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1、本科生必修课：概率论与数理统计基于MATLAB的概率统计数值实验 三、数理统计主讲教师：董庆宽 研究方向：密码学与信息安全 Email ： 个人主页：http:/ 1内容介绍三、数理统计1. Matlab统计工具箱中常见的统计命令2. 直方图和箱线图实验3. 抽样分布实验4. 参数估计和假设检验实验2Matlab统计工具箱中常见的统计命令1、基本统计量对于随机变量x，计算其基本统计量的命令如下：l均值：mean(x) 标准差：std(x)l中位数：median(x) 方差：var(x)l偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x)2、频数直方图的描绘lA、给出数组data的频数表
2、的命令为： N,X=hist(data,k)l 此命令将区间min(data),max(data)分为k个小区间(缺省为10)，返回数组 data落在每一个小区间的频数N和每一个小区间的中点X。lB、描绘数组data的频数直方图的命令为： hist(data,k)33、参数估计lA、对于正态总体，点估计和区间估计可同时由以下命令获得：lmuhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x,alpha)l此命令在显著性水平alpha下估计x的参数（alpha缺省值为5%），返回值 muhat是均值的点估计值，sigmahat是标准差的点估计值，muci是均值的区 间估计，s
3、igmaci是标准差的区间估计。lB、对其他分布总体，两种处理办法：一是取容量充分大的样本，按中 心极限定理，它近似服从正态分布，仍可用上面估计公式计算；二是使 用特定分布总体的估计命令，常用的命令如：lmuhat,muci=expfit(x,alpha)llambdahat, lambdaci=poissfit(x,alpha)lphat, pci=weibfit(x,alpha)Matlab统计工具箱中常见的统计命令44、正态总体假设检验lA、单总体均值的z检验：l h,sig,ci=ztest(x,m,sigma,alpha,tail)l检验数据x关于总体均值的某一假设是否成立，其中si
4、gma为已知方差， alpha为显著性水平，究竟检验什么假设取决于tail的取值：ltail=0，检验假设“x的均值等于m”ltail=1，检验假设“x的均值大于m”ltail=-1，检验假设“x的均值小于m”ltail的缺省值为0， alpha的缺省值为5%。l返回值h为一个布尔值，h=1表示可拒绝原假设， h=0表示不可拒绝原假 设，sig为假设成立的概率，ci为均值的1- alpha置信区间。Matlab统计工具箱中常见的统计命令5lB、单总体均值的t检验：l h,sig,ci=ttest(x,m,alpha,tail)lC、双总体均值的t检验：l h,sig,ci=ttest2(x,y
5、,alpha,tail)Matlab统计工具箱中常见的统计命令65、非参数检验：总体分布的检验lMatlab统计工具箱提供了两个对总体分布进行检验的命令 ：lA、 h=normplot(x)l此命令显示数据矩阵x的正态概率图，如果数据来自于正态 分布，则图形显示出直线形态，而其他概率分布函数显示 出曲线形态。lB、h=weibplot(x)l此命令显示数据矩阵x的Weibull概率图，如果数据来自于 Weibull分布，则图形显示出直线形态，而其他概率分布函 数显示出曲线形态。Matlab统计工具箱中常见的统计命令7例1 在同一坐标轴上画box图，并对两个班的成绩进行初步 的分析比较。 两个教
6、学班各30名同学，在数学课程上，A班用新教学方法 组织教学，B班用传统方法组织教学，现得期末考试成绩如 下。A：82，92，77，62，70，36，80，100，74，64，63，56，72，78， 68，65，7270，58，92，79,92，65，56，85，73，61，71，42，89B：57，67，64，54，77，65，71，58，59，69，67，84，63，95，81 ，46，49, 60, 64，66，74，55，58，63，65，68，76，72，48，72解 clear x=82,92,77,62,70,36,80,100,74,64,63,56,72,78,68,65,7
7、2,70,58,92,79,92,6 5,56,85,73,61,71,42,89;57,67,64,54,77,65,71,58,59,69,67,84,63,95,81,46, 49,60,64,66,74,55,58,63,65,68,76,72,48,72;boxplot(x)2. 直方图和箱线图实验89从图中直观地看出，两个班成绩的分布是正态（对称 ）的，A班成绩较为分散(方差大)，B班成绩则较集中(方差 小)。A班成绩明显高于B班(均值比较并且A班25低分 段上限接近B班中值线，A班中值线接近B班25高分段下 限)。A班的平均成绩约为70分(中值)，B班约为65分(中值) 。A班有
8、一名同学的成绩过低(离群)，而B班成绩优秀的只 有一人(离群)。需要注意的是，从图中我们不能得出新教学方法一定优 于传统教学方法的结论，因为我们并不知道两个班级原有的 数学基础是怎样的。10例2 用模拟试验的方法直观地验证教材6.3抽样分布定理一的结论。假定变量 ，用随机数生成的方法模拟对 的500次简单随机抽样，每个样本的容量为16。利用这50016个样本数据直观地验证样本均值 的抽样分布为均值等于60、方差等于2516的正态分布，即11解 %1、用随机数生成的方法模拟简单随机抽样x=;%生成一个存放样本数据的空表（维数可变的动态矩阵）for byk=1:500 %循环控制，循环执行下面的指
9、令500次，本例中相当于 500次抽样 xx=normrnd(60,5,16,1);%生成一个来自N(60,25)的容量为16 的样本（ 列向量） x=x,xx; %将样本数据逐列存入数表x，可从matlab的变量浏览器（ workspace）中观察这个数表end %2、计算每个样本的样本均值（1500）xmean=mean(x);%可从变量浏览器中观察这500个数据%3、绘制500个样本均值数据的直方图k=ceil(1.87*(length(x)-1)(2/5);% 确定分组数h=histfit(xmean,k);%绘制附正态参考曲线的数据直方图set(h(1),FaceColor,c,Ed
10、geColor,w)%修饰，设置直方图线条颜色与 填充色%4、用这500个样本均值数据验证样本均值的均值和方差M=mean(xmean) %求（1500）样本的样本均值的均值V=var(xmean)%求（1500）样本的样本均值的方差1213M = 59.9879V = 1.4129M = 60.0117V = 1.3900M = 59.9749V = 1.5158M = 59.9929V = 1.5757M = 59.8809V = 1.685514例3 观察：用binornd模拟5000次投球过程，观察小 球堆积的情况。 clear;clf, n=5;p=0.5;m=5000;x=0:1:
11、nrand(seed,3)R=binornd(n,p,1,m);%模拟服从二项分布的随机数，相当于模拟 投球m 次for I=1:n+1 %开始计数 k= ; k=find(R=(I-1);%find是一个有用的指令，本语句的作用是找出R中等 于(I-1)元素下标，并赋予向量k中 h(I)=length(k)/m;%计算落于编号(I-1)的格子中的小球频率endbar(x,h),axis(-1 6 0 1)%画频率图title(fontsize18fontname华文新魏5000次投球小球堆积的频率图) 15 f=binopdf(x,n,p), bar(x,f), axis(-1 6 0 1)
12、 title(fontsize18fontname华文新魏B(5,0.5)理论分布图) 16三、MATLAB也为常用的三大统计分布提供了相应的pdf 、cdf、inv、stat、rnd类函数，具体分布类型函数名称如 下：分布类型 MATLAB名称 2 2分布 chi2 t分布 t F分布 f 非中心 2 2分布 ncx2 非中心t分布 nct 非中心F分布 ncf3. 抽样分布17例4 2 2分布的密度函数曲线解： %绘制不同自由度的卡方分布概率密度曲线clear,clfX=linspace(0,20,100);Y1=chi2pdf(X,1);%自由度等于1Y2=chi2pdf(X,3);%自
13、由度等于3Y3=chi2pdf(X,6);%自由度等于6plot(X,Y1,-g,X,Y2,-b,X,Y3,-k)title(fontsize18fontname华文新魏不同自由度的chi2分布概 率密度曲线的比较)text(0.6,0.6,fontsize12df:n=1)text(2.6,0.2,fontsize12df:n=3)text(8.6,0.09,fontsize12df:n=6)legend(df:n=1,df:n=3,df:n=6)1819解： %绘制t分布概率密度曲线clear,clfX=linspace(-4,4,100);Y0=normpdf(X,0,1);%标准正态分
14、布Y1=tpdf(X,45);%自由度为45Y2=tpdf(X,4);%自由度为4Y3=tpdf(X,2);%自由度为2YY0=normpdf(0,0,1);plot(X,Y0,.b,X,Y1,-c,X,Y2,-m,X,Y3,- k,0,0,0,YY0,:r)title(fontsize18fontname华文新魏不同自由度的t分 布概率密度曲线)legend(N(0,1),df:n=45,df:n=4,df:n=2)例5 t分布的密度函数曲线。2021解： %绘制F分布概率密度曲线clear,clfX=linspace(0,6,100);Y=fpdf(X,10,5);%自由度为10,5plot(X,Y)text(1.5,0.55,fontsize14df:n1=10,n2=5)例6 F分布的密度函数曲线。2223解：clear,clfX=linspace(0,6,100);Y11=fpdf(X,100,10);%自由度为100,10Y12=fpdf(X,5,10);%自由度为5,10Y21=fpdf(X,10,100);%自由度为10,100Y22=fpdf(X,10,5);%自由度为10,5subplot(2,1,1)plot(X,Y11,X,Y12)legend(df:n1=100,n2=10,df:n1=5,n2=10)title(fontsize18
