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1、第一节第一节 目标规划的基本概念与数学模型目标规划的基本概念与数学模型( (一一) ) 目标规划的基本概念目标规划的基本概念1. 1. 决策变量与偏差变量决策变量与偏差变量 . . 目标约束与绝对约束目标约束与绝对约束 . . 目标规划的目标函数目标规划的目标函数( (达成函数达成函数) ) . . 优先因子与权系数优先因子与权系数（二）（二）目标规划的数学模型目标规划的数学模型 建立目标规划模型的步骤建立目标规划模型的步骤 第二节第二节 目标规划的图解法目标规划的图解法上次课讲授内容复习上次课讲授内容复习对于n个决策变量，m个目标约束，目标函数中 有k个优先级的目标规划问题，其数学模型的标准
2、型如下：其中：Pi 为优先等级； , 为权系数目标规划的数学模型目标规划的数学模型建立目标规划模型的步骤建立目标规划模型的步骤1） 根据问题所提出的各目标与条件，确定目标值（期望值），设定决策变量并列出目标约束与绝对约束；2） 根据决策者的需要将某些或全部绝对约束，通过引入偏差变量转换为目标约束；3） 给各级目标赋予相应的优先因子 ，对同一优先级的各目标，按重要程度不同赋予相应的权系数 ；建立目标规划模型的步骤建立目标规划模型的步骤4）根据决策者的要求，各目标按三种情况取值： 恰好达到目标值，取 ；允许超过目标值，取 ；不允许超过目标值，取 然后构造一个由优先因子、权系数与偏差变量组成的、要求
3、最小化的目标函数最小化的目标函数最重要的目标、必须严格实现的目标及无法再 增加的资源约束均应列入P1级，其余按重要程度分别列入后面各级，并在同一级中确定权系数一般 地，如果问题的P1级目标不能完全实现，则我们就认为该问题不可行 返回目标规划图解法的步骤目标规划图解法的步骤第第1 1步：步：根据决策变量（当然不能多于2个）绘画所有（软、 硬）约束条件的直线图形，偏差变量以移动（平移）直线的 方法加以考虑 第第5 5步：步：重复第3、4步过程，直到解区域Ri 减少到一点或满 足 了所有k个级别的目标为止，此时，Rk 即为这个目标规划的最 优解区域，其中的任何一点均为目标规划的满意解 第第2 2步：
4、步：对P1级的各目标，确定解区域R1第第3 3步：步：对下一个优先级别Pi 级各目标，确定它的最优解空间 Ri ，但必须是Ri Ri-1 ( i=2,3,)第第4 4步：步：在这个过程中，如果某解区域Ri 减小到一点，则 可结束这个过程，因为此时没有进一步改进的可能返回第三节第三节 目标规划的单纯形解法目标规划的单纯形解法由目标规划数学模型的标准型可看出，它实质上是最小化的线性规划，所以可用单纯形法求解这时， 我们应该把目标优先等级系数Pi（i = 1, 2, , k）理解为一种特殊的正常数，且注意到各等级系数之间的关 系：P1P2 Pk检验数就是各优先因子P1, P2 , Pk的线性组合，当
5、所有检验数都满足最优性条件（ ）时，从最终表上即可得出目标规划的解 例例7 7 用单纯形法求例5的解解解 引入松驰变量 x3 , 将它们化为标准型：其中“”是一种运算符号，表示向量的数量积运算建立单纯形表，见表3-3，并把检验数用代数和表示，如：表示为：cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0CB XB b x1 x2 x30 x3 60 5 10 1 0 0 0 0 0 0P1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 00 36 4 4 0 0 0 1 -1 0 0P3 48 6 8 0 0 0 0 0 1 -1P1 -1 2 0 0 1 0 0 0 0P2 0 0 0 0 0 0 1
6、 0 0P3 -6 -8 0 0 0 0 0 0 10 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 00 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0 00 36 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0P3 48 020 0 -6 6 0 0 1 -1P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0P3 0-20 0 6 -6 0 0 0 1表表3-33-3 单纯形表 单纯形表cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0CB XB b x1 x2 x30 x3 60 0 20 1 -5 5 0 0 0 00 x1 0 1 -2 0 1 -1 0 0 0
7、00 36 0 12 0 -4 4 1 -1 0 0P3 48 020 0 -6 6 0 0 1 -1P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0P3 0-20 0 6 -6 0 0 0 10 x312 0 0 1 1 -1 0 0 -1 10 x124/5 1 0 0 2/5 -2/5 0 01/10-1/10036/5 0 0 0 -2/5 2/5 1 -1-3/5 3/50 x212/5 0 1 0-3/10 3/10 0 01/20-1/20P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0P3 0 0 0 0 0 0
8、0 1 0表表3-33-3 单纯形表 单纯形表全部检验数非 负，计算结束 。计算步骤说明：计算步骤说明：2 2最优性检验最优性检验 目标规划的最优性检验是分优先级进行 的，从P1级开始依次到Pk 级为止，具体检验Pi 级目标 时，可能有下述三种情况 （1）若检验数矩阵的Pi 行系数均0，则Pi 级目标已达最优，应转入对Pi+1 级目标的寻优，直到 i = k，计算结束。如本题中第二段检验数部分，P1行各系数均0，故P1目标已达最优：1确定初始确定初始“ “基基” ”（同线性规划单纯形法），计算检验数（同线性规划单纯形法），计算检验数矩阵。矩阵。（2）若检验数矩阵的Pi 中有负系数，且负系数所在
9、列的前i-1行优先因子的系数全为0 ( 例如 - -P P2 2 +223 P+223 P3 3 00），即整个检验数的值可判为正（因Pi-1Pi ），故也应转入对Pi+1级目标的寻优，否则会使高优先级别的目标函数值劣化 3 3基变换基变换 入基变量的确定：依步骤2可确定入基变量 出基变量的确定：按最小非负比值规则确定出基变量，同线性规划的单纯形法 主元素的确定：出基变量与入基变量在系数矩阵中对应的交叉点上的元素即为主元素 迭代变换：同线性规划的单纯形法 4从表中找到基本可行解和相应于各优先级的目标从表中找到基本可行解和相应于各优先级的目标函数值函数值 每个单纯形表中常数列b，即为各基变量的相
10、 应取值本题最后一个单纯形表已为最优，它对应的 基本可行解：x1=24/5, x2=12/5, x3=12, =36/5，即为最优解这与图解法得到结果一致 注意：注意：在最优单纯形表中非基变量 的检验数 都是零，故知本题有多个最优解 如以 为入基变 量继续迭代，可得单纯形表3-4，如以 为入基变 量继续迭代，可得单纯形表3-5cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0CB XB b x1 x2 x30 x3 20 010/3 1 0 0 0 0 -5/6 5/60 x1 8 1 4/3 0 0 0 0 0 1/6-1/60 4 0 -4/3 0 0 0 1 -1 -2/3 2/30 8 0
11、10/3 0 -1 1 0 0 1/6-1/6P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0P2 0 0 0 0 0 0 1 0 0P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0表表3-43-4 续单纯形表 续单纯形表3-33-3cj 0 0 0 P1 0 0 P2 P3 0CB XB b x1 x2 x30 12 0 0 1 1 -1 0 0 -1 10 x1 6 1 0 1/10 1/2 -1/2 0 0 0 00 0 0 0 -3/5 -1 1 1 -1 0 00 x2 3 0 1 1/20 -1/4 1/4 0 0 0 0P1 0 0 0 1 0 0 0 0 0P2 0 0 0 0 0 0 1 0
12、 0P3 0 0 0 0 0 0 0 1 0表表3-53-5 续单纯形表 续单纯形表3-33-3例例4-74-7 某公司生产A、B两种药品，这两种药品每小时的产量 均为1000盒，该公司每天采用两班制生产，每周最大工 作时间为80小时，按预测每周市场最大销量分别为70000 盒和45000盒A种药每盒的利润为2.5元，B种为15元 试确定公司每周A、B两种药品生产量x1和x2（单位：千盒），使公司的下列目标得以实现：P P1 1：避免每周80小时生产能力的过少使用 P P2 2：加班的时间限制在10小时以内 P P3 3：A、B两种药品的每周产量尽量分别达到70000盒和 45000盒，但不得
13、超出，其权系数依它们每盒的利润为准 P P4 4：尽量减少加班时间 解解 先建立这个问题的线性规划模型，依题意分别建 立各项目标约束权系数是指它们在目标函数中的重要程度，由 2.51.5 = 53，故：目标函数为：建立单纯形表运算如下：cj 0 0 P1 5P3 3P3 0 P4 P2CB XB b x1 x2 P1 80 1 1 1 0 0 0 -1 05P3 70 1 0 0 1 0 0 0 03P3 45 0 1 0 0 1 0 0 00 10 0 0 0 0 0 1 1 -1P1 -1 -1 0 0 0 0 1 0P2 0 0 0 0 0 0 0 1P3 -5 -3 0 0 0 0 0
14、 0P4 0 0 0 0 0 0 1 0P1 10 0 1 1 -1 0 0 -1 00 x1 70 1 0 0 1 0 0 0 03P3 45 0 1 0 0 1 0 0 00 10 0 0 0 0 0 1 1 -1P1 0 -1 0 1 0 0 1 0P2 0 0 0 0 0 0 0 1P3 0 -3 0 5 0 0 0 0P4 0 0 0 0 0 0 1 0表3-6 单纯形表(1)cj 0 0 P1 5P3 3P3 0 P4 P2CB XB b x1 x2 P1 10 0 1 1 -1 0 0 -1 00 x1 70 1 0 0 1 0 0 0 03P3 45 0 1 0 0 1 0 0 00 10 0 0 0 0 0 1 1 -1P1 0 -
