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1、直角三角形边角关系讲义 第 1 页 共 14 页 - 1 -直角三角形边角关系讲义直角三角形边角关系讲义( (初稿初稿) )一、一、概念部分概念部分 1、基本概念基本概念 正弦正弦：在 RtABC（如图） ，锐角 A 的对边与斜边的比叫做A的正弦正弦，记为Asin，caAA斜边的对边sin。余弦余弦：在 RtABC（如图） ，锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A的余弦余弦，记为Acos，cbAA斜边的邻边cos。正切正切：在 RtABC（如图） ，锐角 A 的对边与邻边的比叫做A的正切正切，记为Atan，ba AAA的邻边的对边tan。余切余切：在 RtABC（如图） ，锐角 A 的邻边与对边的比
2、叫做A的余切余切，记为Acot，ab AAA的对边的邻边cot。2、巧记概念：按正弦正弦、余弦余弦、正切正切、余切余切的顺序记八个字：对斜邻斜对邻邻对对斜邻斜对邻邻对。3、根据正弦、余弦、正切、余切正弦、余弦、正切、余切的定义定义，在 RtRtABCABC 中，90C，有sinA=cosBsinA=cosB，sinB=cosAsinB=cosA ，tanA=cotBtanA=cotB，tanB=cotAtanB=cotA。 4、正弦、余弦、正切的值正弦、余弦、正切的值与梯子倾斜程度之间的关系： sinAsinA 的值越大，梯子越陡；的值越大，梯子越陡； cosAcosA 的值越小，梯子越陡；的
3、值越小，梯子越陡； tanAtanA 的值越大，梯子越陡。的值越大，梯子越陡。 5、在RtABC 中，90C，a、b、c 分别是A、B、C的对边，那么caA sin， cbA cos， baA tan， abA cot可以变形为Acasin，Acbcos，Abatan或Aacsin，Abccos等等，在解题中可以根据条件正确选用。 6、注意注意： 、在初中，正弦正弦、余弦余弦、正切正切、余切的定义余切的定义都是在直角三角形直角三角形中给出的，不不 能能在任意三角形任意三角形中套用定义。 、sinA、cosA、tanA、cotA 分别表示正弦、余弦、正切、余切的数学表达符 号，是一个整体，不能理
4、解为 sin 与 A、cos 与 A、tan 与 A、cot 与 A 的乘积。 sinA、cosA、tanA、cotA 是一个完整的符号，它表示A的正弦、余弦、正 切、余切，记号里习惯省去角的符号“” ，但当角用三个大写字母或数字表示 时，角的符号“”不能省略。例如：tanAtanA，tantanABCABC，tantan1 1 都是正确的。bacACB直角三角形边角关系讲义 第 2 页 共 14 页 - 2 -、正弦、余弦、正切、余切在直角三角形中它们分别表示对边与斜边、邻边 与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值，所以它是没有单位的，当锐角 A 确 定后，这些比值都是固定值。 、求某个角的正
5、弦、余弦、正切、余切函数值时，需把该角放入适当的直角直角 三角形三角形中，在某些非直角三角形的问题，通过作垂线转化为直角三角形作垂线转化为直角三角形来解决。、已知直角三角形一锐角的某三角函数值就知道了某两边的比值，设未知数 可把 3 条边都可用一个未知数表示出来，这样就可以求出任何两条边的比值。 例例 1 1：在ABC 中，90C，AC=12，BC=5， （1）求 AB 的长；（2）求 sinA、cosA、tanA、cotA 的值；（3）求AA22cossin的值；（4）比较 sinA 与 cosB 的大小，tanA 与 cotB 的大小。 变式练习变式练习：1、在 RtABC 中，90C，a
6、= 5 ,b=2,则 sinA= 。2、在 RtABC 中，90A，如果 BC=10，sinB=0.6，那么 AC= 。 例例 2 2、如图，在ABC 中，90C，AC=CB，AB=BD，求 tanD 的值。变式练习变式练习：1、已知ABC 中，90C，45A，BD 为 AC 边上中线，求ABDABDtansin和 的值。例例 3 3、 如图，在中，AD 是 BC 边上的高， 。（1）求证：ACBD（2）若，求 AD 的长。分析：分析：由于 AD 是 BC 边上的高，则有和，这样可以 充分利用锐角三角函数的概念使问题求解。解：解：（1）在中，有中，有BDACACAD BDADDACB，故cos
7、tan（2）由可设 由勾股定理求得121812xDCBDBC 即ACBDACBD直角三角形边角关系讲义 第 3 页 共 14 页 - 3 -例例 4 4、如图，已知中90C， ，求的面积（用的三角函数及 m 表示）分析：分析：要求的面积，由图只需求出 BC。解：解：由tan21tan21 21tantan2mmmBCACSmBCBACmACBACACBCABC，练习题： 一、填空题： 1、在ABC 中，90C，a=4,b=3,则：sinA= cosA= tanA= cotA= sinB= cosB= tanB= cotB= 。 2、在 RtABC 中，90C，已知 a=4,c=5 则 sinB
8、= sinA= tanA= 3、在ABC 中，90C，若 tanB=2，a=1,则 b= 。 4、ABC 中，90C，cosA=0.8746，则 sinB= 。5、RtABC 中，90C，tanA=552，则 sinB= 。6、在ABC 中，90B，AC 边上中线 BD=5，AB+BC=14，则ABC 的面积为 .7、 RtABC 中，90C， tanA=21，AB= 5 ，则 AC= ，BC= 。8、ABC 中，AB=AC，ABBC=21，则 sin、 2A= sinB= 。9、等腰三角形的腰长为 10cm，底边为 16cm，则它底角的正弦值是 .10、已知，如图，在ABC 中，30C，ta
9、nB=31BC= 10 ，则 AB 的长为 。 二、选择题 1、在ABC 中，90C，c=3,b=2，则 cosA 的值为（ ）A、 32B、31C、37D、352、在ABC 中，90C，AB=13，sinA=1312，则 BC=（ ）A、1 B、12 C、5 D、以上都不对ACB直角三角形边角关系讲义 第 4 页 共 14 页 - 4 -3、在ABC 中，90C，a、b、c 分别是A、B、C的对边，则（ ）A、Aabtan B、Acbsin C、coBca D、Aacsin4、在ABC 中，90C，且 cosA=53，则 sinB=（ ）A、43B、34C、54D、535、在ABC 中，90
10、C，若 c=3b ，则 cosA 等于（ ）A、32B、322C、31D、3106、在 RtABC 中，如果各边的长度都扩大 2 倍，那么锐角 A 的四个三角函数值 （ ） 。 A、没有变化 B、都缩小 2 倍 C、都扩大 2 倍 D、不能确定如何变化 三、解答题：1、已知：1715cos ，为锐角，求的其它三角函数。2、已知一个三角形的三边的比为 7：24：25，求最小角的正弦、正切值。3、已知：如图 431，在矩形 ABCD 中，BEAC 于 E，AB=3，BC=4，CBE=，求 的四个三角函数值.4、已知：如图 432，在 RtABC 中，90C，D 是BC 中点，DEAB 于 E，ta
11、nB=21，AE=7，求 DE、BC 的长.二、特殊角的三角函数值二、特殊角的三角函数值直角三角形边角关系讲义 第 5 页 共 14 页 - 5 -1、初中阶段说的特殊角指的是90,60,45,30,0五个特殊角度。2、规定00sin，190sin，10cos，090cos。00tan，090cot90tan，0cot没有意义（或说不存在） 。3、 三角函数030456090sin02122 231cos123 2221 0tan03313不存在cot不存在313304、从上表中明确 sin、cos、tan、cot随角的变化而变化的规律：当 角 逐渐增大时，sin、tan逐渐增大， cos、c
12、ot逐渐减小。练习题： 一、选择题1、45tan260tan45tan60cos 的值等于（ ）A、232 B、232 C、223 D、232 2、ABC 中，若0cos231sin2 BA，则C 的度数是（ ）A、75 B、60 C、45 D、303、ABC 中，设22sin,21cosBA，则此三角形为（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形或钝角三角形直角三角形边角关系讲义 第 6 页 共 14 页 - 6 -4、ABC 中，设23)90cos(sinBA，则ABC 为（ ）A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形 5、等腰ABC 中
13、，AB=AC，120A，高 AD=3，则 AB+BC+AC 等于（ ）A、18 B、6312 C、318 D、3612 6、已知) 1sin2( 31sin42AA，则锐角 A 为（ ）A、30 B、90 C、30或90 D、60或90 二、填空： 1、已知1tan60tan，且为锐角，则cossin（ ） 。2、若23sin，则锐角的补角是（ ） 。3、在ABC 中，90C，若45A，则BAsintan=（ ） 。4、在ABC 中，90C，若8,30cBA，则面积S=（ ） 。5、在ABC 中，90C，若22sinA，则BAcostan=（ ） 。三、计算：1、(2cos600- 45tan230cos90sin)2) 130(sin2、
