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1、2 数学篇 数理化解题研究) 2 o n 年第8期 武汉市吴家山中学 ( 4 3 0 0 4 0 ) 刘族刚 武汉市吴家山二中( 4 3 0 0 4 0 ) 葛红艳 轨迹( 轨迹方程) 问题是解析几何模块中的一类 常用问题 ， 动点的变化方式较多， 形成过程较复杂， 常 见的方法有定义法、 消参法、 相关点法、 交轨法、 点差 法、 向量法等， 本文通过对一道典型习题的解法进行 探究 ， 以期在巩固知识和把握方法上都起着“ 固体拓 新”之效 例 l ( 如图 1 )过抛物线 y 2=2 p x( P0 ) 的顶点 D作 两互相垂直的直线 ， 分别交抛 物线于 A、 曰两点 ， 求 弦 A B中
2、 点 Q的轨迹方程 解法 1 ( 设 而不求法 ) 设Q ( ， Y ) 、 A ( ， Y 1 ) 、 B ( x ： ， J 、 0 图 1 Y 2 )， 贝 0 2 x= l + 2 ， 2 y=Y 1 +Y 2 ， 且 y 21=2 p x 1 ( 1 ) ， =2 p x 2 ( 2 ) 又由于 上O B， 则X 1 2 + Y l Y 2=0 ( 3 ) ( 1 )X( 2 )代人( 3 ) 得 Y l Y =一 4 p ( 1 )+( 2 )得 Y +Y = ( Y 1+y 2 ) 一2 ) ， l Y 2= ( 1+ 2 ) ， 即 +8 t , =4 ， 亦即 y 2=p x
3、一 评注 设而不求是解决直线与圆锥曲线相交弦 的问题最基本最常用的办法 解法 2 ( 参数法) 设 Q ( x ， y ) ， 直线 0 A ： ) ， =k x ( 尼 o ) ， 又 由 于 O A 上 0 B ， 则 A ( ， 警 ) 、 8 ( 2 p k ， 一 f =( 古+ J 2 ) p ， 2 p 后 ) 从而2 消去 参数k 得Y = p x 一 【 Y = ( 一 ) p 2 p 评注 在轨迹问题中， 当动点( 动直线或其他动 的元素) 较多时， 往往通过找出运动变化的根源， 选 择恰当的参数来解决 解法 3 ( 定点法) 设 Q ( x ， y ) 、 A ( ，Y
4、。 ) 、 ( ： ， ) ， 由 上O B ， 容易证明直线A B 过定点P ( 2 p ， 0 ) Y k = 故 有 号 2 ， 2 Y p x 一印 评注 关注运动变化 中的不变 因素 ， 往 往可以 达到以静制动 、 出奇制胜的功效 解法4 ( 利用直线参数方程) 设 Q ( x 。 ， y 。 ) ， 直 线 A B 的 倾 斜 角 为 0 c ， 则A B 的 方 程 为 f + 比 o s ( t 为 参 数 ) ， 代 入 抛 物 线 的 方 程 得 ： L y Y 0+ t s l no t t 2 s i n ： a+( 2 y o s i n , 一2 p c o s
5、c t ) t +) ， o2一 0=0 由于 Q为A B的中点 ， 所以t 1 +t 2=0 ， 2 y o s i n a一2 p c o s o t = 0 ， t a n ： 则 1 2 ： y丁 o- 2 p o = ( +P ) ( y 022 p o ) _ P 又 由 于 O A 上 0 B，所 以 O Q ： ： ( ) ： ： ( ) =一t l t 2 即 +Y = 一 2 墨 ，贝 ( Y ：op x o ) ( Y op x o+ 一 了 一 ， U 一 一 十 P 2 p )=0 因为 Q在抛物线内部， 从而 Q的轨迹方程 为 Y =p x一2 p 评注 研习教材阅读材料( 或课外材料) ， 利用 直线参数方程中参数 t 的几何意义， 对解决直线与圆 锥曲线弦的问题， 往往可以找到新的思路 训练0为抛物线 Y =4 x的顶点， A 、 B是抛物 线上异于0的两点， 且 O A上O B， O M 上A B， M为垂 足， 求点 肘的轨迹方程 答案 ( 戈一 2 ) +y 2=4( 0 )
