直线、平面垂直的判定及性质

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1、8.5 直线、平面垂直的判定及性质要点梳理1.直线与平面垂直（1）判定直线和平面垂直的方法定义法.利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，则该直线和此平面垂直.推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也 于这个平面.相交垂直基础知识 自主学习(2)直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内 直线.垂直于同一个平面的两条直线 .垂直于同一直线的两平面 .2.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.3.二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.任意平行平行两个半平面（2）二面角的平面角：以二

2、面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.4.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法定义法.利用判定定理：一个平面过另一个平面的，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于 的直线垂直于另一个平面.垂直于棱一条垂线交线基础础自测测1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面内，则“l”是“lm且ln”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析 当l时，lm且ln.但当lm,ln时，若m、n不是相交直线，则得不到l.A2.若P是平面外一点,则下列命题正确的是(

3、)A.过P只能作一条直线与平面相交B.过P可作无数条直线与平面垂直C.过P只能作一条直线与平面平行D.过P可作无数条直线与平面平行解析 过P点存在一平面与平行，则该平面内过P的直线有无数条都与平行.D3.（2009广东理，5）给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是( )A.和 B.和C.和 D.和解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故不对

4、；由平面与平面垂直的判定可知正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面，故不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故正确.答案 D4.（2008湖南文，5）已知直线m、n和平面、满足mn，m，则( )A.n B.n，或nC.n D.n,或n解析 n与的位置关系各种可能性都有，A、B都不对.当n时，作nn,且nm=O,则n与m确定平面,设=l,则有ml, 又mn,所以ln,ln,n;当n 时，显然成立.故C不对，D正确.D5.下列命题中，m、n表示两条不同的直线，、表示三个不同的平面.若m,n,则mn;若,则；若m,n,则mn;若,m,则m.

5、正确的命题是( )A. B. C. D.解析 中平面与可能相交，中m与n可以是相交直线或异面直线.故错，选C.C题型一 直线与平面垂直的判定与性质如图所示,已知PA矩形ABCD所在平面,M，N分别是AB，PC的中点.(1)求证：MNCD；(2)若PDA=45.求证：MN平面PCD.(1)因M为AB中点,只要证ANB 为等腰三角形,则利用等腰三角形的性质可得MNAB.(2)已知MNCD，只需再证MNPC,易看出PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MNPC.题型分类 深度剖析证证明 （1）连接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N为PC中点，PA平面ABCD，PA

6、BC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，从而在RtPBC中，BN为斜边PC上的中线，AN=BN，ABN为等腰三角形，又M为底边AB的中点，MNAB，又ABCD，MNCD.(2)连接PM、CM,PDA=45,PAAD,AP=AD.四边形ABCD为矩形，AD=BC，PA=BC.又M为AB的中点，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N为PC的中点，MNPC.由（1）知，MNCD，PCCD=C,MN平面PCD.垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合

7、的思路结合起来.知能迁移1 RtABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC，D为斜边AC中点.（1）求证：SD面ABC；（2）若AB=BC，求证：BD面SAC.证证明 （1）如图所示，取AB中点E，连结SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，故DEBC，且DEAB,SA=SB，SAB为等腰三角形，SEAB.SEAB，DEAB，SEDE=E，AB面SDE.而SD面SDE，ABSD.在SAC中，SA=SC，D为AC中点，SDAC.SDAC,SDAB,ACAB=A,SD面ABC.（2）若AB=BC，则BDAC，由（1）可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD，SDBD,BDAC

8、,SDAC=D,BD面SAC.题型二 面面垂直的判定与性质如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8， AB=2DC=4 .(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD；(2)求四棱锥PABCD的体积.(1)因为两平面垂直与M点位置无关，所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD，考虑证明BD平面PAD.(2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.(1)证证明 在ABD中,AD=4,BD=8,AB=4 ,AD2+BD2=AB2.ADBD.又面PAD面ABCD，面PAD面ABCD=AD，BD面ABCD，BD面P

9、AD.又BD面BDM，面MBD面PAD.(2)解 过P作POAD，面PAD面ABCD，PO面ABCD，即PO为四棱锥PABCD的高.又PAD是边长为4的等边三角形，PO=在底面四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，四边形ABCD为梯形.在RtADB中，斜边AB边上的高为此即为梯形的高.当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线.把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造二面角的平面角或得到点到面的距离等.知能迁移2 在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1

10、C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证：截面MBC1侧面BB1C1C.证证明 (1)AB=AC,D是BC的中点,ADBC.底面ABC平面BB1C1C，面ABC面BB1C1C=BC，AD侧面BB1C1C.CC1面BB1C1C，ADCC1.（2）延长B1A1与BM交于N，连结C1N.AM=MA1，NA1=A1B1.A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1.C1NC1B1.截面NB1C1侧面BB1C1C，面NB1C1面BB1C1C=C1B1，C1N侧面BB1C1C.C1N面C1NB，截面C1NB侧面BB1C1C.即截面MBC1侧面BB1C1C.题型三 线面角的求法（12分）

11、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，ADBC， BAD=90，PA底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.（1）求证：PBDM；（2）求BD与平面ADMN所成的角.（1）易证PB平面ADMN.（2）构造直线和平面所成的角，解三角形.（1）证证明 N是PB的中点，PA=AB，ANPB.BAD=90，ADAB.PA平面ABCD，PAAD.PAAB=A，AD平面PAB，ADPB.4分又ADAN=A，PB平面ADMN. 平面ADMN，PBDM. 6分（2）解 连接DN，PB平面ADMN，BDN是BD与平面ADMN所成的角，8分在RtBDN中，10分BDN=3

12、0,即BD与平面ADMN所成的角为30. 12分求直线和平面所成的角，关键是利用定义作出直线和平面所成的角.必要时，可利用平行线与同一平面所成角相等，平移直线位置，以方便寻找直线在该平面内的射影.知能迁移3 如图所示，四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，SBA=45， SBC=60，M为AB的中点.求：（1）BC与平面SAB所成的角；（2）SC与平面ABC所成的角的正切值.解 （1）SCSB，SCSA，SBSA=S，SC平面SAB，BC在平面SAB上的射影为SB.SBC为BC与平面SAB所成的角.又SBC=60,故BC与平面SAB所成的角为60.（2）连结MC，在RtASB中，SBA=

13、45，ASB为等腰直角三角形，SMAB，由（1）知ABSC，ABSM=M，AB平面SMC， 平面ABC平面SMC平面ABC.过点S作SOMC于点O，SO平面ABC.SCM为SC与平面ABC所成的角.由（1）知SC平面SAB，又 平面SAB，SCSM，SMC为直角三角形.设SB=a，即SC与平面ABC所成的角的正切值为 .题型四 二面角的求法如图所示，三棱锥PABC中，D是AC的中点，PA=PB=PC= ，AC=2 ，AB= ，BC= .（1）求证：PD平面ABC；（2）求二面角PABC的正切值大小.（1）已知三角形三边长，可考虑利用勾股定理的逆定理证明垂直.（2）关键是找出二面角的平面角，由A

14、P=PB，可考虑取AB的中点E.（1）证证明 连结BD，D是AC的中点，PA=PC= ，PDAC.AC= ，AB= ，BC= ，AB2+BC2=AC2.ABC=90，即ABBC.PD2=PA2-AD2=3，PB= ，PD2+BD2=PB2.PDBD.ACBD=D，PD平面ABC.（2）解 取AB的中点E，连结DE、PE，由E为AB的中点知DEBC，ABBC，ABDE.PD平面ABC，PDAB.又ABDE，DEPD=D，AB平面PDE，PEAB.PED是二面角PABC的平面角.在PED中， PDE=90,二面角PABC的正切值为 .找二面角的平面角常用的方法有:(1)定义法：作棱的垂面，得平面角.(2)利用等腰三角形、等边三角形的性质,取中线.知能迁移4 如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，PA平面ABCD，且ADBC，ADDC,ADC和ABC均为等腰直角三角形,设PA=AD=DC=a，点E