理论力学 十一 动量矩定理

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1、？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题谁最先到谁最先到达顶点达顶点第十一章第十一章 动量矩定理动量矩定理？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题直升飞机如果直升飞机如果 没有尾翼将发生没有尾翼将发生 什么现象什么现象？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题为什么二者为什么二者 转动方向相反转动方向相反？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题航天器是航天器是 怎样实现姿怎样实现姿 态控制的态控制的1. 1. 质点的动量矩质点的动量矩11-1 11-1 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩MO(mv) =2OAQ MO(mv)定位矢量2. 2. 质点系的动量矩质点系的动量矩Orivi

2、yxzm1mim2质点系中所有质点对于点质点系中所有质点对于点O O的的 动量矩的矢量和，称为质点系动量矩的矢量和，称为质点系 对点对点O O的动量矩。的动量矩。 v vi iri miy y x xz z令 ：J Jz z刚体对刚体对 z z 轴的转动惯量轴的转动惯量 绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转 轴的转动惯量与转动角速度的乘积。轴的转动惯量与转动角速度的乘积。定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩11-2 11-2 动量矩定理动量矩定理1. 1. 质点的动量矩定理质点的动量矩定理 质点对某质点对某定点定点 的动量矩对时间

3、的导数，等于的动量矩对时间的导数，等于 作用力对同一点的力矩。作用力对同一点的力矩。2. 2. 质点的动量矩守恒定律质点的动量矩守恒定律rmvF MOh有心力作用下的运动问题有心力作用下的运动问题 有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。有心力作用下的运动轨迹是平面曲线。3. 3. 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 其中： 质点系对某质点系对某定点定点 的动量矩对时间的导数，等于作用于的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的质点系的外力外力 对同一点的矩的矢量和。对同一点的矩的矢量和。4. 4. 质点系动量矩守恒定律质点系动量矩守恒定律如果外力系对于定点的主矩等于如果外力系对于定点的主矩等于 0

4、 0，则质点系对这一点的动则质点系对这一点的动 量矩守恒量矩守恒。如果外力系对于定轴之矩等于如果外力系对于定轴之矩等于 0 0，则质点系对这一轴的动则质点系对这一轴的动 量矩守恒量矩守恒。解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象均质圆轮半径为均质圆轮半径为R R、质量为质量为m m，圆轮对转轴的转动圆轮对转轴的转动 惯量为惯量为J JOO。圆轮在重物。圆轮在重物P P带动下绕固定轴带动下绕固定轴O O转动，转动， 已知重物重量为已知重物重量为WW。求求：重物下落的加速度：重物下落的加速度O OPWWv v m mg gF FOxOxF FOyOy应用动量矩定理应用动量矩定理例例11-111-1

5、水流通过固定导流叶片进入叶水流通过固定导流叶片进入叶 轮，入口和出口的流速分别为轮，入口和出口的流速分别为v v1 1和和v v2 2，二者与叶轮外周边和内周二者与叶轮外周边和内周 边切线之间的夹角分别为边切线之间的夹角分别为 1 1和和 2 2，水的体积流量为，水的体积流量为q qV V、密度为密度为 ，水流入口和出口处叶轮的半径水流入口和出口处叶轮的半径 分别为分别为r r1 1和和r r2 2 ，叶轮水平放置。叶轮水平放置。求：求：水流对叶轮的驱动力矩。水流对叶轮的驱动力矩。解：解：在在 d td t 时间间隔内，水流时间间隔内，水流 ABCDABCD段的水流运动到段的水流运动到abcd

6、abcd时，时， 所受的力以及他们对所受的力以及他们对O O轴之矩：轴之矩：重力重力 由于水轮机水平由于水轮机水平 放置，重力放置，重力对对O O轴之矩等于轴之矩等于0 0 ；相邻水流的压力相邻水流的压力 忽略忽略 不计；不计；叶轮的反作用力矩叶轮的反作用力矩 与与 水流对叶轮的驱动力矩大小水流对叶轮的驱动力矩大小 相等，方向相反。相等，方向相反。abcd例例11-211-2abcd应用动量矩定理应用动量矩定理MMz z设共有设共有 个叶片，个叶片， 每相邻叶片间体积流量为每相邻叶片间体积流量为如右图所示，如右图所示，ABAB杆固定在转轴杆固定在转轴z z上，上，A A和和 B B点分别悬挂有

7、两个相同质量小球，小球点分别悬挂有两个相同质量小球，小球 间有细绳相连，系统绕间有细绳相连，系统绕z z轴转动，求当解轴转动，求当解 除细绳后（如右图所示），系统的转速除细绳后（如右图所示），系统的转速 。zaallABCD o ozABCD 解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象m mg gm mg g由由 得得例例11-311-3强与弱不分胜负强与弱不分胜负11-3 11-3 刚体绕定轴的转动微分方程刚体绕定轴的转动微分方程 刚体刚体z z轴的转动惯量轴的转动惯量v vi iri miF F1 1F F2 2F Fn nF Fi iy y x xz z 质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的

8、乘积，等于作质刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作 用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。 转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性的度量是刚体转动时惯性的度量aCm mg gO解：解：取摆为研究对象取摆为研究对象求求： 微小摆动的周期。微小摆动的周期。已知已知：m m，a a，J JO O。摆作微小摆动，有：摆作微小摆动，有：此方程的通解为此方程的通解为周期为周期为例例11-411-4 0 0OFNF求求： 制动所需的时间。制动所需的时间。已知已知： J JO O， 0 0，F FN N ，f f 。解：解：取飞轮为研究对象取飞轮为研究对象解得解得例例11-

9、511-5求求： 轴轴的角加速度。的角加速度。已知已知： J J1 1， J J2 2， R R1 1 ， R R2 2，i i12 12 = = R R2 2/ / R R1 1MM1 1，MM2 2 。M1M2M2M11 12 2FFnFFn解：解：分别取轴分别取轴和和为研究对象为研究对象解得：解得：例例11-611-611-4 11-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量刚体对刚体对 转转 轴的转动惯量轴的转动惯量转动惯量转动惯量是刚体转动时惯性的度量是刚体转动时惯性的度量 。转动惯量的大小不仅与质量的大小有转动惯量的大小不仅与质量的大小有 关，而且与质量的分布情况有关。关，而且与质量

10、的分布情况有关。其单位在国际单位制中为其单位在国际单位制中为kgmkgm2 21. 1. 简单形状物体的转动惯量的计算简单形状物体的转动惯量的计算（1 1）均质细直杆）均质细直杆（2 2）均质圆环）均质圆环ROz（3 3）均质圆板）均质圆板R d d O2. 2. 惯性半径（或回转半径）惯性半径（或回转半径）2. 2. 平行轴定理平行轴定理 两轴必须是相互平行两轴必须是相互平行 J JZC ZC 必须是通过质心的必须是通过质心的CBAzCzlOCdm1m2OC求求：O O 处动约束反力。处动约束反力。已知已知： m m ，R R 。解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象mgFOyFOx解得：

11、解得：由质心运动定理由质心运动定理例例11-711-7解：研究对象为轮、物体A和B。分析受力，运动分析已知：半径为r，滑轮重 为G，将其视为圆环。A物重 为P，B物重为Q，且PQ。求：两重物的加速度及轮 的角加速度。例例11-811-8ABOQ PG对O点应用质点系的动量矩定理则有由得ABOQ PG解： 受力分析运动分析：绕质心转动，质心不动。均质圆柱半径为r，质量为m， 置该圆柱于墙角，初时角速度 0，由于摩擦阻力，使转动减 速，摩擦因数 f求：使圆柱停止所需的时间。例例11-911-9应用刚体定轴转动的微分方程补充方程，应用质心运动定理 未知量积分未知量解得代入（1）式，得解：受力分析Q已

12、知杆OA长为l，重为P。可绕过O点的水 平轴在铅直面内转动，杆的A端用铰链铰接一 半径为R、重为Q的均质圆盘，若初瞬时OA杆 处于水平位置，系统静止。略去各处摩擦，求 OA杆转到任意位置（用角表示）时的角速度 及角加速度。例例11-1011-10QP取圆轮为研究对象，受力 如图，JA0因此，00，在杆下摆 过程中，圆盘作平移运动分析QPQ求OA杆的角加速度a研究整体,对O点应用动量矩定理由上式解出求OA杆的角速度w应用动量矩定理QP写出系统对O点的动量矩分离变量 积分得 Cmi对任一点O的动量矩与对质心的动量矩之间的关系。由动量矩定理11-5 11-5 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心

13、的动量矩定理这表明，以质点的相对速度或以绝对速度计算质 点系对于质心的动量矩，其结果是相等的。质点系相对于质心的动量 ，有两种定义式和其中得CmiOCmiO这表明，质点系对任一点O的动量矩，等于质点系随 质心平移时对点O的动量矩加上质点系相对于质心的 动量矩。质点系对任一点的动量矩其中得其中有得质点系相对于质心的动量矩定理由于最后得11-6 11-6 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程对于作平面运动的刚体，应用质心运动定理和 相对质心的动量矩定理，得或刚体平面运动微分方程4kg的均质板静止悬挂。求： B点的绳或弹簧被剪断的瞬时 ，质心加速度各为多少。例例11-1111-11解：解：1.考

14、虑第一种情况，作受 力分析和运动分析，如图 所示。应用刚体平面运动微分方程初瞬时0又由(1)知acx0 则有所以(4)联立解(2)(3)(4)式 初瞬时弹簧还未变形，弹簧力为2.考虑第二种情况，受力分析如下，由(2)式得 m/s2 根据平面运动微分方程已知已知： m m ，R, fR, f ， 。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。就下列各种情况分析圆盘的运动和受力。CFNmg( (a a) ) 斜面光滑斜面光滑aC解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象圆盘作平动圆盘作平动例例11-1211-12( (b b) ) 斜面足够粗糙斜面足够粗糙CFNaCmgF由 得： 满足纯滚的条件：( (c c) ) 斜面介于上述两者之间斜面介于上述两者之间CFNaCmgF圆盘既滚又滑圆盘既滚又滑FC已知已知： m m1 1, , m m2 2, , R, fR, f , , F F 。 求：求： 板的加速度。板的加速度。FCF1FN1FN2F2FN2F2m1gm2gaaCar解：解：取板和圆轮为研究对象取板和圆轮为研究对象对板：对板：对圆轮：对圆轮：解得：例例11-1311-13