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1、第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 多元函数就是有多个自变量的函数。多元函数微分学的核心内容是偏导数与全微分的概念及运算。 本章包括九节。前三节主要介绍一些术语，其中包括多元函数的极限与连续的概念。中间四节是本章重点，其中包括偏导数与全微分的概念，偏导数与全微分的计算方法。最后两节是多元函数微分学在极值计算中的应用。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8.1 8.1 空间解析几何简介空间解析几何简介 8.2 8.2 多元函数多元函数 8.3 8.3 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续 8.4 8.4 偏导数偏导数 8.5 8.
2、5 全微分全微分 8.6 8.6 复合函数微分法复合函数微分法 8.7 8.7 隐函数微分法隐函数微分法 8.8 8.8 二元函数的极值二元函数的极值 8.9 8.9 条件极值条件极值 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 8.1 8.1 空间解析几何简介空间解析几何简介 8.1.1 8.1.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 多元函数的研究，需要一些空间解析几何的知识。本节的目的，就是介绍这些知识。 过空间一点O，作三条互相垂直的数轴OX，OY，OZ，并按右手规则确定方向，即四指由OX轴正向，转向OY轴正向，则拇指指向OZ轴的正向，这样就建立了空间直角坐标系，如图8.
3、1-1。 图8.1-1第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 O称为坐标原点，三条数轴，称为坐标轴。每两条坐标轴确定一个坐标平面，由OX，OY轴确定的坐标平面称为XY坐标平面。其余类推。如图8.1-2。 图8.1-2第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 1 8. 1 给定一个三元数组(x, y, z )，如图8.1-3所示，我们沿OX轴走x单 位距离(x 0，沿OX轴正向，x f (p0) 称f (p0)为f的一个极大值，p0 为一个极大值点。见图8.8-1。 图8.8-1第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 8.8.2 8.8.2
4、 极值必要条件极值必要条件 定理定理 8.8.18.8.1： 若f在p0处偏导数存在，且p0为极值点，则 fx(p0) = 0， fy(p0) = 0 证：证：不妨设 p0为极大值点，则存在 p0 的某邻域 N(p0)，s.t. p N (p0)，有 f (p) 0，是极小值点； 当A 0，(x0, y0)不是极值点。 注意：当 = 0，本判别法失效。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 8.8.4 8.8.4 极值计算步骤极值计算步骤 由上述讨论，对于二元函数f (x, y)，可按下述步骤计算极值。 解方程组 求驻点； 计算三个二阶偏导数； 计算三个二阶偏导数在驻
5、点处的值A，B，C， 根据 以及A的符号确定(x0, y0)的极值情况。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 例8.8.1求f (x,y) = y3 - x2 + 6x -12y + 5的极值。 . 计算三个二阶偏导数 . 计算三个二阶偏导数在驻点处的值A，B，C， (3,-2) = 02 - (-2) (-12) = -24 0 (3, 2)不为极值点。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 例8.8.2要用铁皮做一个容积为8立方米有盖长方体水箱，怎样选取长、宽和高的尺寸，才能使用料最省？ 解解: :设水箱的长、宽、高各为x米、y米、z米
6、,则xyz = 8立方米。设水箱的表面积为 S，则S = 2 ( xy + yz + zx )， (这是在条件xyz=8下,求S=2(xy+yz+zx)的极值,是条件极值问题) 由条件xyz = 8解出 ,代入函数S = 2 ( xy + yz + zx ),得 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 8 8. 8 由 有 由实际意义，水箱所用铁皮面积有最小值，又只有一个驻点 (2,2)，所以驻点(2,2)就是使S取得最小值的点。因此，当x = y = 2时，水箱所用材料最省。 从而解得 , 代入 , 得 , 得驻点(2,2) 。第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98
7、. 98.9 8.9 条件极值条件极值 8.9.1 8.9.1 条件极值问题条件极值问题 引例引例1 1用16米长的铁丝, 做一个矩形,怎样做矩形的面积最大?你可能已经知道了答案，但这里是以此例来说明概念。 设矩形的长为x,宽为y,如图8.9-1。面积为S,则周长为2x+2y。 图8.9-1这一问题可表述为： 求函数 S = xy 在条件 2x + 2y = 16 下的极值问题。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9函数S = xy是我们要最大化的对象，或者说是我们要最优化的对象；方程2x + 2y = 16称为约束条件。 从实际意义上讲，约束条件反应了资源的限定。 从
8、数学意义上讲，约束条件是对函数S = xy的自变量的取值范围的约束。 由于约束的存在，自变量的取值范围受到限制，自变量的取值 范围变小了。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9引例引例2 2做一个容积为8立方米的密闭长方体水箱，怎样做表面积最小(即用材料最省)？ 设水箱的长、宽、高分别为x、y、z，如图8.9-2。表面积为S。 这一问题可表述为： 求函数 S = 2( xy + yz + zx ) 在条件 xyz = 5 下的极值问题。 图8.9-2函数S = 2(xy + yz + zx)是我们要最小化的对象，或者说是我们要最优化的对象；方程xyz = 8称为约束条件
9、。 这种求函数 f 在一定条件下的极值问题，称为“条件极值”问题。相应的，8.8中所讨论的极值问题为“无条件极值”问题。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9上述两个引例虽然很简单,却代表了经济活动中两类基本问题： 一是在资源一定的条件下，追求利益最大； 一是在目标一定的条件下，追求成本最小。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 98.9.2 8.9.2 条件极值的计算条件极值的计算 求解条件极值的基本思想是化为无条件极值。化为无条件极值 的方法有： (1)从条件极值中解出一个变量,代入函数中化为无条件极值。例8.9.1求S = xy，在条件2x
10、+ 2y = 16下的极值。 解解：由2x + 2y = 16，有y = 8- x，代入S = xy中，有 S = x (8- x) = - x2 + 8x S (x) = -2 x +8 令 S(x) = 0，得驻点x0 = 4， 又 S” = -2，S”(4) 0 。 当x0 = 4，从而y = 4时，面积最大。 在约束条件为线性方程时，这种方法比较方便。 但大多数情况下，要从约束条件中解出一个变量很难，甚至不 可能，这时常用拉格朗日乘数法。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9(2)拉格朗日(Lagrange)乘数法。 下面我们要经历一段漫长的分析说明过程，试图说
11、明拉格朗日 乘数法的基本思想。如果你对这样一种分析不满 (不管出于什么原因)，你可以跳过它，直奔结果。 对于条件极值问题： 求函数 S = xy 在条件 2x + 2y = 16 下的极值问题。 以前是这样求解的： . 从条件方程中解出y：y = 8-x . 代入函数S中： S = xy = x(8-x) = 8x - x2 . 求此一元函数的无条件极值： 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9对于一般的条件极值问题： 求函数 z = f (x, y) 在条件 g (x, y) = 0 下的极值。 . 设想从条件方程g (x, y) = 0中解出y：y = (x) . 代
12、入函数z = f ( x, y)中：z = f ( x, y) = f ( x, ( x) . 求此一元函数的无条件极值： 按照同样的思路求解，就会得出一个程序化的求解步骤，称为 拉格朗日乘数法。 求z = f (x, (x)的导数， 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9注意到z = f (x, (x)，有如图8.9-2所示的复合关系， 有 解方程： (1) 图8.9-2( 由隐函数求导法，有 ) 得可能的极值点x0(也就是驻点)。 方程(1)说明：为了求可能的极值点x0，只需要得到 这些数据。为了得到这些数据，不需要解出显函数然后再代入，直 接求导数就可以得到。 第八
13、章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9(2) 解此方程组，得可能的极值点(x0, y0)。 为了使方程组(2)更加简洁和对称，我们令 这里还有一个麻烦，就是方程(1)是关于x, y的一个二元方程，有无穷多个解，还需要一个条件才能定解。注意到x, y总是要满足约束条件，因此我们可以把约束条件加进来，构成方程组(2)： (3) 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9(4) 于是方程组(2)可表示为： (注意方程组(4)中的第二个方程是由方程(3)变形而来) 解此方程组，即得可能的极值点( x0, y0 )。 注意到方程组(4)实际上是三元函数F(x, y,
14、) = f (x, y) + g(x, y)的三个偏导数构成的，解方程组(4)我们得到函数F(x, y, )的可能的无条件极值点。这样我们就把条件极值问题转成了函数F(x, y, )的无条件极值问题。 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9总结上述，我们有 求函数 z = f (x, y) 在条件 g(x, y) = 0 下的条件极值的步骤： 作辅助函数 (拉格朗日函数) 由实际意义确定(x0, y0)是否为极值点。 F(x, y, ) = f (x, y) + g(x, y) (其中叫拉格朗日乘数) 解方程组 ，求可能的极值点(x0, y0) 第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学 8. 98. 9例8.9.2求函数S = 2( xy + yz + zx ),在条件xyz = 8下的最小值。解：解：设F( x, y, z , ) = 2 ( xy + yz + zx ) + (8-xyz )， 解方程组：(注意，约束条件一定要写成g(x, y) = 0的形式) (1) x，(2) y，(3) z，注意到xyz = 8，得 解得 x = y = z = 2。 由实际意义知S有最小值,由于只有一个驻点 (2,2,2) 所以该驻点也是最小值点。
