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1、高二数学 选修1-11.1.2-1.1.3 四种命题与 四种命题间的相互关系学习目标：1：掌握四种命题的相互关系2：掌握四种命题的真假性定理，互 为逆否命题的等价性定理重点：四种命题的相互关系，四种命 题的真假性定理难点：四种命 题的真假性定理的应用复习引入二、从构成来看，所有的命题都具由条件p和结论q两部分构成l“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式, 也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。l其中p和q可以是命题也可以不是命题.一、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达 的，可以判断真假的陈述句叫做命题 定义的要点：能判断 真假的陈述句 判断为真的语
2、句叫做真命题。 判断为假的语句叫做假命题。 下列四个命题中，命题(1)与命题 (2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么 关系？1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 2. 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数 ； 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数 。观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系？1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数 ； 2. 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数 ；互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。
3、 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。pq qp即 原命题:若p,则q逆命题:若q,则p例如，命题“同位角相等，两直线平行”的 逆命题是“ ”。两直线平行，同位角相等观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系？ 1.若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.pqp原命题:若p,则qq为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “p” “q”，读作“非”“非q”。否命题:若p,则q互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件 和结论的否定，那么这两个命题叫做互否
4、命题。如果把其中一 个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题 是“ ”。同位角不相等，两直线不平行观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？ 1. 若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.pqq原命题: 若p, 则qp逆否命题: 若q, 则p互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是 第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个 命题叫做互为逆否命题。例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“ ”。 两直线不平行，同位角不相等原命题,逆命题,否命题,逆否
5、命题四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p1：要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设 和结论（即把原命题写成“若P则q”的形式）2：（1）“或”的否定为“且”，（2）“且”的否定为“或 ”， （3）“都”的否定为“不都”。注意：三种命题中最难写 的是否命题。2）原命题：若a=0, 则ab=0。 逆命题：若ab=0, 则a=0。 否命题：若a 0, 则ab0。 逆否命题：若ab0,则a0。(真) (假) (假) (真)(真)例1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判 断它们的真假：1）原命题：若x=
6、2或x=3, 则x2-5x+6=0。 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 否命题：若x2且x3, 则x2-5x+60 。 逆否命题：若x2-5x+60，则x2且x3。(真) (真) (真)3) 原命题：若a b, 则 ac2bc2。 逆命题：若ac2bc2,则ab。否命题：若ab,则ac2bc2。逆否命题：若ac2bc2,则ab。（假） （真） （真）（假）例2 若m0或n0，则m+n0。写出其逆命题 、否命题、逆否命题，并分别指出其假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。解：逆命题：若m+n0，则m0或n0。否命题：若m0且n0, 则
7、m+n0.逆否命题：若m+n0, 则m0且n0.（真）（真）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的 真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命 题真假等价。原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种 情况:四种命题的真假性关系如下： 1.两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 2.两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没 有关系。四种命题之间的关系原命题 若p则q逆命题 若q则p否命题 若 p则 q逆否命题 若 q则p互为逆否 同真同假互为逆否 同真同假互逆命题 真假无关互逆命题 真假无关互否命题真假无关
8、互否命题真假无关1.判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真； （对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。（对）2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错） 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）练一练3:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题。 (1)原命题： 若 则 答:逆命题： 若 则 否命题： 若 则逆否命题： 若 则 (2)原命题：若一个数是负数，则它的平方是0；逆命题：若一个数的平方是0，则它是负数；否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是0； 逆否命题：若一个
9、数的平方不是0，则它不是负数. 试判断上面命题的真假.真命题 假命题 假命题 真命题假 假 假 假4、把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们 的逆命题、否命题与逆否命题.并判断真假。解：原命题：若一个函数是奇函数 , 则它的图象 关于原点中心对称;逆命题：若一个函数的图象关于原点中心对称, 则它是奇函数;否命题：若一个函数不是奇函数 , 则它的图象不 关于原点中心对称;逆否命题:若一个函数的图象不关于原点中心对 称 , 则它不是奇函数.课本P4练习(3)奇函数的图象关于原点中心对称.试判断上面命题的真假.真命题真命题真命题真命题l否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。l命题的否
10、定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论 不否定条件。l对于原命题: 若 p , 则 q 有否命题: 若p , 则q 。命题的否定: 若 p ，则q 。例.命题：ABC中，若C90，则A、B都是锐角.命 题的否命题是（ ），命题的否定是（ ） (A)ABC中，若C90，则A、B都不是锐角 (B)ABC中，若C90，则A、B不都是锐角 (C)ABC中，若C90，则A、B都不一定是锐角 (D) ABC中，若C90，则A、B不都是锐角否命题与命题的否定原词语 否定词 原词语 否定词 等于任意的 是 至少有一个 都是 至多有一个 大于 至少有n个 小于 至多有n个 对所有x, 成立对任何x， 不成立
11、所有的不是不都是 不大于 大于或等于一个也没有 至少有两个 至多有（n-1)个至少有（n+1)个 存在某x， 不成立存在某x，成立不等于某个某些下面是一些常见词语的否定证明命题的方法l方法一：直接法，从命题的条件p出发，经 推理直接得出结论p，证明其为真命题；l方法二：等价法，证明命题（若p，则q） 的等价命题逆否命题（若q，则q） 为真，则原命题也为真；l方法三：反证法，证明命题的否定（若p ，则q）为假命题，从而间接地证明了命 题（若p，则q）为真命题。例1： 证明：若pq2，则p2q22. 证明一：要证“若pq2，则p2q22”只需证它的逆否命题“若p2q22，则pq2”成立 。p2q2
12、=2，则2=p2q22pq pq1（p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4p+q 2 逆否命题为真命题，故原命题也为真命题。证明二：假设p2q2=2，则2=p2q22pq pq1（p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4p+q 2，这与命题的条件pq2相矛盾，假设不成立，即p2q22，故原命题为真命题。（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）关于反证法证明二（反证法）：假设p2q2=2，则2=p2q22pq pq1（p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4p+q 2，这与命题的条件pq2相矛盾，假设不成立，即p2q22，故原命题为真命题。例1： 证明：若pq2，则p2q2
13、2.假设原命题结 论的反面成立看能否推出原命题 条件的反面成立尝试成功得证反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，经过推理 论证，得出矛盾； (3) 由矛盾判定假设不正确， 从而肯定命题的结论正确。 反设归谬结论推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).1、反证法证题时关键在第二步，如何导出矛盾。2、导出矛盾有四种可能： （1）与原命题的条件（题设）矛盾； （2）与定义、公理、定理等矛盾； （3）与结论的反面（反设）成立矛盾。（1）难于直接使用已知条件导出结论的命题；（2）唯一性命题；（3）“至多”或“至少”性命题；（4）否
14、定性或肯定性命题。3、反证法的使用范围：几点注意：（4）在证明过程中，推出自相矛盾的结论。P8 习题1.1 B组 例2：求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。n已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不 是直径.n求证：弦AB、CD不被P平分.n证明：假设AB、CD被P平分，则OP是等腰AOB, COD的底边上的中线，所以，OPAB, OPCD但AB和CD都经过点P,且与OP垂直，这是不可能的，所以假设不成立，故弦AB、CD不被P平分，命题得证。连结OA,OB,OC,OD及OP,课堂小结课堂小结1.本节重点研究了四种命题的概念与相互关系。即如果 原命题为：若p则q，则它的逆命题为：若q则p，即交 换原命题的条件和结论即得其逆命题；否命题为：若p 则q即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题； 逆否命题为：若q则p，即交换原命题的条件和结论， 并且同时否定，即得其逆否题； 2.两个互为逆否的命题同真或同假 3.反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯 定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法 。作业作业1 1、P8P8：习题：习题1.1 A1.1 A组组2 2、3 3、4 42 2、导与练导与练
