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1、第二节一阶可分离变量型微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的通解.分离变量法例1 求解微分方程解分离变量两端积分例题又两端积分通解为解解由题设条件衰变规律例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小 孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始 时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器 里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时 间t的变化规律.解 由力学知识得,水从孔口流 出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度设在微小的时间间隔水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为思考题为所求通解.求解微分方
2、程也是解.练 习 题练习题答案1、齐次方程 P230的微分方程称为齐次方程.2.解法 作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义可化为分离变量的微分方程-齐次方程例 1 求解微分方程微分方程的解为解例 2 求解微分方程解微分方程的解为例 3 抛物线的光学性质实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面解 如图A入射角余角=反射角余角由夹角正切公式分离变量积分得得微分方程平方化简得抛物线2、可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义(2)有唯一一组解(h,k).(1)(2)求通解可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.求通解,代回z=ax+by解代入原方程得分离变量、积分得得原方程的通解方程变为通解为解利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为思考题方程是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对 求导:原方程是齐次方程.练 习 题练习题答案
