经济数学微积分导数概念

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1、一、问题的提出 二、导数的定义四、函数可导性与连续性的关系 五、小结 思考题三、导数的几何意义第一节 导数概念一、问题的提出1.变速直线运动的瞬时速度问题考虑最简单的变速直线运 动自由落体运动，如图,取极限得2.切线问题割线的极限位置切线位置播放2.切线问题割线的极限位置切线位置2.切线问题割线的极限位置切线位置2.切线问题割线的极限位置切线位置2.切线问题割线的极限位置切线位置2.切线问题割线的极限位置切线位置2.切线问题割线的极限位置切线位置2.切线问题割线的极限位置切线位置2.切线问题割线的极限位置切线位置2.切线问题割线的极限位置切线位置如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置

2、MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.极限位置即3.经济问题二、导数的定义(derivative)定义1. 函数在一点处的导数与导函数其它形式即关于导数的说明：注意:在上式中虽然 x 可以取区间 I 内的任何数值 , 但在取极限的过程中, x 是常量 , x 是变量.播放2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数

3、.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2.导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的极限 函数.2. 求导数举例步骤:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解2.右导数:(right-hand derivatives)3. 单侧导数1.左导数:(left-hand derivatives)题型解题思路例6解三、

4、导数的几何意义切线方程为法线方程为例7解 由导数的几何意义, 得切线斜率为所求切线方程为法线方程为四、函数可导性与连续性的关系定理 凡可导函数都是连续函数.证连续函数不一定存在导数. 0例如,注意: 该定理的逆定理不成立.01例如,例如,011/1/例8解五、小结 思考题1. 导数的实质: 增量比的极限,即瞬时变化率;3. 导数的几何意义: 切线的斜率;4. 可导的函数一定连续，但连续的函数不一定可导;5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.6. 判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考题思考题解答三、 证明：若 为偶函数且 存在，则 . 七、证明：双曲线

5、 上任一点处的切线与两坐标 轴构成的三角形面积都等于 .练习题答案 注意:确定样本自相关函数rk某一数值是否足够 接近于0是非常有用的，因为它可检验对应的自 相关函数k的真值是否为0的假设。Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过 程生成，则对所有的k0，样本自相关系数近似 地服从以0为均值，1/n 为方差的正态分布，其 中n为样本数。也可检验对所有k0，自相关系数都为0的联 合假设，这可通过如下QLB统计量进行：该统计量近似地服从自由度为m的2分布 （m为滞后长度）。因此:如果计算的Q值大于显著性水平为 的临界值，则有1-的把握拒绝所有k(k0)同 时为0的假设。例9.1.3: 表9.

6、1.1序列Random1是通过一 随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随 机时间序列。 容易验证：该样本序列的均值为0，方差为 0.0789。 从图形看：它在其样本均值0附近上下波动， 且样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近 波动且逐渐收敛于0。 由于该序列由一随机过程生成，可以认为不 存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。 根据Bartlett的理论：kN(0,1/19)，因此任一rk(k0)的95%的置信区间都将是: 可以看出:k0时，rk的值确实落在了该区间内 ，因此可以接受 k(k0)为0的假设。 同样地，从QLB统计量的计算值看，滞后17期 的计算值为26.38，未超过5%显

7、著性水平的临界 值27.58，因此,可以接受所有的自相关系数 k(k0)都为0的假设。 因此，该随机过程是一个平稳过程。 序列Random2是由一随机游走过程Xt=Xt-1+t生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0项 取值为0， t是由Random1表示的白噪声。图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样 本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0， 但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。 样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间- 0.4497, 0.4497之外，因此在5%的显著性水平 上拒绝1的真值为0的假设。该随机游走序列是非平稳的。例9.1.4 检验中国支出法GDP时间序

8、列的平稳性。 表9.1.2 19782000年中国支出法GDP（单位：亿元） 图形：表现出了一个持续上升的过程，可初 步判断是非平稳的。 样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的 非平稳性。 从滞后18期的QLB统计量看：QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后 的值全部为0的假设。结论:19782000年间中国GDP时间序列是非平稳序列。例9.1.5 检验2.10中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。原图 样本自相关图 从图形上看：人均居民消费（CPC）与人均国 内生产总值（GDPPC）是非平稳的。 从滞后14期的QLB统

9、计量看：CPC与GDPPC序列的 统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为 5%时的临界值23.68。再次表明它们的非平稳性 。 就此来说，运用传统的回归方法建立它们的 回归方程是无实际意义的。 不过，9.3中将看到，如果两个非平稳时间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意义 的，而这两时间序列恰是协整的。 四、平稳性的单位根检验（unit root test）1、DF检验 随机游走序列:Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成 是随机模型:Xt=Xt-1+t中参数=1时的情形。（*）式可变形式成差分形式：Xt=(1-)Xt-1+ t=Xt-1+ t (*)检验（*）

10、式是否存在单位根=1，也可通过（* ）式判断是否有 =0。对式：Xt=Xt-1+t （*） 进行回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根。一般地: 检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验 带有截距项的一阶自回归模型：Xt=+Xt-1+t （*）中的参数是否小于1。或者：检验其等价变形式：Xt=+Xt-1+t （*）中的参数是否小于0 。在第二节中将证明，（*）式中的参数1或=1时，时间序列是非平稳的;对应于（*）式，则是0或 =0。 因此，针对式： Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为：零假设 H0：=0。备择假设 H1：临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。 时间T的t统计量小

11、于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设 。需进一步检验模型2 。2）经试验，模型2中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。 从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。 常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检 验模型1。3)经试验，模型1中滞后项取2阶： LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。 从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。 可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。例9.1.

12、7 检验2.10中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。1) 对中国人均国内生产总值GDPPC来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为： 三个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的 零假设。 结论：人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳的。2）对于人均居民消费CPC时间序列来说，三 个模型的适当形式为 ： 三个模型中参数CPCt-1的t统计量的值均比 ADF临界值表中各自的临界值大，不能拒绝该时间序列存在单位根的假设， 因此,可判断人均居民消费序列CPC是非平稳的。五、单整、趋势平稳与差分平稳随机 过程 随机游走序列Xt=Xt-1+t经差分后

13、等价地变 形为 Xt=t， 由于t是一个白噪声，因此差 分后的序列Xt是平稳的。 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳 的，就称原序列是一阶单整（integrated of 1 ）序列，记为I(1)。单整 一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变 成平稳序列，则称原序列是d 阶单整（integrated of d）序列，记为I(d)。 显然，I(0)代表一平稳时间序列。 现实经济生活中:1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的， 如利率等;2)大多数指标的时间序列是非平稳的，如一些 价格指数常常是2阶单整的，以不变价格表示的 消费额、收入等常表现为1阶单整。 大多数非平稳的时间序列一般可通过

14、一次或多次差分的形式变为平稳的。 但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整 的（non-integrated）。例9.1.8 中国支出法GDP的单整性。经过试算，发现中国支出法GDP是1阶单整的，适当的检验模型为：例9.1.9 中国人均居民消费与人均国内生产总 值的单整性。经过试算，发现中国人均国内生产总值 GDPPC是2阶单整的，适当的检验模型为：同样地，CPC也是2阶单整的，适当 的检验模型为： 趋势平稳与差分平稳随机过程前文已指出，一些非平稳的经济时间序列 往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本 身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据 进行回归，

15、尽管有较高的R2，但其结果是没有任何实际意义的。这种现象我们称之为虚假回 归或伪回归（spurious regression）。如：用中国的劳动力时间序列数据与美 国GDP时间序列作回归，会得到较高的R2 ，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们 有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚 假的。为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法 是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间 趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响 。然而这种做法，只有当趋势性变量是确 定性的（deterministic）而非随机性的（ stochastic），才会是有效的。换言之，如果一个包含有某种确定性趋势 的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确 定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出 来。1)如果=1，=0，则（*）式成为一带位移的随机游走过程：Xt=+Xt-1+t