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1、1新课标下“SSA”课堂教学的实践去年九月份开始，浙江教育出版社出版的义务教育课程标准实验教科书数学 （七年级下）在我市推广使用，我有幸成为使用该教材的初一数学教师。在过去使用老的浙江版教材的时候，全等三角形教学中，常常会碰到两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等的条件。现在的新教材中，这一内容的学习仍被放在相当重要的地位。例如课本中 P23 课内练习 3：如果两个三角形有两边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？又如课本 P31 作业题 5：（1）已知 和线段 a、b。用尺规作ABC，使B=，BC=a，AC=b；（2）已知两边及其中一边的对角，一定能作出满足这样条件的三角形吗？有
2、几种可能？还有在作业本（1）P7 和作业本（2）P6 以及其它教辅材料里也有类似的题目。其实我早就关注这个问题了，因为满足这样条件的两个三角形往往具备一些很重要的性质，许多学生难以理解和掌握，他们不会利用这种几何模型，只知道两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等是不能判定两个三角形全等，甚至错误地认为满足这样条件的两个三角形一定不全等，这个问题一直成为教学上的一个难点。我是如何在课堂教学中突破这个难点的呢？一、问题的引入在进行全等三角形“边角边”公理教学时，我常喜欢问学生这么一个问题：想一想，能否把边角边公理说成“有两边和一角对应相等的两个三角形全等”？（结合图形回答）这是一个非常重要的数
3、学知识，在这里包括了两个命题，其一就是SAS 公理，它是真命题。其二就是“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等” ，这显然是一个假命题。例如在上面的图 1 中，AB=A1B1，B=B1，AC=A1C1，那么可以使ABCA1B1C1，也可以使这两个三角形不全等（如ABC 与A1B1C2） 。二、定义我们把两个三角形满足两边及其中一边的对角对应相等的现象叫做“SSA” 。（图 1）2三、SSA 现象的剖析（教学的片段一）等学生们学完了前面的内容之后，我问学生：“同学们，前面我们每个同学都画了ABC，使 AB=8cm，BC=5cm，B=30，结果每人得到的三角形都全等。现在我们将条件BC=
4、5cm改为AC=5cm ，使两边一夹角变为两边一对角，你再画出ABC” 。话音刚落，大家就动手画了起来，两分钟后陆续有人画好了，我布置了合作交流的任务：“请大家在四人小组里进行实验，用重叠法来判别一下你们所画的三角形是否全等” 。片刻，实验的结果就出来了，我请学生上台陈述实验结果和这个结果能说明的问题，大家争着上台发言。因为在巡视时我发现同学 A 所在的小组四人中，所画的三角形都彼此全等，所以请 A 先上来陈述。A 说：“我们四个人所画的三角形是全等的，这说明有两边和其中一边上的对角对应相等的两个三角形全等” 。我说：“同意 A 的人举手” 。哇！有一半以上的同学举手了。我叫了没举手的 B 来
5、陈述。B 说：“我们四人所画的三角形有两种，其中三人画的是图甲，只有我画的是图乙，我所画的三角形与他们不全等，这说明有两边和其中一边上的对角对应相等的两个三角形不全等” 。从同学们的眼光中我知道第一次举手的学生有一个共同的想法：我怎么没想到画图乙呢？我说：“同意 B 的请举手” 。这时几乎全班同学都举手了。我接着又问：“难道你们就没听出来 B 说话的漏洞？哪个同学能完整的叙述一下？”C 说：“有两边和其中一边上的对角对应相等的两个三角形可能全等可能不全等” 。我说：“同意 C 的请举手” 。这时全班同学都举手了，我肯定了同学 C 所说的话是非常正确的。接下去我引导学生总结出“SSA”的两条性质
6、。四、SSA 的基本性质（教学的片段二）从上面的图 1 我们发现 SSA 有以下两条性质：ABC5830ABC5830（图 2）31.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形可能全等，可能不全等。 （所以不能利用“SSA”判定两个三角形全等）2.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形如果不全等，那么它们的面积相差一个等腰三角形。教师应该启发学生进行讨论，对已作的图形进行观察，由学生自己得出上面两条性质。为了应用第二个性质，可以举例如下。例 1 已知ABC 和A/B/C/中，使 AB= A/B/，BC= B/C/，A=A/, 如果它们的面积之差是 8 平方厘米。AC 和 A/C/相差 2
7、厘米，求ABC 中 AC 上的高。师：本题的难点在于没有图形，同学们想到应首先做什么事情？生：画出图形。师：要比较两个三角形的面积之差，再根据性质 2，你们想到该怎样画图了吗？生：把这两个三角形重叠起来。师：那好，同学们就动手画图吧。等学生画完后教师点拨，由上面性质 2 可知，如果将两个三角形重叠起来，就相差一个等腰三角形BC/C（如图 3） ，它的面积是 8 平方厘米，C/C=2 厘米，所以高BD=822=8 厘米。由此还可以看出，满足 SSA 的两个三角形第三边上的高是相等的。五、SSA 的三种类型（教学的片段三）SSA 在不同的场合有三种基本类型：1、满足 SSA 的两个三角形可能全等可
8、能不全等；2、满足 SSA 的两个三角形一定全等；3、满足 SSA 的两个三角形虽然不全等，但可以通过割去（或补上）一个等腰三角形来构造全等。在课堂教学中我常常通过下面的例子分别来说明这三种类型。例 2 如图 4，AD=BC，CAB=DBA，问ABC 与DBA 是否一定全等？若一定全等请给出证明；若不一定全等请举出反例。解：ABC 与DBA 满足的条件是 AD=BC，CAB=DBA，AB=BA，是属于SSA，但它们不一定全等。548305BACCD 3ABCD4ABCDC154反例如图 5，我用几何画板制作好课件，在直线 AC 上找到一点 C1，使 BC1=BC，那么ABC 和ABC1总有一个
9、与DBA 不全等。此例属于 SSA 的第一类型。以下几个例子要等以后学习了等腰三角形的知识后，我再向学生介绍。例 3 如图 6，在ABC 与ADC 中，AB=AD，ABC=ADC，请问ABC 与ADC 是否一定全等？若一定全等请给出证明；若不一定全等请举出反例。解：在ABC 与ADC 中，满足的条件是AB=AD，ABC=ADC，AC=AC，是属于 SSA，但它们一定全等。证明时只要连结 BD，利用等腰三角形知识可以证得 BC=DC，于是ABCADC。此例属于 SSA 的第二类型。例 4 如图 7，四边形 ABCD 中，AC 平分DAB，ABC+ADC=180，求证：DC=BC。分析：在ABC
10、与ADC 中，满足的条件是BAC=DAC，AC=AC。另外，要求证的是 DC=BC，这样三个结论就构成了 SSA。现在这两个三角形之所以不全等是因为他们相差一个等腰三角形。利用这个性质，可以用三种方法构造全等三角形。方法一：在 AD 延长线上取一点 E，使得 CE=CD。 （补上一个等腰三角形）方法二：在 AB 上取一点 E，使得 CE=CB。 （割去一个等腰三角形）方法三：作 CFAB 于 F，CEAD 于 E。 （既割又补，即补上、割去一个直角三角形）证明略。此例属于 SSA 的第三类型。六、关于 SSA 教学的反思反思 1 SSA 的教学是个长期的任务我认为 SSA 的教学要渗透在平时教
11、学中，不能急于求成。全等三角形、等腰三角形、四6ABCD7ABC D8ABC DE9ABC DE 10ABC DEF5ABCDB边形、圆等各个几何内容的学习中都要细细渗透，例如：例 5 如图 11，E 是梯形 ABCD 的腰 BC 中点，AE 平分BAD，求证：DE 平分ADC；AEDE。 错误证法：在 AD 上取 AF=AB，连 EF，由已知得ABEAFE，FE=EB=EC，AFE=B，B+C=180,AFE+DFE=180,AFE=C，DE=DE，DFEDCE，3=4。分析：以上证明中的第二次全等，缺乏判定依据，属于 SSA。如果延长 AE 与 DC 交于 G，即可利用等腰三角形“三线合一
12、”定理来证。反思 2 SSA 的困惑之一有时我们数学教师自己也会碰到难以解决的问题。那是去年我教初三的时候，一天数学课的内容的“平行四边形复习” 。我讲解同步练习中的一道习题。这道题是这样的：例 6 如图 13，在四边形 ABCD 中，AB=CD，B=D，问四边形 ABCD 一定是平行四边形吗？我想了好大一会儿，回答学生说：“一定！”学生感到不解。我自信地说：“我证明给你们看，不过要用到你们还没学过的一条定理。 ” 证明：如图，将ABC 沿 AC 翻折得ABC，B=D，B=D，A、C、D、B四点共圆，AB=CD，AB=CD，DAC=BCA，即DAC=ACB，ABCCDA，四边形 ABCD 是平
13、行四边形。下课之后，我静下心来思索，真的没有反例了吗？于是我就用几何画板做了一个课件。（图 13）（图 14- 1）EDCBA（图 14- 2）EDCBA（图 14- 3）EDCBA（图 14- 4）EDCBA6如图，在几何画板中先任意画一个ABC，然后以 C 为圆心、AB 长为半径画圆，在圆 C上任取一点 D，再作射线 DE，使EDC=ABC。我们可以让点 D 在圆 C 上移动而题设的条件不变，从而就会产生各种位置关系（如图 14-1 至 14-4） ，其中使射线经过点 A 的位置就有两种。这说明满足条件的四边形有两个，反例找到了。所以这是一个假命题，上面的证明是错误的。当我把几何画板课件演
14、示给全班同学看的时候，他们满意地笑了。反思 3 SSA 的困惑之二在数学问题中常常有这样的情况，证明某两个三角形全等时发现是 SSA，这时不能茫然下结论，它的可能性有三种（请参见：五、SSA 的三种类型） 。而学生常常错误地用 SSA 来证明两个三角形全等，或者一旦遇到“SSA”的问题就马上断定不能判定两个三角形全等。例如下面这道题，是我在过去学习圆的基本性质后给学生做的一道练习，学生只会瞎猜，怎样引导学生走出“SSA”的困惑？这个问题真的很难。例 7 如图 15，D 在O 的半径 OA 上，B、C 在O 上，ADB=ADC，那么OBD 和OCD（ ）A、一定全等 B、一定不全等 C、不一定全等 D、以上都不对错误的想法 1：由ADB=ADC，得ODB=ODC，OB=OC，OD=OD，OBDOCD。选 A。错误的想法 2：由ADB=ADC，得ODB=ODC，OB=OC，OD=OD，这是 SSA，所以选 C。分析：选 A 是正确的，但全等三角形不应该这样证明。证明：如图 16，反向延长 BD 和 CD 分别交O 于 F、E，作弦心距 OM、ON，由ADB=ADC，得ODM=ODN，OMDOND，OM=ON，DM=DN，CE=BF，BFCE21 21，即 CM=BN，CM-DM=BN-DN，即 BD=DC，然后证明OBDOCD（SSS） ，DOB=DOC，AB=AC。
