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1、第二章 连续系统的时域分析 微分方程的经典解法 0+和 0零输入响应与零状态响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 用算子符号 一、微分方程的经典解 微分方程的经典解： r(t)(完全解 ) = rh(t)(齐次解 ) + rp(t)(特解） (1)齐次解 是齐次微分方程的解 rh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。 )()()()()()()()(11110111100)()()()( 11110 征方程的根为 当特征方程的根 (特征根 )为 不论实根、虚根、复数根 ) 1， 2， ， r (t)的通解表达式为 .)( 21 21 特征方程的根为 当特征方程的根 (特征根 )为 不论实根
2、、虚根、复数根 ) 1= 2= n = 时， r (t)的通解表达式为 : 0. . . . . 1110 特征方程为： 121 .)( (2)特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关。 根据输入信号的形式 设 对应特解形式 ，用待定系数法确定。 几种典型自由项函数相应的特解 例 述某系统的微分方程为 r”(t) + 5r(t) + 6r(t) = e(t)，求（ 1）当 e(t) = 2 ， t0 ； r(0)=2， r(0)= 2）当 e(t) = ， t0 ； r(0)= 1，r(0)=0 时的全解。 : (1) 特征方程为 其特征根 1= 2， 2= 3。 齐次解为 221)( 065
3、2 由表 2 e(t) = 2 时，其 特解 可设为 26)(5将其代入微分方程得 解得 B=1 于是特解为 全解为： tp )()( 3221)()()(中待定常数 2由初始条件确定。 r(0) = 2+ 1 = 2， r(0) = 2 3 1= 1 解得 3 ， 2 最后得全解 32 23)(t0 （ 2） 齐次解同上。 当激励 e(t)= 时，其指数与特征根之一相重。 由表知：其特解为 rp(t) = ( 代入微分方程可得 = 所以 1 但 解为 )(将初始条件代入，得： r(0) = (0) + ， r(0)= 2(0) 3=0 解得 2 1 最后得微分方程的全解为 上式第一项的系数
4、0= 2，不能区分 0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。 322)( 二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、 0 状态和 0 状态 0 状态称为零输入时的初始状态。 即初始值是由系统的储能产生的； 0 状态称为加入输入后的初始状态。 即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 从 0 状态到 0 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从 0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含 (t)及其各阶导数。 如果包含有 (t)及其各阶导数，说明相应的 0 状态到 0 状态发生了跳变 。 0 状态的确定 已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。 求 0
5、状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。 各种响应用初始值确定积分常数 (初始值用的都是 0+的值 ) 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值，这时的零状态是指 0 状态为零。 2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（ 0）和（ 0）时刻值 的关系。 应用条件： 如果微分方程右边包含 （ t）及其各阶导 数，那么（ 0）时刻的值不一定等于（ 0） 时刻的值。 原理： 利用 t 0时刻方程两边的 （ t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（ 0） )(.)()()(.)()(
6、)(210)(10 .)(.)()()()()(). . .()()(01)2(1)1()1(01)1(1)()( t) + 3 r t) + 2 r zs(t) = 6 其齐次解为 其特解为常数 3 ， 于是有 根据初始值求得 : 4121 221)(3)( 221 2 自由响应强迫响应 (零输入响应零状态响应 (暂态响应 +稳态响应 (四系统响应划分 自由响应： 也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。对应于齐次解。 强迫响应： 形式取决于外加激励。对应于特解。 暂态响应： 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间 t 增加，它将消失。 稳态响应：
7、由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。 零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应。 相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成 。 0)34()42()()(3)(222由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应 例 某 始状态为 x(0)。已知，当x(0) =1，输入因果信号 e1(t)时，全响应 r1(t) = + t) ， t0；当 x(0-) =2，输入信号 e2(t)=3e1(t)时，全响应 r2(t)
8、 = 2 +3 t) ， t0；求输入 e3(t) = +2e1(，系统的零状态响应。 解： 设 当 x(0) =1， 输入因果信号 e1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为 t)、 t) 。 当 x(0-) =2， 输入信号 e2(t)=3e1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为 t)、 t) 。 te题中条件，有 r1(t) = t)+ t) = + t) ， t0 （ 1） r2(t)= t)+ t) = 2 +3 t) ， t0 （ 2） 根据线性系统的齐次性 t)=2 t) ， t)=3 t) te入式（ 2）得 r2(t)=2t)+3 t) = 2 +3 t) ，
9、t0 （ 3） 式 (3) 2 式 (1)，得 t) = 4 + t) ， t0 由于 t)是因果系统对因果输入信号 e1(t)的零状态响应，故当h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0 ，故系统的冲激响应为齐次解。 例 描述某系统的微分方程为 r”(t)+5r(t)+6r(t)= e”(t) + 2e(t) + 3e(t) ，求其冲激响应 h(t)。 解：根据 h(t)的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0 -) = h(0-) = 0 先求 h(0+) 和 h(0 -)，根据冲激函数匹配法得： h”(t) = t)
10、 +b (t) +c(t)+ d h(t) = t) +b(t) + c h(t) = a(t) + b 带入方程求得： a =1 ， b = - 3， c = 12， d= h(0+) = 3， h(0+) =12 对 t0时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0 微分方程的特征根为 故系统的冲激响应为 3221)()()( 3221 所以 : h(t) = (t) + b h(t) = (t) - 3(t) + c h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ d 代入初始条件 h(0+) = 3， h(0+) =12 求得 ， 6, 所以 结合式 h(t) = (t) + b 得 : )()63()( 32 )()63()()( 32 系统的输入 e(t)=u(t) ，其响应为 r(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数 u(t) ，所以除了 齐次解外，还有特解项 。 我们也可以根据线性时不变系统特性， 利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应 。 二阶跃响应 1定义 系统在 单位阶跃信号 作用下的 零状态响应 ，称为单位阶跃响应，简称 阶跃响应， 一般用 g(t)表示。 H 对因果系统：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的2阶跃响应与冲激响应的关系 线性时不变系统满足微、积分特性 t
