《数值分析4.2节(研究生)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析4.2节(研究生)（44页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2 牛顿-柯特斯求积公式4.2.1 公式的导出4.2.2 牛顿-柯特斯公式的代数精度4.2.3 低阶求积公式的余项4.2.4 复化求积法4.2 牛顿-柯特斯求积公式 4.2.1 公式的导出2 柯特斯系数的求取n 11/21/2 21/64/61/6 31/83/83/81/8 47/9016/452/1516/457/90 519/28825/9625/14425/14425/9619/288 641/8409/359/28034/1059/2809/3541/840 7751/172803577/172801323/172802989/172802989/172801323/172803
2、577/17280751/17280 8989/ 283505888/ 28350-928/ 2835010496/ 28350-4540/ 2835010496/ 28350-928/ 283505888/ 28350989/ 28350柯特斯求积系数表： 例如：n=1时，有n=2时，有柯特斯系数的性质 (2) 系数有对称性。 (3) 当n8时开始出现负值的柯特斯系数。 (1)取f(x)1，则 f(n+1)(x)0, Rn(f)0，于是梯形公式 当n=1时, 有 相当于用直线P(x)代替f(x)计算积分。3 常用的低阶牛顿-柯特斯公式抛物线(辛卜生)公式牛顿柯特斯求积公式 当n=2时有 相当
3、于用过两个端点和中点的二次 抛物线P(x) 代替f(x)计算积分。辛卜生公式的几何意义 柯特斯公式牛顿柯特斯求积公式 当n=4时有 用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式求积积分,并与精确值值比较较。用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式求积积分,并与精确值值比较较。用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式求积积分4.2.2 牛顿柯特斯公式的代数精度当 f(x)是 1,x,x2, xm 时，准确成立，但当f(x)= xm+1时，不准 确成立，则称求积公式的代数精确度（简称代数精度）为m。 复习 定义 求积公式（Ai与f(x)无关）牛顿柯特斯公式是把积分区间分成n等分，用n+1个 节点构造的插值求积公式。因此
4、，牛顿柯特斯公式至少具 有n 次代数精度，但当n为偶数时具有n+1 次代数精度。定理 当n是偶数时，牛顿柯特斯求积公式具 有n+1次代数精确度。梯形公式， n=1( 2个节点）,有 1 次代数精度， 应用梯形公式不是因为其代数精度高，而是因为其简单 。辛卜生（抛物线）公式，n=2 ( 3个节点）,有3次 代数精度， 柯氏公式，n=4 ( 5个节点）,有5次代数精 度。因为其代数精度高，所以常采用。 当n=3 (4个节点）,因为n=3不是偶数，只有3次代 数精度，所以该公式不采用。 例 用牛顿-科特斯公式计算定积分。证 由于(x-a)(x-b)在a, b 中不变号， 在a, b 中连续，根据广义
5、积分中值定理，存在一点 a, b ,使4.2.3 牛顿柯特斯公式的余项梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的余项（误差估计 ）定理（梯形公式的余项）设f(x)在a,b上具有连续的二阶导数，则梯形公式的余项（误差)对梯形公式余项的说明1负号2f(x)的2阶导数，有1次代数精度。3 和区间的3次方成正比。例 证明 梯形公式的代数精度为1。 证明 梯形公式是 误差 当f(x)=1,x 时，R1 (f ) = 0, 梯形公式成为准确等式. 当f(x)=x2 时，根据梯形公式， R1 (f )不为零。因此，梯形公式的代数精度为1。定理 （辛卜生公式的余项）设f(x)在a,b上具有连续的四阶导数，则辛卜生公式
6、的余项 定理 （柯特斯公式的余项）设f(x)在a,b上具有连续的六阶导数，则柯特斯公式的余项对辛卜生公式余项的说明1负号2f(x)的4阶导数，有3次代数精度。3 和区间的5次方成正比。例 证明辛卜生公式的代数精度为3。 证明辛卜生公式是 误差 当f(x)=1,x,x2,x3 时，R2 ( f ) = 0,辛卜生公式成为准确等式. 当f(x)=x4 时，因此，辛卜生公式的代数精确度为3。0，辛卜生公式不能准确成立。对科特斯公式余项的说明1负号2f(x)的6阶导数，有5次代数精度。3 和区间的7次方成正比。导出左矩形公式的余项。导出左矩形公式的余项。导出左矩形公式梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式在
7、区间 不大时，用来计算定积分是简单实用的。但当区间比 较大时，由余项可以看出精度差（梯形公式、辛卜生 公式和柯特斯公式的余项分别和区间长度的3，5，7 次方成正比），为减小因区间过大造成的误差过大， 将积分区间等分成 n 等份，对每等份（每个小区间 ）分别用低阶的牛顿柯特斯公式（如梯形公式、辛 卜生公式或柯特斯公式）求积，然后将其结果加起来 ，得到积分的近似值。4.2.4 复化求积法 复化求积法的基本思想：为减小因区间过大而造成的误差过大，将积分 区间等分成若干等份,每份成为一个子区间，然后 对每个子区间用低阶的求积公式（如梯形公式、辛 卜生公式或科特斯公式等）求积，再利用积分的区 间可加性，
8、把各区间上的积分加起来，得到复化求 积公式。将积分区间等分成n个小区间，在每个小区间上分别用梯形求积公式求积，然后再将其结果加起来。设f(x) 在a,b上有连续的二阶导数，n是正整数. 将a,b等分成n个小区间1 复化梯形公式及其误差在 ，上运用梯形公式然后对各子区间的积分值相加 在a,b 上的误差由于f(x)连续，对连续函数在a,b上存在 ，有 （平均值）梯形公式的误差已知为当f(x)在a,b有连续的2阶导数时，在子区间例 用n=6的复化梯形公式计算积分 的近似值。 解 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.21.827655 用n=6的复化梯形公式计算积分 解 2 复化辛卜生（抛物线
9、）公式及其误差记子区间的中点为则复化辛卜生（抛物线）求积公式当f(x) 在a,b上有连续的4 阶导数时，在子区间 辛卜生公式的误差为使绝对误差小于10 6。 例 用复化辛卜生公式计算积分 的近似值, 解 解不等式 求得 n=6。用n=6的复化抛物线公式计算积分，见上例。3 复化柯特斯公式及其误差将子区间分成4等份，内分点依次为则复化柯特斯求积公式当f(x)在a,b有连续的6阶导数时，复化柯特斯公式的误差例 用复化梯形公式、复化辛卜生公式（用7个点上的函数值值）计计算积积分的近似值值。例 用复化梯形公式、复化辛卜生公式（用7个点上的函数值值）计计算积积分的近似值值。例 用复化梯形公式、复化辛卜生公式（用7个点上的函数值值）计计算积积分的近似值值。
