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1、2.8 正逆运动学求解基础知识坐标变换的最终目的是确定机器人各杆件之间 的相互位置关系，通过关节角的值计算末端操作器 在空间位置（正运动学）或预算出末端操作器在要 求位置的关节角（逆运动学）。 主要包括以下内容：1) 相对杆件的坐标系的确定；2) 建立各连杆的模型矩阵A；3) 正运动学算法；4) 逆运动学算法。在机器人中，通常有两类 关节：转动关节和移动关节。 不同于人类的关节，一般机器 人关节为一个自由度的关节， 其目的是为了简化力学、运动 学和机器人的控制。转动关节 提供了一个转动自由度，移动 关节提供一个移动自由度，各 关节间是以固定杆件相连接的 。旋转关节有两种基本形式 ：铰链和两杆的
2、相对转动。关 节杆 件机器人杆件是连接两个关节的固定物体（机械 ）。机器人杆件的主要目的是用来保持该关节与 各相关末端关节一个固定的关系。机器人末端杆 件只有一个关节，位于最接近末端（或机座）的 位置。在最远离机座的末端，通常是附加一个手 爪。为了更容易、清楚地解释一个机器人的末端 和其各关节点的关系，课程中只以有限的杆件数 作为研究讨论对象。实际上，为了使得机器人更 容易制造，类似的限制在机器人制造中也使用。下面给出了八种类型的常见杆件构形：1) 两个平行的转动关节且在 两轴间没有扭转；连杆参数ln 连杆的长度；如果连杆的中心线 被认作x方向并且从关节n-1到关 节n沿xn-1方向有一定距离
3、，整个 杆件可以绕关节n-1转动n角，该 角认为是两连杆夹角并且这个角 就是一般转动关节的变量；同时 关节轴被认为是z方向并且绕zn-1 转动；y轴由右手定则确定。 坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定(1) Zn-1的确定(转轴轴线)(2) Xn-1：垂直两连杆公垂线xn -1=zn-1 zn(3) Yn-1 ：根据右手定则确定二、参数确定(1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离；(2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角；(3) dn：两连杆间偏置：xn-1 xn沿zn-1距离，0；(4) n：两连杆间角度，Xn-1 Xn绕zn-1的转角， 变量。2) 两个转动关
4、节在空间形成 两轴间90的扭转；连杆参数ln 连杆的长度；如果连杆的中心线 被认作x方向并且从关节n-1到关 节n沿xn-1方向有一定距离，整个 杆件可以绕关节n-1转动n角，该 角认为是两连杆夹角，这个角就 是一般转动关节的变量；同时关 节轴被认为是z方向并且 绕zn-1转动；y轴由右手定则确定 。 坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定(1) Zn-1的确定(转轴轴线)(2) Xn-1：xn -1=zn-1 zn(3) Yn-1 ：根据右手定则确定二、参数确定(1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离；(2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，90；(3) dn ：
5、两连杆间偏置：xn-1 xn沿zn-1距离，0；(4) n：两连杆间角度，Xn-1 Xn绕Zn-1的转 角，变量。3) 两个转动关节相互交 叉垂直轴；两个关节转动轴 相交，连杆参数ln=0；关节 轴被认为是z方向；x方向由 两个z轴确定，y方向由右手 定则确定；dn为偏移值。 坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定(1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2) Xn-1：xn -1=zn-1 zn(3) Yn-1 ：根据右手定则确定二、参数确定(1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交为0；(2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，-90 ；(3) dn
6、 ：两连杆间偏置：xn-1 xn沿zn-1距离，dn；(4) n：连杆绕zn-1的转角，变量。4) 两个转动关节相互垂 直并且重合；连杆参数ln=0 ；关节轴被认为是z方向；x 方向由两个z轴确定， y方向 由右手定则；dn为偏移值。 原点由n-1坐标系决定 坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定(1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn(3) Yn-1 ：根据右手定则确定二、参数确定(1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，90 ；(3) dn ：两连杆间距离：x
7、n-1 xn沿zn-1移动距离，0；(4) n：连杆绕zn-1的转角，变量。5) 两个移动柱关节相互 垂直并相交；连杆参数ln=0 ；关节轴线方向是z向；x向 由z轴确定， y方向由右手定 则确定；dn 与dn+1为柱关节变 量。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定(1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn(3) Yn-1 ：根据右手定则确定二、参数确定(1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，-90 ；(3) dn ：移动关节移动变量；(4) n：移动关节转角为
8、0。6) 一个转动关节和一个 移动柱关节相互垂直并相交 ；连杆参数ln=0；转动关节 轴线方向和移动关节移动方 向是z向；x方向由z轴确定， y方向由右手定则确定；n为 转动关节变量、dn+1为移动关 节变量。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定(1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn(3) Yn-1 ：根据右手定则确定二、参数确定(1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，-90 ；(3) dn+1 ：移动关节移动变量，dn=偏置量；(4) n：转动关节变量。7
9、) 一个移动柱关节和一 个转动关节相互平行；连杆 参数ln=偏置量；关节轴线方 向是z向；x方向由z轴确定， y方向由右手定则；转动和 移动关节变量为 n和dn+1。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定(1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn(3) Yn-1 ：根据右手定则确定二、参数确定(1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离；(2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，0 ；(3) dn+1 ：移动关节移动变量；(4) n：转动关节变量。8) 一个移动柱关节和一 个转动关节相互垂直；连杆 参数ln=0；关节轴线方
10、向是z 向；x向由z轴确定，y方向由 右手定则；dn为偏移值。坐标系及其相关参数确定：一、坐标系确定(1) Zn-1的确定(转轴轴线、柱轴方向线)(2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn(3) Yn-1 ：根据右手定则确定二、参数确定(1) 连杆长度ln：zn-1 zn沿xn-1的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕xn的转角，90 ；(3) dn ：移动关节移动变量；(4) n+1：转动关节变量。2.8 D-H表示法学习目标：1 理解D-H法原理2 学会用D-H法对机器人建模学习重点：1 给关节指定参考坐标系2 制定D-H参数表3 利用参数表计算转移矩阵一 背
11、景简介：1955年，Denavit和Hartenberg提出了这一方 法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方 法，应用广泛。二 总体思想首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个 关节到下一个关节进行变化的步骤，这体现在两个 相邻参考坐标系之间的变化，将所有变化结合起来 ，就确定了末端关节与基座之间的总变化，从而建 立运动学方程，进一步对其求解。1. 坐标系的确定 规则 一 关节，连杆命 名规则：第一个 关节指定为关节n, 第二个关节为n+1, 其余关节以此类 推。连杆命名规 则与关节相同。坐标系的确定坐标系的确定规则 2. Z轴确定规则如果关节是旋转的，Z轴位于按右手规则旋转的方 向，转
12、角 为关节变量。如果关节是滑动的，Z轴 为沿直线运动的方向，连杆长度d为关节变量。关 节n处Z轴下标为n-1。3. X轴确定规则情况1 两关节Z轴既不平行也不相交取两Z轴公垂线方向作为X轴方向，命名规则同Z轴X轴确定规则情况2：两关节Z轴平行此时，两Z轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一 关节的公垂线共线的一条公垂线情况3：两关节Z轴相交取两条Z轴的叉积方向作为X轴。Y轴及变量确定规则4. Y轴确定原则取X轴，Z轴差积方向作为Y轴方向。（右手）5. 变量选择原则用 角表示绕Z轴的旋转角，d表示在Z轴上两条相 邻的公垂线之间的距离，a表示每一条公垂线的长 度(关节偏移)，角 表示两个相邻Z轴之间的
13、角度 也叫关节扭转。通常情况下，只有 和d是关节变 量。 到达下一坐标系的标准运动我们可以通过以下几个运动，将一个参考坐标系变 换到下一个参考坐标系。1 绕Zn轴旋转 ， 它使得Xn+1和Xn互 相平行 到达下一坐标系的标准运动2 沿Zn轴平移dn+1距离，使得Xn和Xn+1共线3 沿Xn轴平移an+1的距离， 使Xn和Xn+1的原点重合。 到达下一坐标系的标准运动4 将Zn轴绕Xn+1轴旋转 ，使得Zn轴与 Zn+1轴对准。这样就实现了从一个坐标系变换下一个坐标系列出变换矩阵由于所有的运动都是相对于当前坐标系而言的 。因此，总的变换矩阵A等于各变换矩阵右乘。从而得到的结果如下：以此类推，总的
14、变换矩阵为：D-H参数表 通过原理图确定各参数，制定D-H参数表如下：#da 1 2 3 4 5 6将各参数带入矩阵方程即可得到运动学方程，进一 步求解。例2.11 如图，已知一两杆 机构，两杆长分别为l1、l2 ，转角变量为 、 ，1)确定零位置；2) 建立连杆坐标系3)确定参数； 4) 确定工作空间例2.12 如图，已知一两杆 机构，一杆偏置为d1、二 杆长为l2，转角变量为 ， ： 1) 建立连杆坐标系； 2) 确定参数； 3) 确定工作空间例2.13 如图，已知一两杆 机构，一杆偏置为d1、二 杆偏置为d2，变量为 ， d2 ： 1) 建立连杆坐标系； 2) 确定参数； 3) 确定工作
15、空间例2.14 如图，已知一两 杆机构： 1) 建立连杆坐标系； 2) 确定参数； 3) 确定工作空间例2.15 如图，已知一两 杆机构： 1) 建立连杆坐标系； 2) 确定参数； 3) 确定工作空间例 题 2.19对下图所示简单机器人，根据D-H法，建立必要坐 标系及参数表。第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系 第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写 入D-H参数表#da1009020030040-90500906000第四步：将参数代入A矩阵，可得到第5步 求出总变化矩阵思考题2.9 机器人的逆运动学解让我们通过下面这道例题来了解一下机器人逆运动学 求解的一般步骤。例2.19最后方程为求逆运动学方程的解根据第3行第4列元素对应相等可得到依次用 左乘上面两个矩阵，得到：根据1，4元素和2，4元素，可得到：将上面两个方程两边平方相加，并利用和差 化积公式得到已知于是可得到：依次类推，分别在方程2.19两边左乘A1A4的 逆，可得到机器人的逆运动学解这样， 就可以计算出来了，接下来再一次利用式由于C12=C1C2-S1S2以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：机器人的逆运动学解最后用A5的逆左乘式2.67，再利用2,1元素和2,2元素 ，得到：机器人的逆运动学解2.10 机器人的运动学编程在实际应用中，对运动学的求解
