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1、(理解等差数列的概念/掌握等差数列的通项公式与前n项和公式/了解等差数列与一次函数的关系)第五单元 数列5.1 等差数列及其前n项和1等差数列：一般地，如果一个数列从第二项项起，每一项项与它前一项项的差等于 常数，这这个数列就叫做等差数列，这这个常数就叫做等差数列的 (公差常用字母“d”表示) 即anan1d(n2，nN)2等差中项：若a，A，b成 ，那么A叫做a与b的等差中项项A a，A，b成等差数列同一个公差等差数列3等差数列的通项公式ana1(n1)d(或anam(nm)d)思考：等差数列的通项公式类似于直线方程的点斜式，已知an、am(nm)，如何求出等差数列的公差？提示：d4等差数列
2、的前n项和公式Sn ，Snna1提示：等差数列前n项和公式推导和其结果的形式都类似于梯形面积公式，具体采用的是“倒序相加法”1(2009辽宁)an为等差数列，且a72a41，a30，则则公差d( )A2 B C. D2解析：由已知条件：整理得：解得 d 答案：B2(2009湖南)设Sn是等差数列an的前n项项和，已知a23，a611，则则S7等于( )A13 B35 C 49 D63解析：d 2，a1a2d1，S77a1 d49.答案：C3(2009江西)公差不为为零的等差数列an的前n项项和为为Sn，若a4是a3与a7的等比中项项，S832，则则S10等于( )A18 B24 C60 D90
3、答案：C4已知数列的通项项an5n2，则则其前n项项和Sn_.解析：Sna1a2an5(12n)2n (n2n)2n 1. 等差数列可以由首项项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计计算和证证明，都可围绕围绕 a1和d进进行2对于等差数列问题问题 一般要给给出两个条件，可以通过过列方程求出a1，d.如果再给给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题问题 【例1】(2009全国)已知等差数列an中a3a716，a4a60，求an的前n项项和Sn.解答：解法一：由已知条件 即 代入整理得：d24，则则d2；当d2时时，a18，Snna1 dn29n；当d2时时，a18， 解
4、法二：由已知条件解方程x2160得 ，x4或x41. 根据定义证明：当n2时时，anan1d.2根据中项证明：当n2时时，2anan1an1.3若通项公式为anpnq，可证数列an构成等差数列4若数列前n项和SnAn2Bn，可证证数列an构成等差数列【例2】 已知数列an的前n项项之积积与第n项项的和等于1(nN*)(1)求证证 是等差数列，并求an的通项项公式；(2)设设bnan ，求证证：2nb1b2b3bn2n1.证明：(1)由已知条件a1a2an1an(nN*)当n2时时a1a2an11an1因此数列 为为等差数列，公差d1.变式2.设数列an的前n项项和为为Sn，若对对于任意的正整数
5、n都有Sn ，证明：an是等差数列两式相减整理得(n2)an(n1)an1a1(n1)an1nana1，即nana1(n1)an1.得2(n1)an(n1)(an1an1)，即2anan1an1(nN*，n2)，因此数列an为为等差数列.对对于已知递递推关系：形如an ，anaan1an等，求数列的通项项公式可转转化为为等差数列问题问题 解决【例3】由已知在数列an中a11，求满满足下列条件的数列的通项项公式(1)an1 ；(2)an12an2n1.变式3.数列an中，a32，a71，且数列 成等差数列，则则a11等于( )答案：B1对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式，在
6、两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn，已知其中三个量可求出剩余的量，而a1与d是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式2要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用，如anam(nm)d，S2n1(2n1)an等3在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为a，ad，a2d；a d， a，ad；ad，ad，a3d等，可视具体情况而定4可根据通项公式和定义判断一个数列是否成等差数列，可根据递推公式、定义或等差中项证明一个数列成等差数列. 【方法规律】(2009湖北)(本题满分12分)已知数列an是一个公差大于0的等差数列，且满满足a3a655，a2a716.(1)求数列an的通项项公式；(2)若数列an和数列bn满满足等式：an (n为为正整数)，求数列bn的前n项项和Sn.【考卷实录】解答：(1)由已知条件 又a3a6，解得a35，a611，d 2.ana3(n3)d2n1.(2)由已知条件【答题模板】： (2n1)(2n3)2，当n2时时，bn2n1.当n1时时，b12a12，Snb1b2b3bn2 2n26.在考卷实录提供的答案中，第(1)问充分利用了等差数列的性质，并灵活应用了等差数列的通项公式而第(2)问中式得到的bn的通项公式bn2n1应该是在n2的条件下得到的，正确的答案应该是： 类似的错误是应该引起大家注意的 【分析点评】点击此处进入 作业手册
