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1、圆的渐开线教学漫谈邓光前我国高中致学,五十年代中期取消了平面解析几何,六十年代中期方始恢复.1 9 6 3版本至八、九十年代现行版本.都开列了圆的渐开(伸)一线内容:1963年将其归入“由参数方程画 图”一节,给出方程和图象,但无推导过程及任何说明,八十年代至今之版本,辟为一节,即“4.3圆的渐开线、摆线”,标明摆线为选学内容,给出了完整的推导过程及图象,并附相应的练习及 习题。几年前,笔者阅读了后面这个版本,并进行过不足一个学期的短暂教学,斯时即觉这段教材在讲述时应向学生多说几句,作点补充.数月前,在同仁的一次聚会上,一位同志突然提到这节教材,并说,最近新编教材仍有本节内容,他曾和某人讨论过
2、,觉得画 出正方形的渐开线这个练习(意为不妥)。无惫间触动了笔者想发表点看法的宿愿。考虑到不少师生对这段教材关注殷切、相互切磋有利加深认识以促进教学,笔者愿一陈浅见,切盼同行踢教。圈是曲线。圆的渐开线乃曲线渐开线之特例.一般曲线的渐开线,中学教本没 有讲到。一些数学书,把渐屈线和渐开线放到一块来讲,往往先讲渐屈线再讲渐开 线。在讲渐屈线之前,应先明白曲率、曲率半径、曲率中心这几个概念。这里不妨予以简要回顾.如图1,选定点从作为度量曲线C上弧长的基点,M 及 M是C上对应于弧长为S及S+S的两点。如果M沿C移到M时,曲线的切线的倾角由。变到a+。,则比契(即平均每单位弧长方向改变量)的绝对值叫乙
3、二 J做弧MM的平均曲率.当S0(即M,M)时,这个比的极限,lim S一O即a对S的导数。Sd a一d S其绝对值叫做曲线C在点M的曲率。从而 曲率面一d s 一一K易于证明:圆上任意一点的曲率等于半径的倒数。事实上,设圈的半径为R,由图2有i一R 一一S一.一S岁一R一岁一一Q一八勺一z一R一一血一d S从而K同时可知,曲率是有单位的量.圆上任惫一点的曲率的单位是半径单位的倒数。如果曲线C上点M 处,曲率K护。,则长 的倒数R就 叫做曲 线在点M 的曲率半径:R 一吝.在点M的曲线 伪r,限四诵认屁“J四,丁币、K一认川四哟 的法线上,于凹向的一边取一点口,使 O M!= R,则中心为。,
4、半径为R的圈叫做曲线在点 M的曲率圆,曲率圆的口心 o 叫做 曲率中心(图3).显然,圆的曲率半径等于该圆的半径,其曲率中心就是圆心.渐屈线曲线C上每点的曲率中心的轨迹D,称为曲线C的渐屈线(图4 ).渐 开线曲线C对它的渐 屈线D而言,就是渐开线(或称渐伸线).渐开线、渐屈线二者之关系,有些类似正致、负数之间的关系:正数的相反数是负数,该负数的相反数就是原先那个正数。曲线D对它的渐开线C而言,就是渐屈线。简而言之:D的渐开线是C,C的渐屈线是D。和渐开线一样,渐屈线也有参数方程.曲线y二 fx ()的渐屈线的参数方程,就是y一f (x )的曲率中心的坐标.因其与导数有关,这儿就不再赞述了。曲
5、线的渐开线至少有下述二 条性质:1.渐开线C上任一点的法线与曲线D相切,T尸下叹 粼“A”义 图22.渐开线上两点M:,M:的曲率半径的改变量等于子子一夕相应的曲线D的 弧长,即M刃,一M、Dl=6几:.上述各点,高中数学教师是熟悉的,因为这只是大学一年级学过的 一点知识。擞开导数这一概念,高二学生也不难理解这些内容.为此,回的渐开线这节教材,放入了高二平面解析几何课本,供学生们学 习。琢磨一下仰 可知道,高二有关教材就是在上列二条性质下展开的,这在该书P1 62已说得十分明白:把一条没有弹性的细绳绕在一个 固定的圆盘的侧 面上将铅笔系在绳的外端,把绳拉紧逐渐地展开(这时绳的拉萦部分和画出的曲
6、线,即绳的外端的轨迹叫做圆的渐开线,这个 圈叫做渐开线的基圆。”原书图形有二,其一为渐开线的发 生图.另一为推导其参数方程而用的图形,兹分别以图5和图6复制于下:、不少学校有图5的演示教具,教师讲解圆的渐开线的形成过程及原理应该说并不困难.正 如教参资料所说,“突出基圆、切线、弧长三者的关系,抓住基圆渐开部分的圆弧长等于当时基 圆的切线长这个关键,以这个弧的圈心角为参数”,就不难列出其参数方程,19了.这儿的基圈就是其渐开线的渐屈线。图5在推出参数方程后,应注意到:1.图6并不是圆的渐开线的全貌,它仅是基圆上点A按反时针方向渐开到Q的图象(图7)。说清这一点很有必要。否则,粗心的人可能会与该书
7、 后面一页摆线一拱 之图象“比较”,而误以为图6是全圈的渐开线。1963年版本之图,(复制如图 8 )也类似于本图,不是全圆的渐开线。图7图8圆的渐伸线xr oo斓十r加iney二面动一贾恢二“谧2.全 圆的渐开线无论教本、参考书或通常的高等、初等数学书 中都没见到。根据前述性质或“形成过程及原理,是不难绘出的(如图9 )。3.利用性质可以检验所画渐开线是否准确。例如,菲挤金哥尔茨的徽积分学教程一卷二分册Psl 4之图(按原图大小复制如下图10 ),就不够准确.事实上,经t 度,圆半径。=1. 枷,当t=粤时(图n),一 一一-一一一一2一J、曰E G舀EA =粤.。、乙3.14xl5“235
8、5(e。)。但实最EG七2.15em。不少书也有类似情况。因此,我们只能狱认:某些图形只是近似的示意图,不够准确。4.口的渐开线的发生图,无论两个版本的高二教 本(由。、图。),抑或菲.金哥尔茨的徽积分学教程 (图; 。)等书,都没有数学手册 P38 1之图(复制如下图12 )明晰;尽管图 1 0用虚线标出屁,以示屁渐开 至 M点(ABBM),但没有图1 2中粗、细实线、虚 线及 相应文 字能让读者更加一目了 然,使中学 生(或初 学者)更易接受.现 行高二教本 收入此 图不更好一些吗?卫图10现 行高二 教本讲完圆的渐开线后,(也就 是前述同仁所说的这个练习):图11P1 63有这样一个练习
9、“将圆的 渐开线 中的 基圆换为 正方 形就得 到正 方 形 的渐开线。用刻度尺、圆规画出边长 为Icm的正 方形的渐开 线。”本题应该怎样作?应 怎样联 系教本内容给学生讲评?严肃认真 的教师关注此题是完全 可以理解 的.高二教本没讲一般曲线的渐开线,而一般高等数学书虽讲了曲线的渐开 线、渐 屈线,但对 多边 形,却没有提到应 怎样 理晰开统解和 绘 出其渐 开线;高二教参本 上 也只有此题 答案(图1 3),而 没任何 说明。样画葫 芦,将其往教本中圆的渐开线那段文字上“硬套”,就成 了:图1 2一些师生依月 “把一条没有弹性的细 绳绕在一个固定的边长 为1。m的正方形的四条边上,将铅笔
10、系在.21绳 的外端,把绳拉紧逐渐地展开(这时绳的拉直 部分和正方形保持相切)”这样一来,问题来了,他们便觉得不是教参资料答案有问题.就是题 目有毛病.因为“正 方形有什么切线!?”当C B渐开到C E、C F时,能说CE、C F与正方 形A BCD都切于C点(图1 4)?基圆渐开时,各拉直部分并不是“都”切圆于同 一点呀!要回答上 述疑 问,笔者认为关键是不能用上面所谓的“硬套”法来对待正方形的渐开线.如果 一定 硬套、考虑“相切”,就只能这样理解:首 先,课本内是特指圆的渐开线,所 以编者以括号 内之文字 给以附加说 明,以便推导参 数方程(一般 曲线 的渐开 线的生成,也可加 此说明).
11、但诸如多边形渐开线的生成,就不能加此说明了。其次,若强求一致,即一定 要关注“相切”二字,那括号内“这时绳的拉直部分和圆保持相切”一语,可以拓为“这时绳的拉直部分所在直线和原 图只有一个 公共点 或使原图在其 一旁”。这 样一来,若是圆,就相切;若是多边形,也能成立.逐渐地展开时应强调“拉紧”二字,这既保证了拉直部分所在直线使原图在其一旁(即不穿过原图),同时也就不难理解边长为c Im的正方形的渐开线是以 四个项点为圆,:,.,_,_.、.、.,二 二1。 一一二、 心,分别以Icm、Zcm、c 3m和c 4m为半径作出的四个相连的今圆弧,即 图中B点的轨迹/付J-一一-一-一”-一产,一”一
12、”一”一”碑4一一一”、Jv“一 (当“拉紧”CB逐渐展开时,因其是线段,就与圆弧不同,除点C不动外,B C上各点皆绕C反时针方向旋转9。后,即与D C同一直线,再“拉紧”转时,自然就是绕D而转 了;其余两点可同理得出).这时,原正方形就不 能认为是渐 开线的渐屈线了,因其不具 曲率中 心轨迹 之特点.这正是 曲线的 渐开线与多边 形渐开线不 同之处,我们应 予 留神.不过,在“拓为”的意义下,前述之二条性质是仍然可以成立的。综上所述,本节教材,内容丰富,也可以说有较多伏笔.致于这 个练习.笔 者以为,没有什么错误,只不过 稍嫌陡峭。只要我们认真钻研 教材,就不难给 学生讲述清楚。主要参 考书(l )平 面解析几何(1 9 6 3年新编高 中课本),人民教育出版社( z)平面解析几何(1 9 84年高 中课 本,甲种本),人 民教育出版社( 3)平面解 析几何(甲种本)教学参考书,人民教育出版社( 4)高等数学讲 义、上册),樊映川等编,人 民教育出版社( 5)高子数学(上册),路见可、熊全淹编,人民教育出版社( 6)数学 手册,中科 院数学所王连祥等编,人民教育出版社( 7)徽 积分学教程(一卷二 分册 ),菲赫金哥尔芙,高等教育出版社k1992年12月l11日(责任 编样卢 洪涛周镐)
