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1、目录 上页 下页 返回 结束 习 题 课一、 曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法 线面积分的计算第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、曲线积分的计 算法 1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 )(1) 选择积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终练习题: P244 题 3 (1), (3), (6)目录 上页 下页 返回 结束 解答 提示:计算其中L为圆周提示: 利用极坐标 ,原式 =说明: 若用参数方程计算, 则P244 3 (1)目录 上页 下页 返回 结束 P244 3(3). 计
2、算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示:目录 上页 下页 返回 结束 P244 3(6). 计算其中 由平面 y = z 截球面提示: 因在 上有故原式 = 从 z 轴正向看沿逆时针方向.目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧) ; (4) 利用斯托克斯公式 ;(5) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本 技巧目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算其中 为曲线解: 利用轮换对称性 , 有利用重心公式知( 的重心在原点) 目录 上页 下页 返回 结束 例2.
3、计 算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心 、解法1 令则这说明积分与路径无关, 故a 为半径的上半圆周.目录 上页 下页 返回 结束 解 法 2 它与L所围区域为D,(利用格林公式)思考:(2) 若 L 同例2 , 如何计算下述积分:(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:则添加辅助线段目录 上页 下页 返回 结束 思考题 解答: (1)(2)目录 上页 下页 返回 结束 证:把例3. 设在上半 平面内函数具有 连续偏导数, 且对任意 t 0 都有证明 对D内任意分段光滑的闭曲线L, 都有两边对t求导, 得:则有因此结论成立.(2006考研)目录 上页 下页 返回 结束 计算其中L为上
4、半圆周提示:沿逆时针方向.练习题: P244 题 3(5) ; P245 题 6; 11. 3(5).用格林公式: 目录 上页 下页 返回 结束 P24 5 6 .设在右半平面 x 0 内, 力构成力场,其中k 为常数, 证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.提示:令易证F 沿右半平面内任意有向路径 L 所作的功为目录 上页 下页 返回 结束 P245 11.求力沿有向闭曲线 所作的 其中 为平面 x + y + z = 1 被三个坐标面所截成三提示: 方法1从 z 轴正向看去沿顺时针方向.利用对称性角形的整个边界,功,目录 上页 下页 返回 结束 设三角形区域为 , 方向向上, 则方法
5、2 利用公式 斯托克斯公式目录 上页 下页 返回 结束 例 4 .设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 为平面上 L 所围部分的上侧, D为 在 xOy 面上的投影 .由斯托克斯公式公式 目录 上页 下页 返回 结束 D 的形心目录 上页 下页 返回 结束 二、曲面积分的计 算法 1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 选择积分变量 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面目录 上页 下页 返回 结束 思 考 题1) 二重积分是哪
6、一类积分? 答: 第一类曲面积分的特例.2) 设曲面问下列等式是否成立?不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关 目录 上页 下页 返回 结束 2. 基本技 巧 (1) 利用对称性及重心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化目录 上页 下页 返回 结束 练 习 :P244 题4(3) 其中 为半球面的上侧.且取下侧 , 原式 =P244 题4(2) , P245 题 10 同样可利用高斯公式计算.记半球域为 ,高斯公式有计算提示: 以半球底面为辅助面, 利用目录 上页 下页 返回 结束 例 5 .证明: 设(常向量)
7、则单位外法向向量, 试证设 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n为 的 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 计算曲面积分其中,解:思考: 本题 改为椭球面时, 应如何计算 ?提示: 在椭球面内作辅助小球面内侧, 然后用高斯公式 .目录 上页 下页 返回 结束 例7. 设 是 曲面解: 取足够小的正数 , 作曲面取下侧使其包在 内, 为 xOy 平面上夹于之间的部分, 且取下侧 ,取上侧, 计算则目录 上页 下页 返回 结束 第二项添加辅助面, 再用高斯公式, 注意曲面的方向 !得目录 上页 下页 返回 结束 例8. 计算曲面 积分 中 是球面解: 利用对称性用重心公式目录 上页 下页 返
8、回 结束 作业P244 3 (2) , (4) ; 4 (2)5 ; 9目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 已知平面 区域 L为D 的边界, 试证证: (1) 根据格林公式所以相等, 从而左端相等, 即(1)成立.(2003 考研)因、两式右端积分具有轮换对称性,目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由式由轮换对称性目录 上页 下页 返回 结束 (1) 在任一固定时刻 , 此卫星能监视的地球表面积是2. 地球的一个侦察卫星携带的广角高分辨率摄象 机 能监视其”视线”所及地球表面的每一处的景象并摄像, 若地球半径为R , 卫星距地球表面高度为 H =0.25 R ,卫星绕地球一周的时间为 T , 试求(2) 在解: 如图建立坐标系.的时间内 , 卫星监视的地球表面积是多少 ?多少 ? 设卫星绕 y 轴旋转目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表 面积为(2) 在时间内监视的地球表面积为点击图片任意处 播放开始或暂停注意盲区与重复部分其中S0 为盲区面积目录 上页 下页 返回 结束 (1) 利用球坐标, 任一固定时刻监视的地球表 面积为(2) 在其中盲区面积时间内监视的地球表面积为斯托克斯( Stokes ) 公式
