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1、(理解等差数列的概念/掌握等差数列的通项公式与前n项和公式/了解等差数列与一次函数的关系)第五单元 数列5.1 等差数列及其前n项和1等差数列:一般地,如果一个数列从第二项项起,每一项项与它前一项项的差等于 常数,这这个数列就叫做等差数列,这这个常数就叫做等差数列的 (公差常用字母“d”表示) 即anan1d(n2,nN)2等差中项:若a,A,b成 ,那么A叫做a与b的等差中项项A a,A,b成等差数列同一个公差等差数列3等差数列的通项公式ana1(n1)d(或anam(nm)d)思考:等差数列的通项公式类似于直线方程的点斜式,已知an、am(nm),如何求出等差数列的公差?提示:d4等差数列
2、的前n项和公式Sn ,Snna1提示:等差数列前n项和公式推导和其结果的形式都类似于梯形面积公式,具体采用的是“倒序相加法”1(2009辽宁)an为等差数列,且a72a41,a30,则则公差d( )A2 B C. D2解析:由已知条件:整理得:解得 d 答案:B2(2009湖南)设Sn是等差数列an的前n项项和,已知a23,a611,则则S7等于( )A13 B35 C 49 D63解析:d 2,a1a2d1,S77a1 d49.答案:C3(2009江西)公差不为为零的等差数列an的前n项项和为为Sn,若a4是a3与a7的等比中项项,S832,则则S10等于( )A18 B24 C60 D90
3、答案:C4已知数列的通项项an5n2,则则其前n项项和Sn_.解析:Sna1a2an5(12n)2n (n2n)2n 1. 等差数列可以由首项项a1和公差d确定,所有关于等差数列的计计算和证证明,都可围绕围绕 a1和d进进行2对于等差数列问题问题 一般要给给出两个条件,可以通过过列方程求出a1,d.如果再给给出第三个条件就可以完成an,a1,d,n,Sn的“知三求二”问题问题 【例1】(2009全国)已知等差数列an中a3a716,a4a60,求an的前n项项和Sn.解答:解法一:由已知条件 即 代入整理得:d24,则则d2;当d2时时,a18,Snna1 dn29n;当d2时时,a18, 解
4、法二:由已知条件解方程x2160得 ,x4或x41. 根据定义证明:当n2时时,anan1d.2根据中项证明:当n2时时,2anan1an1.3若通项公式为anpnq,可证数列an构成等差数列4若数列前n项和SnAn2Bn,可证证数列an构成等差数列【例2】 已知数列an的前n项项之积积与第n项项的和等于1(nN*)(1)求证证 是等差数列,并求an的通项项公式;(2)设设bnan ,求证证:2nb1b2b3bn2n1.证明:(1)由已知条件a1a2an1an(nN*)当n2时时a1a2an11an1因此数列 为为等差数列,公差d1.变式2.设数列an的前n项项和为为Sn,若对对于任意的正整数
5、n都有Sn ,证明:an是等差数列两式相减整理得(n2)an(n1)an1a1(n1)an1nana1,即nana1(n1)an1.得2(n1)an(n1)(an1an1),即2anan1an1(nN*,n2),因此数列an为为等差数列.对对于已知递递推关系:形如an ,anaan1an等,求数列的通项项公式可转转化为为等差数列问题问题 解决【例3】由已知在数列an中a11,求满满足下列条件的数列的通项项公式(1)an1 ;(2)an12an2n1.变式3.数列an中,a32,a71,且数列 成等差数列,则则a11等于( )答案:B1对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n项和公式,在
6、两个公式中共五个量a1、d、n、an、Sn,已知其中三个量可求出剩余的量,而a1与d是最基本的,它可以确定等差数列的通项公式和前n项和公式2要注意等差数列通项公式和前n项和公式的灵活应用,如anam(nm)d,S2n1(2n1)an等3在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为a,ad,a2d;a d, a,ad;ad,ad,a3d等,可视具体情况而定4可根据通项公式和定义判断一个数列是否成等差数列,可根据递推公式、定义或等差中项证明一个数列成等差数列. 【方法规律】(2009湖北)(本题满分12分)已知数列an是一个公差大于0的等差数列,且满满足a3a655,a2a716.(1)求数列an的通项项公式;(2)若数列an和数列bn满满足等式:an (n为为正整数),求数列bn的前n项项和Sn.【考卷实录】解答:(1)由已知条件 又a3a6,解得a35,a611,d 2.ana3(n3)d2n1.(2)由已知条件【答题模板】: (2n1)(2n3)2,当n2时时,bn2n1.当n1时时,b12a12,Snb1b2b3bn2 2n26.在考卷实录提供的答案中,第(1)问充分利用了等差数列的性质,并灵活应用了等差数列的通项公式而第(2)问中式得到的bn的通项公式bn2n1应该是在n2的条件下得到的,正确的答案应该是: 类似的错误是应该引起大家注意的 【分析点评】点击此处进入 作业手册