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1、第三章 受迫振动3.8 系统对任意激励的响应 卷积积分3.9 系统对任意激励的响应 傅里叶积分3.10 用拉普拉斯变换法求系统响应 传递函数3.8 系统对任意激励的响应 卷积积分上节讨论了周期激励作用下的振动响应，在不考虑初始阶段的瞬态响应时，它是稳态的周期振动。但在现实中激励并非是周期的，而是任意的周期函数，或者是在极短时间内的冲击作用。在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动 。激励停止后，系统按固有频率作自由振动。 若激励持续，即使存在阻尼，由激励产生的响应也 会持续下去。对任意激励的响应，求解方法有多种：3.8.1 脉冲响应 对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态
2、响应 单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数(t) 表示 函数也称为单位脉冲函数，定义为： 对于时刻的单位脉冲函数，表示为：O - （3.1.1） 函数的性质: 特别地，当时刻 = 0 时，有 ：实际应实际应 用时时，通常 f (t) 在时时才有意义义冲量 为为的脉冲力可借助函数表示为为： 当 I =1 时，为单位脉冲力。 因而有： 现求处于零初始条件下的系统对单位脉冲力的响应单位脉冲响应记： -、为单位脉冲力的前后时刻 运动微分方程与初始条件可合写为： 或脉冲响应 乘dt ：在脉冲力作用的瞬间，位移来 不及变化，但速度可产生突变 令：0 -两边边在区 间间内对时间积对时间积 分： 在单
3、位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬 间，位移则来不及有改变，也习惯表示为：x(0+) = x(0-) 当 t 时，脉冲力作用已经结束，此时物体得到了速度增量 1/m。由于无限小，所以记为： 质量越大， 越小质量越小， 越大若系统受到冲量为I 脉冲作用，结束时物体得到了速度增量 I/m。系统受脉冲I 作用，因脉冲结束后无后续激励，因此响应为 自由振动。其初始条件为：初位移为零，而初速度为 I/m 。对无阻尼系统： 因此解为： 对单位脉冲，其响应为脉冲响应，记为 h(t) ：3.8.2 卷积积分当处于零初始条件的系统受到任意激励时，可 以将激励 F(t) 看作一系列脉冲力的叠加 对
4、于时刻 t =的脉冲力，系统统受脉冲作用后产产生速度增量：并引起 t 各个时刻的响应 系统的脉冲响应 ：其冲量为：由线线性系统统的叠加原理，系统对统对 任意激振力的响应应应应 等于系 统统在时间时间 区间间内各个脉冲响应应的总总和 得：杜哈梅(Duhamel)积分 利用卷积性质： 若初始条件非零，则：若阻尼为零，则非零初值条件下的响应： 对于周期激励的无阻尼系统： 与零初值条件的受迫振动的稳态响应一致。 3.8.3 阶跃函数响应在t1时刻开始受到突加的常值力作用，强度为F0试用杜哈梅积分计算系统在tt1时段内的响应。解：由于在tt1时段，其激励相当于2个常值力激励的叠加，响应也是 两个对应的响
5、应叠加。因此利用上例的结果：即得到解：对于无阻尼系统，即 =0，矩形脉冲激励的响应为：直接解法：（1） 时（2） 时解法三：（仅对于无阻尼情形）当t t1 时激励力已经消失，此时系统 将以时刻t =t1 时的位移和速度为初始 条件做自由振动，称为残余振动先求t =t1 时刻的位移和速度，前面已解得：得t =t1 时刻的位移和速度：即为t t1 时的响应。在t =t1 开始作自由振动：3.9 系统对任意激励的响应 傅里叶积分上节讲到用杜哈梅积分，可以计算任 意非周期激励的响应。 那是在时间域内的变化关系，本节从 另一角度出发，改在频率域内讨论激 励和响应的关系。对于任意非周期函数F(t)，可看成
6、为周期T趋于无限 大的周期函数。频谱图中相邻频率=2/T视为无 限小量，则可以认为频率在区间(-, )上接近于连 续分布。设周期力F(t)的频率为，周期为T=2/。将F(t) 展开为傅里叶级数，以复数形式表示为：其中：回顾，傅里叶展开级数：将傅里叶展开式中的n改用n表示，周期T以2/ 代替：当0时，离散变量n转变为连续改变的频率变 量，上式转化为：（3.9-5）将其中的TFn视为的连续函数，改用()表示：（3.9-7）()称为激励的频谱函数。 积分式（3.9-8）称为函数F(t)的 傅里叶变换。（3.9-8）（3.9-7）积分式（3.9-7）称为函数()的傅里叶逆变换，它将非周期函 数 F(t
7、)表示为频率为、强度为()d的简谐分量的无限和。函数()和F(t)共称为傅里叶变换对。回顾，受迫振动：（b）其中Xn为系统的第n阶复振幅。（a）（b）代入（a）：（3.9-9）令X()=H()(), 求x(t)：F(t)傅里叶变换得()，乘H() ，傅里叶逆变换 。x(t)与X() 组成傅里叶变换对 。X() 为系统统响应应的频频率域表达式。例3.9.1 质量-弹簧系统受矩形脉冲激励，试对激励作傅里叶变换，并作频谱图。讨论脉冲宽度趋于零的单位脉冲的极限情形解：利用（3.9.8）式积分求频谱函数矩形脉冲的频谱图对于脉冲宽度趋于零 的单位脉冲情形即单位脉冲的傅里叶变换等于1，其 频谱在区间（-,
8、）内均匀分布矩形脉冲的频谱函数3.10 用拉普拉斯变换法求系统响应 传递函数计算线性系统对任意非周期激励的响应也可以用拉普拉斯（ Laplace,P.S.）变换。对于任意函数x(t)，定义拉普拉斯(Laplace,P.S.)变换式为其中s= +i为复变量，称为拉普拉斯变换的辅助变量。当 =0时，这是x(t)的傅里叶变换。因此拉普拉斯变换可视为傅里叶变换向复数域的扩展。（3.10-1）可以证实，拉普拉斯变换为线性变换：对x(t)的一阶导数做拉普拉斯变换：（3.10-2）对x(t)的二阶导数做拉普拉斯变换：（3.10-3）利用以上公式对线性系统受迫振动方程做拉普拉斯变换：上式是将自变量t的线性常微
9、分方程变换成自变量为s的代数方程，且包含了外激励和初始扰动在内的全部激励，是拉普拉斯 变换的最大优点。（3.10-4）令：（3.10-5）如激励力F(t)延迟在t=t1时刻发生，将F(t-t1)代入拉普拉斯变换式：作用时间滞后对拉普拉斯变换的影响由指数函数 体现若初始扰动为零，从方程（3.10-5）导出：若s=i,上式就是第二章讲到的位移阻抗（k-m2+ic）。因此Z(s)称为系统的广义阻抗，其倒数称为系统的传递函数或广义导纳。记作：若s=i,上式就是第二章讲到的复频响应函数1/(k-m2+ic)。系统响应x(t)的拉普拉斯变换X(s):。因此，传递函数H(s)可视为激励力的拉普拉斯变换(s)
10、计算 响应的拉普拉斯变换X(s)的代数算子。导出X(s)以后，通过拉普拉斯逆变换，即可得到系统响应。拉普拉斯逆变换是在复数域内的积分，但不必具体做积分运 算，因为各种典型函数的拉普拉斯变换和逆变换均有现成表 格可供查阅。从以上分析过程可以看出，拉普拉斯变换将线性常微分方程 转化为代数方程，通过逆变换得到微分方程的解。下图表示其计算流程。X(s)=H(s) (s)H(s)F(t)(s)x(t)P67表3.10-1有几种常见激励力所对应的拉普拉斯变换对，更多的变换对可查阅数学手册。例3.10.2 无阻尼质量弹簧系统在t1时刻开始受到突加的常值力作用，强度为F0试用拉普拉斯变换计算系统在tt1时段内
11、的响应。解：对激励力进行拉普拉斯变换：其中：1/s为阶跃函数对应的拉普拉斯变换，体现作用时间的滞后。无阻尼动力学方程的拉普拉斯变换（c=0）：查X(s)各项的逆变换：相当于滞后t1时刻查表查表变换是线性的与上节例子的解（考虑初始条件）一样。杜哈梅积分部分对初始条件的响应例3.10.3：无阻尼质量弹簧系统在（0，t1）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用解：矩形脉冲力可利用单位阶跃函数表达为：试用拉普拉斯变换计算系统的响应。无阻尼动力学方程的拉普拉斯变换（c=0）：相当于滞后t1时刻查表查表变换是线性的可以证明，脉冲响应函数h(t)与复频率响应函数H() 也恰 好组成傅里叶变换对 。设系统受单位脉冲激励，令 ：脉冲响应为：脉冲激励的傅里叶变换：3.11 复频频率响应应与脉冲响应应之间间的关 系对应于脉冲响应时，有时间域频率域(3.11-5)所以：变换对变换对(3.11-6)时间域频率域F(t)()h(t)H()x(t)X()傅里叶变换对表示的激励与响应的关系激励脉冲响应响应频谱函数复频响应变换对对单位脉冲，()=1本节作业：3.13； 3.16
