《机械设计方法概论11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《机械设计方法概论11（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.4 整体分析l 平面三角形3结点单元的刚度 矩阵为6阶矩阵，结点等效载荷列 阵为6行列阵，这与单元3结点共 有23=6个位移相对应，也就是 说，单元刚度矩阵的阶数和结点 等效载荷列阵的行数要与单元结 点位移数相等。 l同样，具有n个离散结点的平面 弹性体的总刚度矩阵是一个2n 阶的矩阵。因此，其单元刚度 矩阵和结点等效载荷列阵分别 要扩充为2n阶和2n行。l以下图所示的有5个结点和3个 单元的弹性平板受集中力p作用 情况为例，说明尺寸扩充的具 体做法。 结构整体刚度矩阵图7-3 5结点3单元平板的有限元模型l该弹性平板的3个单元分别由3组结点构成：l第一单元（结点1、2、3）；l第二单元（
2、结点1、3、4）；l第三单元（结点3、5、4）。l第一、二、三单元结点位移列阵 为l第一、二、三单元刚度矩阵为（ 行列序号为单元结点序号）l第一、二、三单元结点载荷列阵 为从各单元矩阵可以看出：矩阵元素 都以所属结点序号为下标，以所属 单元序号为上标；l单元矩阵和列阵尺寸扩充的做法：l按结点数的2倍确定所有矩阵和列 阵的阶数和行数，本弹性体共有5个 结点，因此阶数和行数为10；l单元结点位移列阵改写为本弹性体 全部结点的10阶位移列阵l单元结点载荷列阵扩充改写为10 阶的载荷列阵 对扩充为10阶的单元刚度矩阵元素实行“对号 入座”式的填写，即只填写与所属结点序号 对应的行列位置上的元素，其余位
3、置上的元 素写零，具体做法（按22子块方式）l结构整体刚度矩阵为各单元刚 阵的叠加，即l虽然总体单元数和结点数很多 ，结构刚度矩阵的阶数很高， 但刚度系数中非零系数却很少 ，这就是刚度矩阵的大型和稀 疏性。l实际上，只要结点编号合理，这些 稀疏的非零元素将集中分布在以主 对角线为中心的一条带状区域内， 具有带状分布的特点，如下图所示 。l结构刚度矩阵K具有以下性质：l（1）对称性；l（2）奇异性；l（3）稀疏性；l（4）非零元素呈带状分布。7.5 边界约束条件的处理l有限元法中，几何边界条件的形式是 给定若干个边界结点上的位移值，即可以是零值或非零值。l这样一来有限元方程中出现了恒等式 ，可以
4、采取简单地去掉这些恒等式的 方法，求解只含有未知结点位移的有 限元方程，7.5 边界约束条件的处理l对于刚度矩阵，只需划掉与已知 结点位移对应的行列，对于结点 位移和结点载荷列阵只需划掉对 应行即可。但那样做却不利于编 程，因此通常是采取一种不用改 变原方程尺寸的对角元素乘大数 法引入边界条件。 l具体做法是，当有结点位移为给定值j时 ，第j个方程作如下修改：对角元素Kjj乘 以大数（可取1010左右量级），并将Pj 用Kjj取代，即l经过修改后的第j 个方程为l由于KjjKij（ij），方程 左端的Kiiaj 项较其他项要大得 多，因此近似得到l则有l【例】高深悬臂梁平面问题的有限元分 析l
5、图示为一高深悬臂梁，在右端部受集中 力F作用，材料弹性模量为E、泊松比 =1/3，悬臂梁的厚度(板厚)为t，不计 体力，试按平面应力问题计算各个节点 位移及支座反力。l【解】对该问题进行有限元分析的过程如下。 （1）结构的离散化与编号l对该结构进行离散，单元编号及结点编号如图 所示，即有两个3结点三角形单元（2、3、4和 3、2、1）。l载荷F按静力等效原则向结点1和结点2移置。l结点位移列阵l结点外载荷列阵Fl约束的支反力列阵Rl总的结点载荷列阵Pl其中 R x3，R y3和R x4，R y4 分别为 结点3和结点4的两个方向的支反力。l （2）各个单元刚度矩阵l 若二单元各取图示局部编码（
6、 都以最小角顶点为结点i，另一锐 角顶点为结点j）时，其单元刚度 矩阵将完全相同，即l代入有限元方程 F = K中，即有l（4）引入边界条件求解有限元方程l该实例的位移边界条件为l将其代入有限元方程中，划去上述已知结 点位移所对应的第5至第8小行小列，则有l由此式可求出结点位移如下：l（5）支反力的计算l将所求得的结点位移式代入总刚度有限元 方程中，可求得支反力如下：l【例】计算受集中力作用的三角形平板（见图7-12）。l已知集中力P=10，弹性模量E=1，泊松比=0.25，板厚 t=1，不计体力。l （a）三角形平板 （b）有限元模型l 图7-12 受集中力作用的三角形平板l【输入数据】l结
7、点数目：10 单元数目：9l平面应力问题 PTYPE=1（平面问题 类型标志）l弹性模量E 泊松比=0.25l比重G 平板厚度t=1l表1 结点坐标l结点号码 x yl1 +0.0 +0.0l2 +2.0 +0.0l3 +4.0 +0.0l4 +6.0 +0.0l5 +1.0 +2.0l6 +7.0 +2.0l7 +5.0 +2.0l8 +2.0 +4.0l9 +4.0 +4.0l10 +7.0 +6.0l表2 结点位移计算结果l结点号码 x y u vl1 +0.00 +0.00 +0.00 +0.00 l2 +2.00 +0.00 +1.094 +1.77e+01 l3 +4.00 +0.
8、00 -1.094 +1.77e+01l4 +6.00 +0.00 +0.00 +0.00l5 +1.00 +2.00 -1.641 +1.57e+01l6 +7.00 +2.00 +0.00 +2.10e+01l7 +5.00 +2.00 +1.64e+00 +1.57e+01l8 +2.00 +4.00 +8.21e-01 +2.53e+01l9 +4.0 +4.00 -8.206e-01 +2.53e+01l10 +7.00 +6.00 +0.00 +4.45e+01l表3 结点应力位移计算结果l结点 x应力 y应力 剪应力 主应力1 主应力2l1 +1.492 +7.773 +7.11
9、 +5.9476 -6.85e-01l2 +5.67e-01 +1.90e+00 +1.262 +2.662e+00 -1.93e- 01l3 +5.67e-01 +1.903e+00 -1.26e+00 +2.663e+00 -1.93e- 01l4 +1.49e+00 +7.77e+00 -7.11e+00 +5.947e+00 -6.85e-01l5 +1.42 +2.75e+00 +1.72e+00 +7.93 +2.34l6 +0.747 +2.076e+00 -7.64e-12 +2.075e+00 +7.47e- 01l7 +1.42 +2.747 -1.724e+00 +7.929 +2.34e- 01l8 +1.06 +5.35 +4.61e-01 +5.340 +1.02e+00l9 +1.06 +5.35 -4.62e-01 +5.39e+00 +1.02e+00l10 +1.679 +1.00e+01 +1.25e-10 +1.00e+01 +1.68e+00
