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1、第二章 优化设计的数学基础一、等值（线）面对于可计算的函数 f(x)，给定一个设计点 X(k)(x1(k),x2(k), ,xn (k)，f(x)总有一个定值c 与之对应；而当f(x)取定值 c 时，则有无限多个设 计点X(i)(x1(i), x2(i), ,xn(i) ) （i=1,2, ）与之对应，这些点集构成一个曲面，称为等值面。当 c 取c1,c2, 等值时，就获得一族曲 面族，称为等值面族。 当f(x)是二维时， 获得一族等值线族；当f(x)是三维时， 获得一族等值面族；当f(x)大于三维时 ，获得一族超等值面 族。等值线的“心” （以二维为例）第二章 优化设计的数学基础一个“心”：
2、是单峰函数的极（小）值点，是全局极（小）值点 。没有“心”：例，线性函数的等值线是平行的，无“心”，认为极 值点在无穷远处。多个“心”：不是单峰函数，每个极（小）值点只是局部极（小 ）值点，必须通过比较各个极值点和“鞍点”（须正确判别）的值， 才能确定极（小）值点。第二章 优化设计的数学基础等值线的分布规律：等值线越内层其函数值越小（对于求目标函数的极小化来说）沿等值线密的方向，函数值变化快；沿等值线疏的方向，函数值变 化慢。对于有心的等值线来说，其等值线簇的中心就是一个相对极小点； 而对于无心的等值线簇来说，其相对极小点就是在无穷远了。第二章 优化设计的数学基础二、梯度方向导数：二维问题中，
3、f (x1,x2 ) 在 X(0) 点 沿方向 s的方向导数为：其中：是 X(0)点的梯度。S 为s方向的单位向量， 。为 S 的方向角,方向导数为梯度在方向 s 上的投影。第二章 优化设计的数学基础梯度的性质： 梯度的模因点而异，即函数f(x)在不同点的最大增长率不同 。梯度方向是X(0)点处指向函数变化率最大的方向，是函数的一 种局部性质，只反映X(0)点邻近的函数性质；梯度方向与过该点的等值线的切线是正交的，是过该点的等值 线的法线方向；正梯度方向是函数值最速上升的方向，负梯度方向是函数值最 速下降的方向。梯度方向的几何意义第二章 优化设计的数学基础梯度方向与等值线的关系第二章 优化设计
4、的数学基础对于 n 维问题的梯度第二章 优化设计的数学基础例2-1求函数 在 处函数变化率最大的方向和数值。 解 函数变化率最大的方向就是梯度方向，用单位向 量 表示，其数值就是梯度的模。计算如下：第二章 优化设计的数学基础三、多元函数的泰勒展开n 维函数 f(x) 在 x(k) 点的台劳展开式:二阶近似式：其中：增量 X (k) =x1 (k) , x2 (k) , xn (k) T梯度 Hesse 矩阵第二章 优化设计的数学基础例2-2 求二元函数 在 点处的二阶泰勒展开式 解 二阶泰勒展开式为 将 的具体数值代入，有 第二章 优化设计的数学基础此函数的图像是以 点为顶点的旋转抛物面 。
5、第二章 优化设计的数学基础四、Hesse 矩阵与正定Hesse 矩阵的特性：是实对称矩阵。 Hesse 矩阵的正定性： H(x*)正定， 是 x* 为全局极小值点的充分条件； H(x*)半正定, 是 x* 为局部极小值点的充分条件； H(x*)负定， 是 x* 为全局极大值点的充分条件； H(x*)半负定, 是 x* 为局部极大值点的充分条件。H是正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于0;H是负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小 于0，并且它的所有偶数阶主子式都大于0；H是半正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于等 于0；H是半负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都 小于等于0
6、，并且它的所有偶数阶主子式都大于等于0；无约束优化问题是使目标函数取得极小值， 极值条件是指目标函数取得极小值时极值点应 满足的条件。 对一元函数，取极值的必要条件是取极值的充分条件是在驻点附近，若 ，则该点为极大点，若 ，则该点为 极小点。无约束优化问题的极值条件 对二元函数，取极值的必要条件是 为了判断从上述必要条件求得的是否为极值 点，需要建立极值的充分条件。根据二元函数 在点处的泰勒展开式，考虑上述极值必要条件 ，有即设 则 若 在 点处取得极小值，则要求在 点 附近的一切点 均须满足此条件反映了 在 点处的海森 矩阵 的各阶主子式均大于零，即对于即要求 从而有 要求所以，二元函数在某
7、点处取得极值的充分 条件是要求在该点处的海森矩阵为正定。依此类推，多元函数 在 点处取极值的必要条件为 极值的充分条件为(2- 7) 正定。由线性代数可知，对称矩阵正定的条件是它的行列式的顺序主子式全部大于零。对于二次型函数，当对任何非零向量 使则二次型函数正定， 为正定矩阵。第二章 优化设计的数学基础六、凸集、凸函数与凸规划设 为n维设计空间中的一个集合，若其中任意两点的连线都包含在该集合内，就称该集合是n维设计空间的一个凸集。 第二章 优化设计的数学基础凸集具有以下性质： 1、若 是一个凸集， 是一个实数， 是凸集 中 的动点，即 ，则集合还是凸集。2、若 是凸集， 分别是凸集 中的动点
8、，即 ， ，则集合还是凸集。3、任何一组凸集的交集还是凸集。 第二章 优化设计的数学基础设 为定义在n维设计空间中一个凸集 上的函数，若对任何实数 及 域中任意两点 存在如 下关系： 则称为 定义在凸集 上的凸函数。凸函数一元函数 若在a，b内为凸函数，其函数曲线上任 意两点所连的直线段不会落在曲线弧段以下，即函数值总是 小于或等于直线段上相应的纵坐标值。第二章 优化设计的数学基础第二章 优化设计的数学基础凸函数的基本性质：l 若f(x)是定义在凸集D上的严格凸函数，则f(x)在D上的一个极小点， 也就是全局最小点。l 凸函数的线性组合仍然为凸函数。l 设x(1), x(2)为凸函数 f(x)
9、上的两个最小点，则其连线上的任意点也都 是最小点。凸性函数的判定（判别函数为凸函数的条件）l 按梯度判断凸性：设f(x)是定义在凸集 D上具有连续一阶导数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：对于任意的 x(1),x(2)D 都有 成立。 l 按二阶偏导数判断凸性：设 f(x) 是定义在凸集D上具有连续二阶导 数的函数，则f(x)在D上为凸函数的充要条件是：f(x)的Hesse矩阵处处 半正定。若Hesse矩阵处处正定，则f(x)为严格凸函数。第二章 优化设计的数学基础凸规划 对于约束优化问题 若 、 都为凸函数，则称此问题为凸规划。 1.若给定一点 ，则集合 为凸集。此性质 表明，当
10、 为二元函数时其等值线呈现大圈套小圈形式。 凸规划的性质第二章 优化设计的数学基础2. 可行域 为凸集。 3.凸规划的任何局部最优解就是全域最优解。 第二章 优化设计的数学基础无约束优化问题是使目标函数取得极小值，极值条件 是指目标函数取得极小值时极值点应满足的条件。 五、 无约束优化问题的极值条件 对一元函数，取极值的必要条件是取极值的充分条件是在驻点附近，若 ，则该点为 极大点，若 ，则该点为极小点。对二元函数，取极值的必要条件是 即第二章 优化设计的数学基础二元函数在某点处取得极值的充分条件是要求在该点 处的海森矩阵为正定。依此类推，多元函数 在 点处取极值的必 要条件为 极值的充分条件
11、为正定。第二章 优化设计的数学基础例2-3 求函数 的极值。解 首先，根据极值的必要条件求驻点。得驻点为 再根据极值的充分条件，判断此点是否为极值点。由于第二章 优化设计的数学基础的一阶主子式和二阶主子式分别为故 为正定矩阵 为极小点，相应的 极值为 。第二章 优化设计的数学基础优化设计的最优解及获得最优解的条件无约束优化设计问题最优解：不受约束条件限制，使目标函数达到最小值的一组设计变量，即最优点 x*=x1*,x2*,x n* 和最优值 f(x*)构成无约束问题最优解。x*为无约束极小点的充要条件（1） ；(2)Hesse矩阵 为正定。第二章 优化设计的数学基础约束优化设计问题最优解： 满
12、足约束条件，使目标函数达到最小值的一组设计变量， 即最优点 x*=x1*,x2*,x n* 和最优值 f(x*)构成约束问题最优解。其中 是约束最优点，而是无约束最优点。第二章 优化设计的数学基础等式约束优化问题的极值条件 求解等式约束优化问题其思路就是将其转化成无约束优化问题，导出极值存在的 条件。数学上有两种处理方法：消元法和拉格朗日乘子法。 约束优化问题可分为等式约束与不等式约束优 化问题。第二章 优化设计的数学基础消元法 为了便于理解，先讨论二元函数只有一个等式约束的情况 用消元法求解就是根据等式约束条件，将一个变量表示成另 一个变量的函数关系 ，然后将其代入到目标函数 中消去 ，变成
13、一元函数 ，从而将等式约束优化问题 转化成无约束优化问题。目标函数通过消元由二元函数变成一元函数，由二维变成一维。 第二章 优化设计的数学基础对于 维情况 由 个约束方程将 个变量中的前 个变量用其余 个 变量表示，既有 将这些函数关系代入到目标函数中去，得到只含 共 个变量的函数 ，从而可以利用无约束优化问题的极值条件求解。 第二章 优化设计的数学基础拉格朗日乘子法 拉格朗日乘子法与消元法相反，是通过增加变量将等 式约束优化问题转化成无约束优化问题。对于具有 个等 式约束的 维优化问题。构造如下形式的新的目标函数： 式中的 就是原目标函数 的等式约束条件，而待定 系数 称为拉格朗日乘子, 称为拉格朗 函数。因为 ，所以求 的极值就 相当于求原目标函数 的极值。这样就把求等式约束优化 问题转化成求有l+n个变量的无约束优化问题。由 具有极值的必要条件第二章 优化设计的数学基础可得l+n个方程，从而解得 和 共l+n个未知变量的值。由上述方程组求得的 是函 数
