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1、超 声 层 析 成 像 的 理 论 与 实 现英国从事超声成像的专家P. N. T Wells在2000年 的文章超声成像技术的现状与未来一文中指 出：“在最近的十几年里，有关超声成像技术的研 究在医学成像领域至少占百分之二十五以上的份 额，并且这种趋势还在继续增长。”Wells还指出：“目前成功地应用于医学领域的超 声成像设备大都是基于反射波，且其成像也只是 定性的，根据超声散射波的信息，定量地生成人 体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求 的新目标。”“未来的超声成像技术应该是制造出不需成像专家 或医学专家才能识别的反映客观现实真实图像的 超声成像设备，即使是这种设备是不完美的。” 主
2、要内容一. 超声层析成像技术的发展历史 二. 超声层析成像技术的基本模型及方法三. 问题的不适定性及其正则化 四. 模型噪声的判断方法Picard准则 五. 静态正则化技术在超声层析技术中的应用 六. 迭代正则化技术在超声层析技术中的应用七. 总结与展望 一. 超声层析成像的发展历史1. 折射系数层析成像方法 2. 衰减系数层析成像方法 3. 射线跟踪方法 4. 透射式衍射层析成像及反射式衍射层析成像方法 5. 基于精确场描述的层析成像方法 1.折射系数层析成像方法 Refractive-index tomography 2.超声衰减系数层析成像Attenuation tomography 衰
3、减系数 综合衰减系数 3.射线跟踪方法Ray Tracing Method 4. 透射式衍射层析成像及反射式 衍射层析成像方法物体傅里叶变换频域空域入射波前向散 射场从不同方向照射物体时,前向散射 场数据的傅里叶变换5. 基于精确场描述的层析成像方 法二. 超声层析成像技术的基本模型及方法非齐次亥姆霍兹方程(Helmholtz Equation)1. 波动方程及其解全场方程(Total Field Equation) (第二类Fredholm积分方程) 散射场方程(Scattering Field Equation) 探测器方程(Detector Equation) 2. 积分方程的离散化矩量
4、法向量形式: 3. 波动方程的近似 Born近似 Born逆解O 应满足的条件: Rytov近似 应满足的条件:4. 基本方法Born迭代算法(BI) Levenberg-Marquardt和 Newton-Kantorovich方法 变形Born迭代方法(DBI) Born迭代算法(BI) 求Born逆解O由全场方程 确定全场 由散射场方程求散射场,并计算 由方程求改变量求求Born逆解O由全场方程 确定全场 由散射场方程求散射场,并计算 变形Born迭代算法 (DBI) 根据最新求得的Ok改变散射方 程的系数矩阵D求由方程求改变量Levenberg-Marquardt和 Newton-Ka
5、ntorovich方法 代入三.问题的不适定性及其正则化适定性问题是指：对于连续算子方程Kx=y，如果解x满足： (1). 存在；(2). 唯一；(3). 连续地依赖于数据y。 否则，即上述三个条件有一个不满足，则 称其为不适定的（Ill-posed）。 离散不适定问题 (Discrete Ill-Posed Problem) 若若: : (1). (1). 矩阵矩阵A A的条件数非常大，或者说矩的条件数非常大，或者说矩阵阵A A的最大奇异值和最小奇异值之比的最大奇异值和最小奇异值之比非常大；非常大；(2). (2). 矩阵矩阵A A的奇异值逐渐下降趋于零。的奇异值逐渐下降趋于零。对于线性方程
6、组对于线性方程组AxAx= =b b 或最小二乘问题或最小二乘问题: :Tikhonov正则化 L=In，x0=0时，称为Tikhonov正则 化的标准形式,其解可表示为: 四.模型噪声的判断方法: Picard准 则离散Picard准则：若方程组Ax=b的傅里叶系数 趋于 零的速度在平均意义下快于矩阵A的奇异值趋 于零的速度的话，则称该方程组满足离散 Picard准则(条件)。 最小二乘解:Tikhonov正则化解 :受噪声污染和无噪声污染的Picard 图 污染严重 污染较轻 A 对比度为30时对比度为20时对比度为10时五. 静态正则化技术1.截断奇异值分解正则化方法Truncated
7、Singular Value Decomposition (TSVD)2.截断完全最小二乘正则化方法Truncated Total Least Squares(TTLS) 1.截断奇异值分解正则化方法(TSVD) 对于线性方程组对于线性方程组AxAx= =b b 或最小二乘问题或最小二乘问题最小二乘解:Tikhonov正则化解 :TSVD正则化解:正则化参数的选取方法 离差原理(Discrepancy Principle)方法 广义交叉验证(GCV)方法 L曲线(L-Curve)方法 减小 时 增加 时 由由L L曲线方法确定曲线方法确定kk采用一维搜索的方法采用一维搜索的方法 确定更精确的确
8、定更精确的k kTSVD方法的数值仿真结 果 BACDE对比度为10时对比度为20时对比度为30时原始图像迭代过程的相对误差和相对残差曲线迭代过程的相对误差和相对残差曲线2.截断完全最小二乘正则化方 法满足：最小二乘问题：完全最小二乘问题：满足：截断完全最小二乘的步骤1. 首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解：2确定截断参数kmin(n，rank(A，b)使得： 3. 记q=n-k+1,将矩阵分块4.则完全最小二乘问题的解为： TTLS方法的数值仿真结果 原始图像对比度为10时对比度为20时对比度为30时迭代过程的相对误差和相对残差曲 线六. 迭代正则化技术1.求解最小二乘问题的共轭梯度方
9、法(cgls)2. LSQR方法1.求解最小二乘问题的共轭梯度方 法(cgls)将共轭梯度法应用于法方程 相当于在Krylov子空间：产生的序列xk，使得：cgls方法的解可表示为:的k-1次多项式，其系数的确定是 其中： 依赖于：(1).方程的右侧项b的特征； (2).矩阵A的 奇异值的分布； (3).迭代的次数 迭代次数增加，残差变化不大 ，但解的范数受影响较大正则化参数对迭代的影响cgls方法的数值仿真结果BACDE对比度为10时原始图像对比度为20时对比度为30时迭代过程的相对误差和相对残差曲线图5.15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30时 的 相对残差(RRE)曲线，cgl
10、s迭代次数为10LSQR迭代方法 Lanczos三对角过程 Lanczos应用于将矩阵A双对角化Golub和Kahan(1965) Paige和Saunders(1982) 线性方程组线性方程组AxAx= =b b和和应用于LSQR方法的优点:1. 速度快2. 对不适定性问题数值稳定3. 从迭代过程很容易求得数值分析的数值 BACDE原始图像LSQRLSQR方法的数值仿真结果方法的数值仿真结果对比度为10时对比度为20时对比度为30时七. 总结与展望首先利用Picard理论，分析了超声层析成像 问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的 确定方法、以及正则化方法的适用范围的判 断方法。 采用了两类四种正则化方法对超声层析成像 问题中的不适定性问题进行了研究，通过对 正则化参数选择的修正，完成了较大对比度 物体的成像问题。 结论：静态正则化方法数值稳定，但速度慢 ；迭代正则化方法速度快，但数值稳定性不 如静态方法。今后需要进一步研究的工作1. 前向散射问题的研究（波动方程的精确程度）2. 离散化方法有限元法、边界元法矩量法中基函数的确定3. 正则化问题基于非对成方程的Krylov子空间方法 谢 谢！
