逻辑代数及其应用

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1、第2章 逻辑代数及其应用南京信息工程大学信息与控制学院逻辑代数基本概念、基本运算、公式1）逻辑代数的基本定理2）逻辑函数及其描述方法3）逻辑函数的化简方法4）具有无关项的逻辑函数及其化简5）2.1 概述为什么学习本章内容？例：100人的表决会议，每人有权选择“赞同”、“反对”或者“弃权”，根 据与会人员的表决情况决定议案是否通过，即最后的结果有两个，要么“通过” ，要么“不通过”。主要规则如下：1）无弃权票情况下，多数人赞同则通过，否则不通过；2）有10票及以上弃权票情况下，无论如何都不通过议案；组委会要求：设计一套复杂的表决电路，每个人面前有三个按钮分别代表“赞同”“反对 ”“弃权”，按下按

2、钮后会自动发出一个最终表决通过与否的信号。学完本章即可为该项工作奠定基础！学完本章即可为该项工作奠定基础！*32.1 概述在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数-1849年）。逻辑变量为进行逻辑推理，引入逻辑变量，以代表事物的两种逻辑状态；逻辑：事物间的因果关系。二值逻辑只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。题目 答对、答错； 考试 通过、不通过；开关 闭合、不闭合；灯 亮、不亮；不论因还是果，都分别有 两种情况，这两种“情况” 就是“逻辑状态”不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态;逻辑变量用字母表示

3、，如因可以用x表示，果可以用Y表示；不论X还是Y，取值只有0和1; *42.2 逻辑代数的三种基本运算与（AND） 、 或（OR）、 非（NOT）1） 逻辑与（与运算）：假设条件（A，B）与事件Y存在因果关系，如果仅当上述条件（A，B）均满足时，事件（Y）才发生，则这种因果关系为逻辑与。A、B都闭合，灯才亮。以开关 闭合为条件， 以 灯亮为结果条件都满足，结果才发生。*52） 或逻辑（或运算）：当决定事件（Y）发生的各种条件(A，B，)中，只要有一个或多个条件满足，事件（Y）就发生。只要有一个条件满足，结果就发生。2.2 逻辑代数的三种基本运算以开关 闭合为条件， 以 灯亮为结果只要有一个开关

4、闭合，灯就亮。*63） 非逻辑（非运算）：条件事件A满足时，事件Y不发生；条件A不满足，事件Y反而发生。2.2 逻辑代数的三种基本运算开关闭合，灯就不亮；以开关 闭合为条件， 以 灯亮为结果条件满足，结果就不发生；以A、B作为开关的状态，Y作为灯的状态，并人为约定人为约定：1）开关闭合：1； 开关断开：02）灯亮：1； 灯灭： 0逻辑真值表truth table2.2 逻辑代数的三种基本运算+ +YA+ +7与、或、非等逻辑功能可以通过电路实现，相应的电路 单元分别称为：与门（and gate）、或门(or gate)和非门 (not gate)。与、或、非-基本逻辑单元，组合后可以表达任意逻

5、辑关系。与非、或非、异或等 简单的复合逻辑单元2.2 逻辑代数的三种基本运算8*9(a)与非运算： 逻辑表达式为：2.2 逻辑代数的三种基本运算-几种常用复合逻辑运算CD401110(b)或非运算：逻辑表达式为：2.2 逻辑代数的三种基本运算-几种常用复合逻辑运算*11(c)异或运算同0，异12.2 逻辑代数的三种基本运算-几种常用复合逻辑运算*12(d)同或运算AB同1，异02.2 逻辑代数的三种基本运算-几种常用复合逻辑运算*13(e) 与或非运算：逻辑表达式为2.2 逻辑代数的三种基本运算-几种常用复合逻辑运算*142.3 基本公式和若干导出公式1. 基本公式根据与、或、非的定义，得表2

6、.3.1的逻辑代数的基本公式序号公 式序号公 式 （1a）0 A = 0（1b ）1 + A= 1（2a）1 A = A（2b ）0 + A = A（3a）A A = A（3b ）A + A = A（4a）A A= 0（4b ）A + A= 1（5a）A B = B A（5b ）A +B = B + A（6a）A (B C) = (A B) C（6b ）A + (B +C) = (A + B) + C（7a）A (B +C) = A B + A C（7b ）A + B C = (A +B)(A +C)（8a）(A B) = A + B（8b ）(A+ B) = AB（9）(A ) = A证明方

7、法：真值表*15式(8a)和(8b)是著名的德摩根(De Morgan)定理，亦称反演 律，在逻辑化简和变换中经常要用到这一对公式。00111100A0001111011011110B例： 用真值表法证明公式（8a）：(A B) = A + B同理可证明公式（8b）。162. 常用的导出公式序号公 式序号公 式（11a ）A + A B = A（11b ）A ( A + B) = A（12a ）A +A B = A + B（12b ）A (A+ B) = A B（13a ）A B + A B= A（13b ）( A + B)(A + B) = A（14a ）A B + AC + B C = A

8、 B + AC A B + AC + B CD = A B + AC（14b ）(A + B) (A+ C ) (B + C ) = (A + B) (A+ C) (A + B) (A+ C) (B + C + D)= (A + B) (A+ C)证明方法：推导 真值表谢 谢！17*182.4 逻辑代数的基本定理1）代入定理：在任意一个包含变量A的等式中，若用任何一个逻辑 式代替等式中的A，则等式仍然成立。v 应用举例：(AB)= A+B ，如果将 “B” 换为 “BC” (A (BC) = A+(BC) = A+B+C *19v应用举例2）反演定理：对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“与”

9、换成“或”，“或”换成“与”，并且将所有逻辑变量和常量取反，则得到的结果是Y。意义：为求取已知逻辑式的反提供了方便。步骤及注意事项： a）先括号，再乘，最后加； b)不属于单个变量上的反号应保留；例：已知 Y=A(B+C)+CD， 求Y已知Y=(AB+C)+D)+C 求YY=A (B+C)+CD(C+D)BC(A+BC).+A(C+D).Y=(AB+C)+D)+C C.(?)(AB+C)+D? D.(?)(A+B) C)D(A+B) C)D)C(A+B) . Ca）先括号，再乘，最后加； b)不属于单个变量上的反号应保留 ；3）对偶定理 ：两逻辑式相等，则对应的对偶式也成立。对偶式：对于任意逻

10、辑式Y，将“.”与“+”互换，“1”与 “0”互换，则得到对偶式YD。意义：欲证明逻辑式成立，可以先证明两边的对偶式相等。-有时候相应的对偶式相等更容易证明。证明：A+BC=(A+B)(A+C) A(B+C)AB+AC=*232.5 逻辑函数及其描述方法逻辑函数：如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数（Logical Function）。Y=F(A,B,C,)逻辑函数表示方法：常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言。它们之间可以相

11、互转换。输入变量及输出的取值都只有0、1两种状态，所以这里讨论的 都是二值逻辑函数。*242.5.1 逻辑函数的几种表示方法输入变量 A B C输出 Y1 Y2 输入变量所有可能的取值输出对应的取值例：一举重裁判电路，A为 主裁判，B、C为两位副裁判。只 有主裁判通过以及两位副裁判当 中的一位或全部通过，举重成绩 有效，否则无效。a. 真值表描述逻辑函数*25解：设A、B、C闭合用“1”表示， 断开用“0”表示；Y亮用“1”表示，灯 灭用“0”表示。得到函数表示形式：真值表*26*26b. 逻辑图描述逻辑函数用逻辑图形符号连接起来表示逻辑函数，得到的连接 图， 称为逻辑图。*27*27将输入变

12、量所有可能的取值与对应的输出按时间顺序依将输入变量所有可能的取值与对应的输出按时间顺序依 次排列起来画成的时间波形，称为函数的次排列起来画成的时间波形，称为函数的波形图波形图。c. 波形图描述逻辑函数*282.5.2 逻辑函数描述方法之间的相互转换 a. 逻辑函数式 ;(2)(2)在最小项的卡诺图上与函数式中包含的最小项所对应位在最小项的卡诺图上与函数式中包含的最小项所对应位 置上填入置上填入1 1，在其余的位置上填入，在其余的位置上填入0 0。例： 用卡诺图表示逻辑函数*532.6.3 利用卡诺图化简逻辑表达式v依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。 v优势：在卡诺图中，最小项的相邻

13、性可以从图形中直观地反映出来。任何两 个（21个）相邻最小项，可 以合并为一项 ，并消去一个 变量。合并最小项的原则*54合并最小项的原则任何4个（22个）相邻的最小项，可以合并为 一项，并消去2个变量。*55任何8个（23个）相邻最小项，可以合并为一项 ，并消去3个变量。合并最小项的原则*56利用 AB+AB=A2个最小项合并，消去1个变量；4个最小项合并，消去2个变量；8个最小项合并，消去3个变量； 2n个最小项合并，消去n个变量。总结*57卡诺图化简法的步骤： 作出函数的卡诺图; 画圈 (将卡诺图中按矩形排列的 相邻的1圈成若干个相邻 组) ; 写出最简与或表达式。画 圈 的 原 则 合

14、并个数为2n； 圈尽可能大，以使乘积项中含因子数最少； 每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免 出现多余项。*582.7 具有无关项的逻辑函数及其化简2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项无 关 项约束项：当限制某些输入变量的取值不能出 现时，用它们对应的最小项恒等于0来表示。任意项：在输入变量的某些取值下函数值 是1还是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量的取值下，其值等于1的那些最小项称为任意项。逻辑函数中的无关项：逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写入函约束项和任意项可以写入函 数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。数式，也可不包含在函数式中，因此统称为无关项。*59v 合理地利用无关项，可得更简单的化简结果；v 加入无关项的目的是为了使矩形圈最大，矩形组合数最少在卡诺图中用符号“”、“”或“d”表示无关项。在化简函数时即可以认为它是1，也可以认为它是0。*60*61不利用无关项的化简结果为：利用无关项的化简结果为：*62作业：题2.1 (6) ；题2.3 ；题2.5(2) ；题2.7(b) ；题2.8题2.10 (3),(4),(5) ； 题2.15 (6) ；题2.16(b) ；题2.17(4) ；题2.18 (4) ; 题2.20 (a) ; 题2.22 (1) ; 题2.23 (1)