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1、计算机算法设计与分析（第3版）王晓东 编著 电子工业出版社第1章 算法概述学习要点: 理解算法的概念。 理解什么是程序，程序与算法的区别和内在联系。 掌握算法的计算复杂性概念。 掌握算法渐近复杂性的数学表述。 掌握用C+语言描述算法的方法。算法(Algorithm) 算法是指解决问题的一种方法或一个过程。 算法是若干指令的有穷序列，满足性质： (1)输入：有外部提供的量作为算法的输入。 (2)输出：算法产生至少一个量作为输出。 (3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。 (4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执行每条指令的时间也是有限的。程序(Program) 程序是算法用某
2、种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统，是一个在无限循环中执行的程序，因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题，每一个问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实现。该子程序得到输出结果后便终止。问题求解(Problem Solving)证明正确性分析算法设计程序理解问题精确解或近似解 选择数据结构 算法设计策略设计算法算法复杂性分析 算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源 算法的时间复杂性T(n)； 算法的空间复杂性S(n)。 其中n是问题的规模（输入大小）。算法的时间复杂性（1）最坏情况下的时间复杂性 Tmax(n) = max T(I
3、) | size(I)=n （2）最好情况下的时间复杂性 Tmin(n) = min T(I) | size(I)=n （3）平均情况下的时间复杂性 Tavg(n) = 其中I是问题的规模为n的实例，p(I)是实 例I出现的概率。算法渐近复杂性 T(n) , as n ; (T(n) - t(n) )/ T(n) 0 ，as n; t(n)是T(n)的渐近性态，为算法的渐近复杂性。 在数学上， t(n)是T(n)的渐近表达式，是T(n)略去低阶项留下的主项。它比T(n) 简单。渐近分析的记号在下面的讨论中，对所有n，f(n) 0，g(n) 0。（1）渐近上界记号OO(g(n) = f(n) 存
4、在正常数c和n0使得对所有n n0有：0 f(n) cg(n) （2）渐近下界记号 (g(n) = f(n) 存在正常数c和n0使得对所有n n0有：0 cg(n) f(n) （3）非紧上界记号o o(g(n) = f(n) 对于任何正常数c0，存在正数和n0 0使得对所有n n0有：0 f(n)0，存在正数和n0 0使得对所有n n0有：0 cg(n) b.渐近分析记号的若干性质 （1）传递性： f(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)； f(n)= O(g(n)， g(n)= O (h(n) f(n)= O (h(n)； f(n)= (g(n)， g(n)=
5、 (h(n) f(n)= (h(n)； f(n)= o(g(n)， g(n)= o(h(n) f(n)= o(h(n)； f(n)= (g(n)， g(n)= (h(n) f(n)= (h(n)； （2）反身性： f(n)= (f(n)； f(n)= O(f(n)； f(n)= (f(n). （3）对称性： f(n)= (g(n) g(n)= (f(n) . （4）互对称性： f(n)= O(g(n) g(n)= (f(n) ； f(n)= o(g(n) g(n)= (f(n) ； （5）算术运算： O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) ； O(f(n)+O(g(n)
6、= O(f(n)+g(n) ； O(f(n)*O(g(n) = O(f(n)*g(n) ； O(cf(n) = O(f(n) ； g(n)= O(f(n) O(f(n)+O(g(n) = O(f(n) 。规则O(f(n)+O(g(n) = O(maxf(n),g(n) 的证明：对于任意f1(n) O(f(n) ，存在正常数c1和自然数n1，使得对所有n n1，有f1(n) c1f(n) 。类似地，对于任意g1(n) O(g(n) ，存在正常数c2和自然数n2，使得对所有n n2，有g1(n) c2g(n) 。令c3=maxc1, c2， n3 =maxn1, n2，h(n)= maxf(n),
7、g(n) 。则对所有的 n n3，有f1(n) +g1(n) c1f(n) + c2g(n) c3f(n) + c3g(n)= c3(f(n) + g(n) c32 maxf(n),g(n)= 2c3h(n) = O(maxf(n),g(n) .算法渐近复杂性分析中常用函数 （1）单调函数 单调递增：m n f(m) f(n) ; 单调递减：m n f(m) f(n); 严格单调递增：m f(n). （2）取整函数 x ：不大于x的最大整数； x ：不小于x的最小整数。 取整函数的若干性质 x-1 0，有： n/a /b = n/ab ; n/a /b = n/ab ; a/b (a+(b-1
8、)/b; a/b (a-(b-1)/b; f(x)= x , g(x)= x 为单调递增函数。 （3）多项式函数 p(n)= a0+a1n+a2n2+adnd； ad0; p(n) = (nd); f(n) = O(nk) f(n)多项式有界； f(n) = O(1) f(n) c; k d p(n) = O(nk) ; k d p(n) = (nk) ; k d p(n) = o(nk) ; k 0: a0=1; a1=a ; a-1=1/a ; (am)n = amn ; (am)n = (an)m ; aman = am+n ; a1 an为单调递增函数; a1 nb = o(an)ex
9、 1+x;|x| 1 1+x ex 1+x+x2 ; ex = 1+x+ (x2), as x0; （5）对数函数 log n = log2n; lg n = log10n; ln n = logen; logkn = (log n)k; log log n = log(log n); for a0,b0,c0|x| 1 for x -1,for any a 0, , logbn = o(na) （6）阶层函数 Stirlings approximation 算法分析中常见的复杂性函数小规模数据中等规模数据用c+描述算法 （1）选择语句： （1.1) if 语句： （1.2) ？语句： if
10、(expression) statement; else statement;exp1?exp2:exp3y= x9 ? 100:200; 等价于：if (x9) y=100;else y=200;（1.3) switch语句：switch (expression) case 1:statement sequence;break;case 2:statement sequence;break; default:statement sequence;（2）迭代语句：（2.1) for 循环： for (init;condition;inc) statement;（2.2) while 循环： w
11、hile (condition) statement;（2.3) do-while 循环： do statement; while (condition); （3）跳转语句：（3.1) return语句： return expression;（3.2) goto语句： goto label; label:（4）函数： 例： return-type function name(para-list) body of the functionint max(int x,int y)return xy?x:y; （5）模板template ：template Type max(Type x,Type
12、y) return xy?x:y; int i=max(1,2)； double x=max(1.0,2.0)；（6）动态存储分配：（6.1）运算符new ：运算符new用于动态存储分配。 new返回一个指向所分配空间的指针。例：int x；y=new int；y=10；也可将上述各语句作适当合并如下：int y=new int；y=10； 或 int y=new int(10)；或 int y；y=new int(10)；（6.2）一维数组 ：为了在运行时创建一个大小可动态变化的一维浮点数组x，可先将x声明为一个float类型的指针。然后用new为数组动态地分配存储空间。例：float x=
13、new floatn；创建一个大小为n的一维浮点数组。运算符new分配n个浮点数所需的空间，并返回指向第一个浮点数的指针。然后可用x0，x1，xn-1来访问每个数组元素。（6.3）运算符delete ： 当动态分配的存储空间已不再需要时应及时释放所占用的空间。 用运算符delete来释放由new分配的空间。 例： delete y； delete x； 分别释放分配给y的空间和分配给一维数组x的空间。（6.4）动态二维数组 ： 创建类型为Type的动态工作数组，这个数组有rows行和cols列。template void Make2DArray(Type* for (int i=0;ivoid
14、 Delete2DArray(Type* iint seqSearch(Type *a, int n, Type k)for(int i=0;i void insertion_sort(Type *a, int n) Type key; / cost timesfor (int i = 1; i =0 / c5 sum of (ti-1) j-; / c6 sum og (ti-1)aj+1=key; / c7 n-1 在最好情况下，ti=1, for 1 i 1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)， (rn)perm(Rn)构成。 2.1 递归的概念递归的概念例5
