坐标变换与电机统一理论

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1、第5章 坐标变换与电机统一理论 -1-第5章 坐标变换与电机统一理论 5.1 坐标变换理论5.2 电机统一理论5.3 直流电动机模型5.4 交流异步电动机模型5.5 交流同步电动机模型第5章 坐标变换与电机统一理论 -2-电机种类很多，普通的就有直流电机、交流异步电机和交流同步电机，还有许许多多的特种电机或控制电机。这些电机虽然结构各异，但在电磁本质上却都是一种具有相对运动的耦合电路，因此其数学模型的建立应具有相似性或统一性。坐标变换理论和电机统一理论就是建立电机通用数学模型的基础。 第5章 坐标变换与电机统一理论 -3-5.1 坐标变换理论 坐标变换是一种线性变换（线性代数），在高等数学里已

2、初步涉及到这些内容，不过那里只限于平面坐标的变换，并且变换也只在同一平面内进行，原坐标系与新坐标系之间无相对运动，问题比较简单，内容容易理解。对电动机做系统分析时，所用的坐标变换， 其内容就十分丰富，不仅可以将坐标系统扩展为n维空间，还可以将原坐标变换到另一个旋转平面上的坐标， 或者由笛卡儿平面坐标变换到复平面坐标。 这些理论与方法都是针对电动机这种复杂机电系统的实情所做出的对策， 在电机学科的发展史上具有划时代的重要意义。 第5章 坐标变换与电机统一理论 -4-5.1.1 线性变换简介线性变换的定义是：对于某一组变量 ，用另一组新的变量 去代替，这些新变量与原变量之间有着线性的关系，表现为一

3、组线性方程，即 （5-1） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -5-矩阵形式向量形式第5章 坐标变换与电机统一理论 -6-在引入这些新的变量之后，新变量就成为待求的未知数，需要求解新的方程。如有必要，可将新的变量求得之后，再变 换成原变量。为了使新变量和原来的变量之间有单值的联系， 要求由线性变换系数所组成的行列式 不等于零， 或者说矩阵C 是非奇异的。 线性变换实质上是以适应某种需要而创建的 一种十分有效的数学方法， 在对电力电子与交流传动系统进行分析与设计 时，具有特殊的应用价值。事实上，第4章在讨论SVPWM逆变 器时已对空间矢量及坐标变换的基本概念有所涉及。 第5章 坐标变换与电机统一理

4、论 -7-5.1.2 坐标空间的确定以三相交流电机为例，用正交三维空间中的坐标系来表征电机各相的瞬时值，如电流 ，电压 ， 磁链 等。为了便于讨论问题，可设交流电机一组对称三相稳态电流的瞬时值为 （5-4） 同步角速度（角频率） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -8-这组对称三相稳态电流的瞬时值可用正交三维空间A、B、 C坐标系中的旋转向量I 在各轴上的投影表示，即旋转向量I 每一瞬间在三维空间A、B、C坐标轴上的投影为 ，用向量形式表示如下： （5-5） 轴线 单位向量第5章 坐标变换与电机统一理论 -9-向量I的长度为 （5-6） 由此可知，旋转向量I 在过原点O的平面P内，以同步角速度

5、旋转，其大小是恒定的，向量端头的运动轨迹是一个圆， 如图 5-1所示。为了易于建立旋转向量运动轨迹的概念，表5-1列出了旋转向量运动时所经过的特定点的值。 第5章 坐标变换与电机统一理论 -10-第5章 坐标变换与电机统一理论 -11-如图5-2所示，A、B、C轴线在P平面上的投影分别为a、b、 c 轴线，它们互差120电角度。由于a 轴与A 轴之间的夹角为 （5-7） 若A、B、C轴线上的坐标直接用a、b、c 轴线上的投影来表示，则需将该投影乘以一个系数“ ”。下面我们就用a、b、c 轴线上的投影值来表示三相电流 。 媒介坐标系统 a-b-c第5章 坐标变换与电机统一理论 -12-5.1.3

6、 坐标变换的一般方法在静止的正交三维空间A、B、C系统中， 所表征的电磁量经坐标变换，可变换到旋转正交三维空间x、y、z系统。该坐标系统中由互相垂直的x轴与y轴所组成的平面，与旋转向量I 所在的P平面重合， 且以同步角速度绕垂直于 x、y 轴的第三轴线z 旋转。y轴超前x轴90电角度。该x、y、z旋转坐标系统与A、B、C静止坐标系统均表示在图5-3中，可见旋转向量I 相对于x、y、z旋转坐标系统是静止的。由于旋转向量I 的线速度可表示为其角速度 与I 的向量积，即 （5-8） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -13-1是旋转向量I 相对于静止的A、B、C系统的角速度，其向量的表示式为 （5-9

7、） z 轴 单位向量第5章 坐标变换与电机统一理论 -14-设t=0时，I与a轴重合，则任何时刻I与a轴的夹角 （也就是x轴与a轴的夹角）。 由于向量I与a、b、c轴线在同一平面P之内，从空间向量的基本关系可知 （5-10） 由式（5-6）可知，向量I方向上的单位向量应为 （5-11） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -15-该单位向量就是x轴的单位向量 ，它与单位向量 的关系为 （5-12） y轴的单位向量可定义为 （5-10） （5-14） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -16-根据线性变换的基本原理，静止的a、b、c系统三个单位向量 与旋转的x、y、z系统三个单位向量 互做变换时，需要

8、三个关系式。 与 之间的关系 式已定，即式（5-12）和式（5-14），可再定义 与 之间的关系式如下： （5-15） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -17-（5-16） （5-17） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -18-将上式代入式（5-10），得 （5-18） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -19-写成矩阵形式 （5-20） （5-21） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -20-式（5-20）与式（5-21）为一般的静止坐标系统A、B、C与旋转坐标系统x、y、z之间的变换关系式。由于 和分别为旋转向量I 在静止坐标系统与旋转坐标系统中各轴线上的投影，且 之瞬时值可通过与旋转坐标系统

9、同一平面P的“媒介坐标系统a、b、c”去表征，旋转坐标系统的转速，若从与a、b、c系统的相对转速去理解，显然不一定是同步转速，可以是任意转速，即式（5-20）与式（5-21）可适用于任意转速的旋转坐标系统。 转速问题 ？第5章 坐标变换与电机统一理论 -21-另外，旋转向量的大小也不一定是恒定的，可为时间t 的函数。设 为一不对称的三相系统的电流量，其中含有正序、负序和零序三个分量，即 大小问题 ？（5-22） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -22-（5-23） （5-19） （5-24） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -23-由于正序系统与负序系统从坐标变换来说是一样的，所以上式可写成

10、（5-25） 同理可得 （5-26） 由此可知，式（5-20）与式（5-21）无论三相系统的量对称与否都适用。 第5章 坐标变换与电机统一理论 -24-5.1.4 坐标变换的性质及约束坐标变换是一种线性变换，如无约束，变换就不是唯一的。在电机的系统分析中，所应用的坐标变换可有两种约束：1) 功率不变约束，即变换前后功率保持不变。2) 合成磁动势不变约束，即变换前后合成磁动势保持不变。下面首先介绍功率不变约束及其坐标变换的性质。 两个约束 同时满足？第5章 坐标变换与电机统一理论 -25-设在某坐标系统中各绕组的电压和电流向量分别为 和 ，在新的坐标系统中电压和电流向量变为 和 。新向量与原向量

11、的坐标变换关系为 （5-27） 电压变换阵 电流变换阵 功率不变（5-30） 第5章 坐标变换与电机统一理论 -26-其中E 为单位矩阵。式（5-30）就是功率不变约束下坐标变换阵和需要满足的关系式。在一般情况下，电压变换阵与电流变换阵可以取为同一矩 阵，即令 ，则式（5-30）成为 （5-32） 由此可知， 在功率不变约束下， 当电压向量和电流向量选取相同的变换阵时， 变换阵的转置与其逆矩阵相等， 这样的坐 标变换属于正交变换。容易证明，式（5-20）与式（5-21）所示的坐标变换就属于正交变换，满足功率不变约束。 第5章 坐标变换与电机统一理论 -27-至于合成磁动势不变约束， 因为绕组电

12、流与磁动势成正比，只要把电流的合成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影，就可以确定新向量与原向量之间的坐标变换关系，式（4-28）和式（4-29）就是一种满足合成磁动势不变约束的坐标变换式。 第5章 坐标变换与电机统一理论 -28-5.1.5 常用的坐标系统进行电机系统分析时， 所应用的坐标变换可分为两大类：1) 坐标轴旋转的坐标系统。其旋转速度可以是电机转子的 转速或同步转速，也可以是任意转速。 这类系统的典型代表是d -q-0坐标系统；2) 坐标轴静止的坐标系统。这类系统除a-b-c相坐标系统外，比较典型的是-0坐标系统。下面分别介绍d-q-0坐标系统和-0坐标系统。第5章 坐标变换与电机

13、统一理论 -29-1. d-q-0坐标系统 电机转子上总认为有两条轴线，如旋转磁极式的同步电机，一条是和磁极轴线方向一致的轴线，称为直轴，以“d”表征； 另一条是与直轴正交，且按顺时针方向滞后直轴90电角度，称 为交轴， 以“q”表征。如上述所选x-y-z坐标系，以 转子转速旋转，将x轴放在d 轴上，y轴放在q轴上，z轴则 垂直通过d-q平面，为0轴， 并且d、q轴绕0轴旋转。这样 的坐标系统称为d-q-0坐标系 ，如图5-4所示。 第5章 坐标变换与电机统一理论 -30-在式（5-20）与式（5-21）x-y-z坐标系与a-b-c坐标系的变换 关系式中，将x、y、z下标分别换以d、q、0，即

14、得d-q-0坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式 第5章 坐标变换与电机统一理论 -31-若用C表示变换矩阵，上标表示新坐标系，下标表示原坐标系，则相应的变换矩阵可表示为 第5章 坐标变换与电机统一理论 -32-2. -0坐标系统-0坐标系统是一种静止的坐标系统， 其轴与a轴重合，轴按顺时针方向滞后轴90电角度，0轴垂直于、轴所组成 的平面，如图5-5所示。 第5章 坐标变换与电机统一理论 -33-在式（5-20）与式（5-21）x-y-z坐标系与a-b-c坐标系的变换 关系式中，将=0 代入，即得-0坐标系与a-b-c坐标系的变换关系式 第5章 坐标变换与电机统一理论 -34-相应的变换矩阵可表示为 第5章 坐标变换与电机统一理论 -35-图5-4所示的d-q平面与图5-5所示的-平面是重合的，只不 过前者旋转，后者静止。将两者画在一起，可得图5-6。根据向量的投影关系，可以得到-0坐标系与d-q-0坐标系的变换关系式 第5章 坐标变换与电机统一理论 -36-相应的变换矩阵可表示为 上述变换均由式（5-20）与式（5-21）演变而来，显然满足 功率不变约束。 另外，为简便计，d-q-0坐标系与-0坐标系的 0轴分量往往不予考虑， 这样，上