2.1.2_求曲线的方程

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1、2.1.2求曲线的方程圆锥曲线复 习曲线的方程和方程的曲线.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与 一个二元方程 F(x，y)=0的实数解建立了如下的关 系：（1）曲线 C 上的点的坐标都是方程 F(x，y)=0 的解 ,（2）以方程F(x，y)=0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点，那么方程 F(x，y)=0 叫做曲线 C 的方程；曲线 C 叫做方程 F(x，y)=0 的曲线（图形） 。我们已建立了曲线的方程、方程的曲线的概念。利用这两个概念，就可以借助于坐标系，用坐标表 示点，把曲线看成是满足某种条件的点的轨迹或集合 ，用曲线上点的坐标(x,y)所满足的方程F(x,y)=0表示 曲

2、线。 在数学中，建立曲线方程，然后用方程研究曲线 的方法，叫做解析法（或坐标法）。解析几何的两大基本问题（1）据已知条件，求表示平面曲线的方程。（由曲线求方程 ）（2）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线 ）解析几何的本质用代数的方法来研究几何问题0xyABM曲线的方程曲线的方程解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分 线上任意一点,也就是点M属于集合由两点间的距离公式，点M所适合 条件可表示为：将上式两边平方，整理得： x+2y7=0 例1：如果A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动点M 到A,B的距离相等. 你知道动点M的轨迹是什么吗 ？如何证明你的结论？思考：如果给出

3、A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)，动 点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什么吗 ？如何证明你的结论？x+2y7=0 （1）由求方程的过程可知，垂直平 分线上每一点的坐标都是方程解；我们证明方程是线段AB的垂 直平分线的方程.（2）设点 的坐标 是方程的解，即:点M1到A、B的距离分别是问题：如果给出A,B两点的坐标是(-1,-1)，(3,7)， 动点P到A,B的距离相等. 你知道动点P的轨迹是什 么吗？如何证明你的结论？ 点M1到A、B的距离分别是即点M1在线段AB的垂直平分线上.由(1)、(2)可知方程是线段AB的垂直平分线的方程.变式1：已知等腰三角形底边的两个端点

4、是(-1, -1) 、(3,7) ，求第三个顶点C的轨迹方程 ABC0xyx+2y7=0，且不过点（1,3）注：求得的轨迹方程要与动点 的轨迹一一对应,否则要“多 退少补”,多余的点要剔除(用 x,y的取值范围来限制),不足 的点要补充.3.如果曲线（或轨迹）有对称中心，通常以对称中心 为原点.5.尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上.4.如果曲线（或轨迹）有对称轴，通常以对称轴为坐 标轴.建立坐标系的要点：通常以已知线段所在直线为坐标轴(x轴或y轴)，以已知线段的中点为原点;2.如果已知两定直线互相垂直，我们通常把他们选为坐标轴;6.让尽量多的点在坐标轴上.1.合理的选择原点与坐标轴;动点具有的

5、几何条件比较明显时，由题设所给(或 通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线 的方程，这种方法叫直接法适用范围:任何情况1. 建系：建立适当的直角坐标系(如果已给出，本步 骤省略);. 设点：设曲线上任意一点的坐标(x,y);. 列式：根据曲线上点所适合的条件,写出等式;4. 化简：用坐标x、y表示这个等式,并化方程为最简 形式;. 证明：验证化简后的方程的解为坐标的点都是曲 上的点.（一般变为确定点的范围即可）直接法求曲线方程的一般步骤：B例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每 一点到

6、A的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系，求这条曲线的方程. 取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy,解：因为为曲线线在x轴轴的上方，所以y0, 所以曲线线的方程是 设点M(x,y)是曲线上任意一点， MBx轴，垂足是B，练习1.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨 迹方程是_解:设动点为(x，y)，则由题设得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程.练习2. 在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边的中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.设A(x，y)，又D(0，0)，所以化简得 :x2+y2=9 (y0)这就是所求的轨迹方程.解:取B、C所

7、在直线为x轴，线段BC的中垂线 为y轴，建立直角坐标系.3. 将几何特征转化为数量关系而 得出方程.2. 准确写出几何特征p(M).本节课的关键问题1. 如何建立平面直角坐标系？4. 简化方程的过程是否同解变形.求曲线的方程（2）解:解法1:设点M的坐标为(x,y).M为线段AB的中点,A的坐标为(2x,0),B的坐标为(0,2y).l1l2,且l1、l2过点P(2,4),例1.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.PAPB,kPAkPB=-1.整理得x+2y-5=0(x1).当x=1时,AB的坐标分别为(2,0)(

8、0,4),线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所求,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.规律技巧:在平面直角坐标系中,遇到垂直问题,常利用斜率之积等于-1解题,但需注意斜率是否存在,即往往需要讨论,如解法1.求轨迹方程有时利用平面几何知识更为方便快捷.解法2:l1l2,OAOB,O,A,P,B四点共圆,且该圆的圆心为M.|MP|=|MO|.点M的轨迹为线段OP的中垂线.的中点坐标为(1,2),点M的轨迹方程是即x+2y-5=0.在求曲线方程的过程中，根据题中所给几何特征，利用平面几何知识将其转化为相应的数量关系得出方程，这种方法叫做几何法。例2.已知定点A(6,0),曲线C:x2+y2=4上的动点 B,点M满足 , 求点M的轨迹方程.xyA(6,0)OB M特征:所求(从)动点随已知曲线上的(主)动点的变化而变化方法:用从动点的坐标(x,y)表示主动点的坐标(x0,y0), 然后代入已知曲线方程，即的从动点轨迹方程.代入法(坐标转移法):练习:点A(3,0)为圆x2+y2=1外一点,P为圆上任意一点,若AP的中点为M,当P在圆上运动时,求点M的轨迹方程.分析:利用中点坐标公式,把P点的坐标用M的坐标表示,利用代入法,代入圆的方程即可.练习2.已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点 C在曲线y=3x2-1上移动,求ABC的重心的轨 迹方程.