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1、 研究生有限元法授课大纲2 杆系结构有限元4 空间与轴对称问题5 板弯曲有限元分析6 壳弯曲有限元分析3 平面问题有限元分析理论- 公式 - 程序 - 实际应用1 绪论、弹性力学基本方程、虚位移原理、最小势能原理7 广义变分原理有限元法考核方式2 一个有限元程序 （MATLAB语言编写）时间：第19周前全部完成3 口试1 有限元学习报告（打字）第20周 考试结束第1章 有限元法绪论第1节 概述 Clough-The finite element method起源: 50年代飞机结构矩阵分析Argyris,Turner ,Clough60年代弹性力学平面问题,目前已涉及众多领域实质: 对力学模型
2、进行近似数值计算的方法将无限自由度问题变成有限自由度问题分析过程:结构离散化,确定位移模式,单元特性分析整体分析,解方程,输出计算结果,其他处理杆系结构学习方法:与矩阵位移法对比相同与不同之处了解基本原理,各种方法的共性与实质通过自编程序进一步熟悉原理连续体应用状况:标准通用软件SAP2000,ANSYS,各种专用程序第2节 弹性力学基本方程 一、平衡方程二、几何方程三、本构关系四、协调方程五、边界条件(应力,位移)位移应力续第2节 弹性力学基本方程矩阵表示位移列阵体积力列阵应力列阵应变列阵表面外法线方 向余弦矩阵微分算子列阵表面力列阵已知位移列阵二、几何方程三、本构关系四、协调方程五、应力边
3、界条件一、平衡方程位移边界条件第3节 虚位移原理弹性体处于平衡状态的必要与充分条件：对于任意的、满足相容条件 的虚位移 ，外力所做的功等于弹性体所接受的总虚变形功。总虚变形功：对于平面问题：虚位移原理总外力虚功：第4节 最小势能原理在几何可能的一切容许位移和形变中,真正的位移和形变使总势能取 最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正的位移和形变。 总 势 能：即：形变势能的变分表达式与虚变形功的表达式完全相同。最小势能原理形变势能：外力势能：形变势能变分:外力势能变分:即：外力势能的变分表达式与外力虚功负值的表达式完全相同。第2章 杆系结构有限元 第1节 等直杆单元分析位移列 阵由结点位移得
4、设位移模式其中:待定参数为:结点位移表示的位移模式为:形函数矩阵为:1、用结点位移表示单元的位移模式2、用结点位移表示应变和应力第1节 等直杆单元分析续13、用虚位移原理导出梁单元的刚度矩阵第1节 等直杆单元分析续21、分布轴力p(x)的移置第2节 等效结点力计算等效结点力原分布荷载按照虚功相等的原则移置到单元结点上的力2、分布扭转力矩m(x)的移置3、分布横向力q(x)的移置第3节 单元刚度矩阵的坐标变换坐标转换矩阵第3章 平面问题有限元分析第2节 矩形双线性单元第3节 收敛准则 多项式位移模式阶次的选择第1节 三角形常应变单元第4节 六结点三角形单元第5节 四结点四边形等参单元第6节 八结
5、点四边形等参单元第3章 平面问题有限元分析第1节 三角形常应变单元一、离散化将连续体用假想的线或面分割成有限个部分，各部分之 间用有限个点相连。 每个部分称为一个单元，连接点称为结点。 三角形网格划分结点力,单元结点力结点位移,单元结点位移二、位移模式与形函数第1节 三角形常应变单元(续1)代数余子式I 二阶单位阵,N 形函数矩阵第1节 三角形常应变单元(续2)三、应变四、应力应变矩阵为常量，单元内应变是常数应变矩阵为常量，单元内应力也是常数，相邻单 元的应变与应力将产生突变，但位移确是连续的。第1节 三角形常应变单元(续3)五、单元刚度矩阵第1节 三角形常应变单元(续4)六、等效结点力、载荷
6、列阵第1节 三角形常应变单元(续5)七、形函数的性质第1节 三角形常应变单元(续6)八、面积坐标第2节 矩形双线性单元矩形单元矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数正方形规则单元正方形单元与矩形单元的关系形函数的性质：本点处值为1，它点处值为0第2节 矩形双线性单元(续1)二、应变三、应力平面应力问题第2节 矩形双线性单元(续2)四、单元刚度矩阵第3节 收敛准则 多项式位移模式阶次的选择一、收敛准则1、位移模式必须包含单元的刚体位移满足条件1、2的单元为完备单元二、多项式位移模式阶次的选择按照帕斯卡三角形选2、位移模式必须能包含单元的常应变3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的
7、位移必须协调满足条件3的单元为协调单元几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关帕斯卡三角形多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总数。第4节 六结点三角形单元一、位移模式与形函数取三角形顶点和边中点作结点，位移模式为：六结点三角形单元用面积坐标表示的形函数为：二、应变第4节 十结点三角形三次单元确定位移模式和形函数取三角形各边三分点和面积坐标相等的内 点作为结点十结点三角形单元。十结点三角形单元第5节 四结点四边形等参单元 一、母单元的形函数母单元 三、位移模式四边形单元二、坐标变换由此可知：单元的位移场和单元形状用相同的形函数，故称等参数单元（等参元） 四、导数的
8、坐标变换其中：第5节 四结点四边形等参单元（续1）五、面积微元的坐标变换第6节 八结点四边形等参单元 一、母单元的形函数母单元三、位移模式八结点四边形单元二、坐标变换第4章 空间与轴对称问题有限元分析第2节 四面体等参数单元第3节 八结点六面体等参数单元第1节 四面体常应变单元第4节 二十结点六面体等参数单元第5节 轴对称三角形单元第6节 轴对称等参数单元第4章 空间与轴对称问题有限元分析第1节 四面体常应变单元一、位移模式与形函数代数余子式四面体单元第1节 四面体常应变单元(续1)I 三阶单位阵,N 形函数矩阵 二、应变矩阵三、应力矩阵四、单元刚度矩阵五、单元等效结点荷载第2节 四面体等参数
9、单元二、坐标的等参变换四面体单元一、体积坐标三、四面体十结点单元第3节 八结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第4节 二十结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第4节 二十结点六面体等参数单元(续1)I 三阶单位阵,N 形函数矩阵五、应变矩阵六、应力矩阵四、导数的坐标变换七、单元刚度矩阵第4节 二十结点六面体等参数单元(续2)八、单元等效结点荷载第5节 轴对称三角形单元二、应变一、位移模式三角形环形单元内的应变不是常数！代数余子式第5节 轴对称三角形单元(续1)四、单元刚度矩阵三、应力近似单刚矩阵子块第5节 轴对称三角形单元(续2)五、等效结点力第6节 轴对称
10、等参数单元三、导数坐标变换一、形函数与位移模式母单元二、坐标变换与平面八结点 形式相同！第6节 轴对称等参数单元(续1)六、单元刚度矩阵五、应力四、应变七、等效结点力第6节 轴对称等参数单元(续2)第5章 板的弯曲有限元分析第2节 矩形12自由度单元第3节 三角形单元第1节 薄板弯曲理论基础第4节 其他第5章 板的弯曲有限元分析第1节 薄板弯曲理论基础一、薄板基本假设平板内力二、基本方程第1节 薄板弯曲理论基础(续1)第2节 矩形12自由度单元矩形单元矩形单元结点位移、结点力列阵一、位移模式与形函数第6章 壳的弯曲有限元分析第2节 矩形12自由度单元第3节 单元第1节 薄板弯曲理论基础第4节
11、单元第5节 单元第6节 单元第4章 空间与轴对称问题有限元分析第1节 四面体常应变单元一、位移模式与形函数代数余子式四面体单元第1节 四面体常应变单元(续1)I 三阶单位阵,N 形函数矩阵 二、应变矩阵三、应力矩阵四、单元刚度矩阵五、单元等效结点荷载第2节 四面体等参数单元二、坐标的等参变换四面体单元一、体积坐标三、四面体十结点单元第3节 八结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第4节 二十结点六面体等参数单元一、形函数三、位移模式二、坐标变换第4节 二十结点六面体等参数单元(续1)I 三阶单位阵,N 形函数矩阵五、应变矩阵六、应力矩阵四、导数的坐标变换七、单元刚度矩阵第4节
12、二十结点六面体等参数单元(续2)八、单元等效结点荷载第5节 轴对称三角形单元二、应变一、位移模式四、应力三角形环形单元内的应变不是常数！第5节 轴对称三角形单元(续1)五、单元刚度矩阵第7章 广义变分原理第2节 泛函及其变换格式第3节 含可选参数的广义变分原理第1节 虚力原理与最小余能原理第4节第5节第6节第7章 广义变分原理第1节 虚力原理与最小余能原理广义变分原理：研究如何将有附加条件的变分原理变成无附加条件的变分原理 。一、虚力原理给定位移状态协调的充分必要条件是，对一切自平衡的虚应力 ，恒有如下虚功方程成立：二、最小余能原理变形体的总余能：在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应
13、力的充分 必要条件是，变形体的总余能取驻值最小余能原理。虚位移原理等价于平衡条件；虚力原理等价于变形协调条件。第1节 虚力原理证明（续1）一、必要性证明已知位移状态协调、虚应力是任意平衡的，虚力原理成立。二、充分性证明已知对一切自平衡的虚应力虚功方程恒成立。与应力对应的位移协调第1节 虚力原理证明（续2）根据格林公式，可得第1节 虚力原理证明（续3）第2节 泛函及其变换格式一、概述1、变量的分类泛函变量、增广变量泛函中所显含的自变函数，称为泛函的泛函变量2、泛函所满足条件的分类强制条件、自然条件、增广条件泛函中除泛函变量之外，对所讨论问题应包含的函数，称为泛函的增广变量3、两泛函间关系的分类广
14、义等价、等价、互等泛函中泛函变量必须事先满足的条件，称为强制条件由泛函的变分等于零所导出的条件（欧拉方程），称为自然条件泛函中泛函变量与增广变量或两增广变量间应满足的条件，称为增广条件两泛函所包含的变量相同，所满足的全部条件相同，则此两个泛函广义等价若两广义等价的泛函其所包含的变量对应且相同，所满足条件也对应相同，则此两泛函等价若两等价泛函间只相差一个比例系数，则此两个泛函为互等4、泛函的变换格式放松格式、增广格式、等价格式有一个泛函变成另一个泛函有3种常用的格式：放松格式、增广格式、等价格式。第2节 泛函及其变换格式（续1）二、放松格式拉氏乘子法余能原理的数学表示：强制条件为：利用拉氏乘子将强制条件吸收到泛函中的泛函变换，即为放松格式。第2节 泛函及其变换格式（续2）三、增广格式高阶拉氏乘子法二类变量的广义余能原理（Hellinger-Ressner原理）：将增广条件构造二次型引入少变量无条件泛函，从而获得多变量无 条件泛函的泛函变换，即为增广格式。第2节 泛函及其变换格式（续3）三、等价格式 利用自然条件构造二次型。将无条件泛函变为含可选参数的无条件 泛函，即为等价格式变换。第3节 含可选参数的广义变分原理由自然条件构造14个二次型利用等价格式建立新泛函：第3节 含可选参数的广义变分原理（续1）
