目前的技术条件和燃料性 能，u只能达到3公里/秒，即使 发射空壳火箭，其末速度也不 超过6.6公里/秒。 目前根本不 可能用一级火箭发射人造卫星2、理想火箭模型 假设： 记结构质量mS在mS + mF中占的比例为，假设火 箭能随时抛弃无用的结构，结构质量与燃料质量以与 （1-）的比例同时减少。
13、 建模: 由 得到：解得： 理想火箭与一级火箭最大的区别在于，当火箭燃料 耗尽时，结构质量也逐渐抛尽，它的最终质量为mP， 所以最终速度为： 只要m0足够大，我们可以 使卫星达到我们希望它具 有的任意速度。考虑到空气阻力和重力等因素，估 计（按比例的粗略估计）发射卫星 要使=10.5公里/秒才行，则可推算 出m0/ mp约为51,即发射一吨重的卫 星大约需要50吨重的理想火箭 3、理想过程的实际逼近多级火箭卫星系统 记火箭级数为n，当第i级火箭的燃料烧尽时，第i+1级火 箭立即自动点火，并抛弃已经无用的第i级火箭。用mi表示第 i级火箭的质量，mP表示有效负载。 先作如下假设： （i）设各级火
14、箭具有相同的 ,即i级火箭中mi为结构 质量，（1-）mi为燃料质量。（ii）设燃烧级初始质量与其负载质量之比保持不变 ，并记比值为k。 考虑二级火箭： 当第一级火箭燃烧完时，其末速度为： 当第二级火箭燃尽时，末速度为： 该假设有点强加 的味道，先权作 讨论的方便吧又由假设（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，仍 设u=3公里/秒，且为了计算方便，近似取=0.1，则可得 ： 要使2=10.5公里/秒，则应使: 即k11.2，而: 类似地，可以推算出三级火箭： 在同样假设下: 要使3=10.5公里/秒，则(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而（ m1+ m2+
15、m3+ mP）/ mP77。 三级火箭比二级火箭 几乎节省了一半 是否三级火箭就是最省呢 ？最简单的方法就是对四 级、五级等火箭进行讨论 。考虑N级火箭： 记n级火箭的总质量（包含有效负载mP）为m0 ，在 相同的假设下可以计算出相应的m0/ mP的值，见表3-2n（级数）1 2 3 4 5 （理想）火箭质量（吨 ）/ 149 77 65 60 50表3-2由于工艺的复杂性及每节火箭 都需配备一个推进器，所以使 用四级或四级以上火箭是不合 算的，三级火箭提供了一个最 好的方案。当然若燃料的价钱很便宜 而推进器的价钱很贵切且 制作工艺非常复杂的话， 也可选择二级火箭。4、火箭结构的优化设计3中已经能说过假设(ii)有点强加的味道；现去掉该 假设，在各级火箭具有相同的粗糙假设下，来讨论火箭 结构的最优设计。 W1=m1+ mn+ mP W2=m2+ mn+ mP Wn= mn+ mP Wn+1= mP记应用（3.11）可求得末速度： 记则又
