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1、做活课本题 练好基本功 葛 卫 国 例 ( 苏教 版 教 科 书 必修 5第 7 1页 习 题 3 2第 5题 ( 2 ) )已知 不 等 式 z 一 2 x+ 是 。 -1 0对一 切 实数 z恒 成立 ， 求 实数 k的 取 值 范 围 解 析 1 根 据教 科 书第 6 9页 的表 格 可 以得 出 ， “ 不 等式 z 一2 z+k 一 1 0 对一 切 实数 3 2 恒成 立 ”等价 于“ 方 程 z 一 2 x+ k 一 1 0无 实 数根 ” ， 也 等 价 于 “ 二 次 函数 Y z -2 x+ k 一 1与 z轴无 交 点” 故 只需 一 ( 一 2 ) 一 4 ( k 一
2、 1 ) 2或 k 1 一k 对一切实数 z恒成立 ， 求实数 k的取值 范 围此 时我们 只需 求 出 z 2 z的最小值 ， 1 k 小于它的最小值即可 解 析 2 令 厂( z ) 一 z 2 x， 贝 0 -厂 ( z ) 一 z 一2 x一 ( z一1 ) 。 一1 ， 所 以 厂 ( z ) 的最小值 为 一 1 由题意得 1一k 2或 所 以 点 P 到 点 M 的 距 离 不 小 于 它 到 该 直线 的距 离 ， 即 丢 + ， 也 即丁a q - b 丁 1 _ 百 *O IJ 4求 证 ： ( c o s a 一 ) 。 + ( s in 一 ) 。 。 简 析 如 果
3、运 用 三 角 公 式 来 证 明 ， 运 算 量 较 大我 们 将 欲 证 的 不 等 式 写 为 ( c o s a 一 ) + ( s in a 一 ) 。 3 ， 其 几 何 意义 是 点M(C O S口 ，s i n a)蛩I点 0 n 、 P( ， l 的距离P M 不小于 3 C O S口Sl n a ， 因为点 M 在 直线 ： z C O S a + y s i n a 一 1 0上 ， 又点 P不在直线 z 上， 且点 P到直线 z 的 距 离d l C O S。 c 。 s + s l n。 s in a 一 I 一 3 ， l 9 9 J 所 以 PMj3， 即得 c
4、o s 一 ) +( s inC O a 一 Sln o1) 即得 一 )+( a 一 ) S ， 9 综 上所述 ， 若 能 及 时 捕 捉 题 目所 透 露 出 的信息 ， 巧妙 构造直线模 型， 我们可 以将 不 等式 证 明 问题 转 化 为 两 点 间 的距 离 和 点 到 直线 的距离来解决 ， 从而 获得一种独 特、 巧 妙 的证题 思路 躐 掰 _s “ _ l 。 35 悟道 心 灵故 飞 走 0即得 2或 志 0 恒 成 立 只需 A一 ( 一2 ) 一4 ( 足 一1 ) 、 2 或 走 O ， 即 2 。 一 2 2 + 忌 一 1 0 解 得 志1或 志一 1 另 ：
5、 如将区间 2 ，+C o ) 改为( 2 ，+。 。 ) ， 又将 如何处 理 呢? 变 式 4 当 t 一 】 ，1 时， 不 等 式 a +缸一2 O恒成立 ， 求 实数 n的取值范 围 分 析如 果 将 不 等 式 左 边 看 做 是 n的 二次 函数 ， 此 题 解 起 来 会很 麻 烦 ， 我 们 不 妨 转换 一下“ 视角 ” ， 把左 边看 做 t 的一 次 函数 略 解令 -厂 ( ) 一 a t +“ 。 一 2 ， 则 当 n = - 0 时 ( ) 是 “的一 次 函数 由一次 函数的性质 ， 要使不 等式 。 +t a z 成 立 ，f (- 1) = - a 三 解得 n 2 或 一 2 当 一0时 ， _ 厂 ( ) 一一2 ， 显 然不 成立 综上 所述 ， 实数 n的取 值 范 围 是 n n 2或 n 2 从 对此 题 的研 究 可 以 看 出 ， 教 科 书 中 的 习题 很值 得我 们 去 回味 和 深 思 希 望 同学 们 在平 时 的 学 习 中不 断 从 教 科 书 中 汲 取 新 的 营养 ， 提升 自己的数学 能力 ：
