图像处理实践电子课件教案-第4章 图像变换

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1、 第4章 图像变换n n4.1 4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换n4.2 离散余弦变换n4.3 K-L变换n4.4 小波变换第4章 图像变换为了有效和快速地对图像进行处理和分析，常常需 要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到其他空 间，并且利用图像在这个空间的特有性质进行处理，然 后通过逆变换操作转换到图像空间。本章讨论图像变换重点介绍图像处理中常用的正交 变换，如傅里叶变换、离散余弦变换和小波变换等。1.1.一维连续傅里叶变换一维连续傅里叶变换 设f(x)为x的函数，如果f(x)满足下面的狄里赫莱条件：(1)具有有限个间断点；(2)具有有限个极值点；(3)绝对可积。则定义f(x)的傅

2、里叶变换为：4.1 4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换式中x为空域变量，u为频域变量，j为虚数单位。从F(u)恢复f(x)称为傅里叶反变换，定义为：上述二式形成傅里叶变换对，记做 ：函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复数，它可以由下式表示 ：F(u)=R(u)+jI(u)R(u),I(u)分别为F(u)的实部和虚部。写成指数形式 ：4.1 4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换F(u)为复平面上的向量，它有幅度和相角： 幅度 ：相角：幅度函数|F(u)|称为f(x)的傅里叶谱或频率谱，(u)称为 相位谱。 称为f(x)的能量谱或称为功率谱。 4.1 4.1 连续傅里叶变换连续傅里叶变换2.二维

3、连续傅里叶变换 傅里叶变换可以推广到两个变量连续可积的函数 f(x,y)若f(x,y)满足狄里赫莱条件，则存在如下傅里叶变 化对： 二维函数的傅里叶谱、相位和能量谱分别表示为： 1.一维离散傅里叶变换 对一个连续函数f(x)等间隔采样可得到一个离散序列。设共采了N个点，则这个离散序列可表示为f(0),f(1),f(N-1)。借助这种表达，并令x为离散空域变量，u为离散频率变量，可将离散傅里叶变换定义为： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换傅里叶反变换定义由表示： 可以证明离散傅里叶变换对总是存在的。其傅里叶谱、相位和能量谱如下：4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶

4、变换2.离散傅里叶变换（DFT）的矩阵表示法由DFT的定义，若考虑1/N系数，N4的原信号序列 f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里叶变换F(u)展开为： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换将e指数项化简可写成矩阵形式（计算机处理通常可忽略 1/N）： 记作：式中W称作变换核矩阵，简称核矩阵。矩阵计算需把指数表示 为a+jb。可用复平面的单位圆来求W的各元素。如图4-1所示 。当N=4时，参看图4.1(a)。把单位圆分为N=4份，则正变换 矩阵第u行每次移动u份得到该行系数。这样N=4时W阵如下： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换(a)(

5、b ) 图4.1 复平面单位圆 (a)N4 (b)N84.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换同理N=8见图4-1(b)的单位圆。N=8的W阵应把单位圆分 为8份，顺时顺次转0份,1份、,7份，可得W阵为:4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换用以上表示方法可把傅里叶正变换式写为：式中 显然， 具有周期性，即：另外， 还具有对称性：4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换3.快速傅里叶变换(FFT) 这里介绍一种称为逐次加倍法的快速傅里叶变换算法 。设N为2的整数次幂，即N=2n。如果N不是2的整数次幂

6、，则它的FFT算法比较复杂，这里不做介绍，有兴趣的可以 查阅有关信号处理的书籍。设：fe(x)=f(2x) x=0,1,2,N/2-1fo(x)=f(2x+1) x=0,1,2,N/2-1由此，离散傅里叶变换可写成下面的形式： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换上式中这样，就将一个求N点的离散傅里叶变换转换成求两个 N/2点的离散傅里叶变换。设N=8，根据上式可以求得： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换根据傅里叶变换的周期性和W的对称性，同时注意这里的 Fe(u)和Fo(u)都是4点DFT，因而周期是4，

7、即： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换从而上式可以简化为： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换现在已经大大地简化了DFT的计算，但是还可以继续 简化。事实上，Fe(u)和Fo(u)都是4个点的DFT。按照上面的 思路， Fe(u)和Fo(u)都还可以简化为2个点的DFT。设：则 ：4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换将上式展开并进一步简化为： 这样，A(u),B(u),C(u),D(u)都已经是2点的DFT，他们 可以根据一维离散傅里叶变换的公式由原始数据f(x)直接 求得。计算方法如下： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变

8、换上面就是8个点的快速傅里叶变换算法(FFT),对于更 多的点的FFT,可以依次类推。为了便于理解，下面给出 FFT的更加直观的蝶形流图。如图4.2所示为FFT蝶形运算 流程图的一个运算单元。 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换图4.2 FFT的蝶形运算单元 其中BA+mC，D=C+nA，则8点FFT的完整蝶形计算 流图如图4.3所示。 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换图4.3 8点FFT蝶形流图 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换图4.4 8点DFT逐级分解框图 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换图4.5 8点FFT蝶

9、形流图 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换4.用计算机实现快速傅里叶变换要解决的问题利用FFT蝶式流程图算法在计算机上实现快速傅里 叶变换必须解决如下问题：迭代次数r的确定；对偶节点 的计算；加权系数 的计算；重新排序问题。1、迭代次数r的确定由蝶式流程图可见，迭代次数与N有关。r值可由 下式确定： 式中N是变换序列的长度。 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2、对偶节点的计算 在流程图中把标有 的点称为节点。其中下标l为列 数，也就是第几次迭代，k代表流程图中的行数，也就是序 列的序号数。其中每一节点的值均是用前一节点对计算得来 的。例如，x1(0)和x1

10、(4)均是x(0)和x(4)计算得来的。在蝶 式流程图中，把具有相同来源的一对节点叫做对偶节点。对 偶节点的计算也就是求出在每次迭代中对偶节点的间隔或者 节距。由流程图可见，第一次选代的节距为N/2，第二次迭 代的节距为N/4，第三次迭代的节距为N/23等等。由以上分析 可得到如下对偶节点的计算方法。如果某一节点为 ，那 么，它的对偶节点为: 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换式中l是第几次迭代的数字，k是序列的序号数，N是序 列长度。例 如果序列长度N=8，求x2(1)的对偶节点。利用上式计算，可得：4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换3、加权系数 的计算的

11、计算主要是确定p值。p值可用下述方法求得：把k值写成r位的二进制数(k是序列的序号数，r是迭 代次数)； 把这个二进制数右移r-l位，并把左边的空位补0（ 结果仍为r位）； 把这个右移后的二进制数进行比特倒转； 把这比特倒转后的二进制数变成十进制数就得到p值 。 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换例：求x2(2)的加权系数 。由x2(2)和 可知k=2，l=2，N=8，则 r=log2N=log28=31）因为k=2，所以写成二进制数为010；2）r-l=3-2=1，把010右移一位得到001；3）把001做位序颠倒，即做比特倒转，得到100；4）把100译成十进制数，得到4

12、，所以p=4，x2(2)的加权 值为 。 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换结合对偶节点的计算，可以看出 具有下述规律 ：如果某一节点上的加权系数为 ，则其对偶节点的加权 系数必然是 ，而且 ，所以一对对偶节点 可用下式计算： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换4、重新排序 由蝶式流程图可见，如果输入序列x(n)是按顺序排列 的，经过蝶式运算后，其变换序列是非顺序排列的，即乱序 的；反之，如果x(n)是乱序的，那么，X(m)就是顺序的。因 此，为了便于输出使用，应加入重新排序程序，以便保证 x(n)与它的变换系数X(m)的对应关系。具体排序方法如下： 1）将

13、最后一次迭代结果xl(k)中的序号数k写成二进制数；2）将r位的二进制数比特倒转；3）求出倒置后的二进制数代表的十进制数，就可以得到与 x(k)相对应的X(m)的序号数。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换5.傅里叶反变换傅里叶反变换可以利用正变换来进行计算。只须对正 变换的输入作一点修改就可用于反变换。傅里叶反变换如下：取上式的复共轭并两边同除以N得到：4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换上式右边对应一个正变换，即F*(u)的傅里叶正变换。因此，求傅里叶反变换可以先求傅里叶变换F(u)的复 共轭F*(u)，然后求F*(u)的傅里叶变换得到f*(x)/N，对此再

14、 求复共轭并乘以N就得到所需的反变换f(x)。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换6.二维离散傅里叶变换 一幅静止的数字图像可看做是二维数据阵列。因此 ，数字图像处理主要是二维数据处理。如果一幅二维离散图像f(x,y)的大小为M*N，则二 维傅里叶变换可用下面二式表示。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情 况下总是M=N。因此，二维离散傅里叶变换多采用下面两式 形式： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换7.二维离散傅里叶变换的性质 二维离散傅里叶变换有一些重要的性质，这些性质为 使用提供了极大的方便

15、。1）分离性二维离散傅里叶变换具有分离性 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换其中 ：分离性质的主要优点是可借助一系列一维傅里叶变换分 两步求得F(u,v)。第1步，沿着f(x,y)的每一行取变换，将其 结果乘以1/N,取得二维函数F(x,v);第2步，沿着F(x,v)的每 一列取变换，再将结果乘以1/N,就得到了F(u,v)。这种方法 是先行后列。如果采用先列后行的顺序，其结果相同。如图4.6所示。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换行变换列变换图4.6 把二维傅里叶变换作为一系列一维的计算方法 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换对逆变换f(

16、x,y)也可以类似地分两步进行。4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换2）平移性 傅里叶变换和逆变换对的位移性质是指： 由f(x,y)乘以指数项并取其乘积的傅立叶变换，使频率 平面的原点位移至(u0,v0)。同样地，以指数项乘以F(u,v)并 取其反变换，将空间域平面的原点位移至(x0,y0)。当 u0=v0=N/2时，指数项为： 4.1.2 4.1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换即为 ：这样，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以将f(x,y)的傅里 叶变换原点移动到N*N频率方阵的中心，这样才能看到整个 谱图。另外，对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换的幅值。 此外，与连续二维傅里叶变换一样，二维离散傅里叶变 换也具有周期性、共轭对称性、线性、旋转性、相关定理、 卷积定理、比例性等性质。这些性质在分析及处理图像时有 重要意义。 4.1.2 4.1.2 离散