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1、第7章 线性最优状态调节器如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统 的最优化问题，称为线性二次型问题。线性二次型最优控制特点：易于实现；具有工程性；线性最优控制的结果可以应用于工作在小信号 条件下的非线性系统，其计算和实现非线性控制方法 容易；线性最优控制器设计方法可以作为求解非线性 最优控制问题的基础；线性最优控制除具有二次型性 能指标意义上的最优性外，还具有良好的频响特性。7.1 线性二次型问题设线性时变系统的动态方程为（7-1）式中 为 维状态向量， 为 维控制向量， 为 维输出向量； 为维数适当的时变 矩阵，其各元分段连续且有界，在特殊情况
2、下可以 是常阵 。假定 ，且 不受约 束。若令 表示 维希望输出向量，则（7-2）称为误差向量。要求确定最优控制 ，是下列二 次型性能指标极小：（7-3）式中 为 维对称非负定常阵， 为 维对称 非负定时变矩阵， 为 维对称正定时变矩阵， 初始时刻 和末端时刻 固定。在二次型性能指标（7-3）中，其各项都有明确的物理含义。（1）末值项（7-4）不失一般性，取 ，表示对末态误差要求的各元等加权，则有此时，末值项表示 时刻的跟踪误差，即末态误差向量 与希望的零向量之间的距离平方和。当 时，表示对末态跟踪误差的各元有不同的要求。若取则式（7-4）可以表示为此时，末值项表示末态跟踪误差向量 与希望的零
3、向量之间的距离加权平方和。如果对末态跟踪误差不必限制，则可取 。此时性能指标 变为积分型。（2）第一过程项（7-5）若取则有于是，式（7-5）可以表示为上式表明，第一过程项表示在系统控制过程中，对动态跟踪误差加权平均和的积分要求，是系统在运动过 程中动态跟踪误差的总度量。（3）第二过程项（7-6）若取于是，式（7-6）可以表示为则有上式表明，第二过程项表示在系统控制过程中，对加权后的控制能量消耗的总度量。因此，二次型性能指标（7-3）的物理意义是：是系统在控制过程中的动态误差与能力消耗，以及控制 结束时的系统稳态误差综合最优。二次型性能指标有如下几种重要的特殊情形。（1）状态调节器的问题在系统
4、方程（7-1）和误差向量（7-2）中，如果则有从而，性能指标（7-3）演变为（7-7 ）（7-7 ）这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡零状态时，要求系统产生一控制向量，使性能指 标（7-7）极小，即使得系统状态 始终保持在零平衡状态附近。（7-8 ）（2）输出调节器的问题在误差向量（7-2）中，如果则有从而，性能指标（7-3）演变为（7-8 ）这时，线性二次型问题归结为：当系统受扰偏离原平衡状态时，要求系统产生一控制向量，使性能指标 （7-8）极小，即使得系统输出 始终保持在零平衡状态附近。（3）跟踪系统问题如果 ， 式（7-2）成立，性能指标保持 式（7-3）的形式不变，则线性
5、二次型问题归结为：当希望输出量 作用于系统时，要求系统产生一 控制向量，使性能指标（7-3）极小，即使得系统的实际输出 始终跟随 的变化。7.2 状态调节器所谓状态调节器问题，就是要求系统的状态保持在平衡状态附近。7.2.1 有限时间状态调节器 问题 7.1 设线性时变系统状态方程为（7-9）式中 无约束；矩阵 与 维数适当，其各元连续且有界。要求确定最优 控制 ，使下列性能指标极小： （7-10 ）式中权矩阵 其各元均连续有界；末端时刻 固定且为有限值。（1） 最优解的充分必要条件定理7-1 对于最优调节器问题7-1，最优控制的充分必要条件（7-11）最优性能指标为（7-12）式中 维对称非
6、负矩阵 满足黎卡提矩阵微分方程（7-13） 其边界条件为而最优轨线 ，则是下列线性向量微分方程的解：（7-14）（7-15 ）证明 ：必要性：证(5-14)表示的u*确为最优，取H函数为 ：根据最优控制的控制方程：可得 ：因为 ：故u*为使哈密顿函数取极小控制 。因末态自由，横截条件为： （见P50定理3-1）由正则方程，得：（7-19）设协态方程的解为则状态方程为（7-23）解此方程，可得最优轨线：此外：将（7-23）代入：与（7-19）式比较可得 ：该方程称为黎卡提（Riccati )矩阵微分方程由和可知黎卡提微分方程的边界条件为：因此，得最优控制的必要条件为：必要性得证。充分性：若上式
7、u* 中P(t)为黎卡提方程满足边界条件的 解，我们能证明它满足哈密顿-雅可比方程，则根据连续 系统动态规划，充分性成立。令哈密顿-雅可比方程为由于 u(t) 无约束，令解得 ：将该式与对照，可使从而可得代入哈密顿-雅可比方程，得注意到可以得到若P(t)满足黎卡提方程则用 描述的控制u*(t)对于任何x(t)均满足哈密顿-雅可比方程而如此表述的故当上述黎卡提方程的边界条件为：对照性能指标的终端项则有充分性得证。由取可得（2）黎卡提方程解的若干性质由定理7-1可知，问题7-1的最优控制是状态的 线性反馈形式(7-16)式中(7-17)为反馈增益矩阵。由于式（7-17）中矩阵 和 是已知的，因此闭
8、环系统的性质取决于黎卡提方程 的解 。 是唯一的。 是对称的。命题7-1 若矩阵 是黎卡提方程（7-13）及其边 界条件（7-14）的唯一解，则必为对称矩阵，即(7-18)证明：由黎卡提方程及边界条件：考虑到 F、R、Q 均为对称阵，将上式转置：可见上述两个矩阵微分方程和其边界条件完全相同。由 P(t) 解的惟一性，可知 是非负的。命题7-2 对于性能指标（7-10）如果对有所的 ，有则对于任意的 和相应的 ，总有命题7-3 若矩阵 是黎卡提方程（7-13）及其边 界条件（7-14）的唯一解，则其在区间 上必为非负矩阵。（3）最优控制解的存在性与唯一性定理7-2 对于最优调节器问题7-1，若
9、有限， 则式（7-11）给出的最优控制 存在且唯一。P170P172 的两个例题给出了如何应用黎卡提方程来解最优控制的例子。 7.2.2 无限时间状态调节器对既有最优性要求，又有稳定性要求的问题只能用无限时间调节器理论去解决。（1）无限时间时变状态调节器问题 7-2 设线性时变系统状态方程为(7-19)性能指标(7-20)式中向量 及矩阵 的假定 同问题7-1，控制 不受约束。要求确定最优控制 ，使性能指标（5-20）极小。定理7-3 对于无限时间时变状态调节器问题7-2,若阵对 完全可控，则存在唯一的最优控制(7-21)最优性能指标为(7-22)式中(7-23)是对称、非负的，而 是如下黎卡
10、提方程：(7-24)及其边界条件的唯一解。(7-25)关于定理7-3,有如下几点标记.1）对系统提出的完全可控性要求，是为了保证最优解的存在。例 ： 设系统状态方程及初始条件为性能指标试求最优控制 及最优性能指标 。解 状态 不可控。本例为线性定常系统，其可控性判据故系统不可控。 不可控状态 不稳定。系统矩阵状态转移矩阵故系统的零输入响应为显然 不稳定且不可控状态 包含于性能指标之 中。无论 取何值 时，性能指标因而本例不存在使 的最优控制实际上，本例为线性定常系统，性能指标中的权矩阵亦为常阵。因此，即使对于无限时间定常状 态调节器问题，为了保证最优解存在，也必须要求 系统完全可控。3） 对于
11、无限时间时变状态调节器，由于黎卡提方 程（7-24）在边界调节（7-25）下的稳态解 仍为时变矩阵，因而最优控制律是时变的，不便于工 程应用。2） 对于无限时间状态调节器，通常在性能指标中不考虑终点指标，取权阵 。其原因有二：一是希望 ，即要求稳态误差为零，因而性能指标中不必加入体 现终点指标的末值项；二是工程上仅考虑在有限时间 内系统的响应，因而 时的终点指标将失去工 程意义。（2）无限时间定常状态调节器问题 7-3 设线性定常系统状态方程为(7-26)性能指标(7-27)式中 无约束；矩阵 和 是维数适当的常数矩阵。并且， 和 分别为 非负定和正定对称矩阵。要求确定最优控制 ， 使性能指标
12、（7-27）极小。定理 7-4 对于系统（7-26）和性能指标（7-27），若对于任意矩阵 ，有 ，且 是如 下黎卡提矩阵代数方程：7-28的解，则阵对 完全可观的充分必要条件是 为对称正定矩阵定理 7-5 对于无限时间定常状态调节器问题7-3,若阵对 完全可控，阵对 完全可观，其 中 ，且 任意，则存在唯一的最优控制(7-29)最优性能指标为(7-30)式中 为对称正定常阵，是下列黎卡提矩阵代数方程的唯一解(7-31)7.2.3 最优调节系统的渐进稳定性按定常调节器问题进行综合，可得最优调节系统，其闭环系统方程为(7-32)研究该最优调节系统渐进稳定的必要条件。定理 7-6 设线性定常系统(
13、7-33) 性能指标(7-34)7-35为渐进稳定的最优调节系统， 为一个李雅普 诺夫函数。其中， 为对称正定常阵，是黎卡提矩阵 代数方程7-31的唯一解。式中 无约束；矩阵 和 是维数适当的常数矩阵。并且， 和 分别为 非负定和正定对称矩阵。若阵对 完全可控，阵 对 完全可观，其中 ，而 任意，则 闭环系统命题 7-4 对于系统（7-33）和性能指标（7-34）,已 知阵对 可控，且系统（7-33）的可控标准形为式中 为可控对。假定 不可观，其中 。 如果的特征值均具有负实部，则最优闭环系统是渐进稳定的 。7.3 具有给定稳定度的状态调节器问题7-4 设线性定常系统状态方程(7-36)性能指标(7-37)式中 无约束；矩阵 和 是维数适当的常数矩阵。并且
