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1、地统计学的工具第四章 变异函数及结构分析一、协方差函数的计算公式第一节 协方差函数和变异函数的性质设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳假设，h为两样 本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分别是Z(x)在空间 位置xi和xi+h上的观测值(i=1,2,N(h),则计算协方差 的公式为：协方差函数曲线图：以h为横坐标，C#(h)为纵坐 标作图二、协方差函数的性质区域化变量Z(x)在二阶平稳假设下，其协方差函数 存在且平稳，定义为1.C(0) = VarZ(x) 0，即先验方差不能小于零2.C(h) =C(-h) ，即C(h)对h=0的直线对对称，是一个 偶函数证：令x-h=y，则x=y+
2、h，带入上式得图形特征及含义3.|C(h)| C(0) ，即协方差函数绝对值 小于等于先 验方差证：4.|h|时,C(h) 0，或写作C() =0，即当空间 距离很大时，协方差函数值很小意义(空间局限性)：当距离很大时，Z(x)和 Z(x+h)之间的线性相关基本不存在5.C(h)必须是一个非负定函数，由C(xi-xj）构成的 协方差函数矩阵必须是非负定矩阵正定条件(positive definite condition)区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协 方差为C(h),变异函数为(h)，令Y是该类型区域 化变量的任意有限线性组合，即：较 难 理 解则由C(xi-xj） (i,j=
3、1,2n)构 成的协方差函 数矩阵是非负负 定矩阵阵，即 C(h)为为非负负定 函数二阶平稳区域 化变量的协方 差函数是有条 件的三、实验(经验)变异函数(experimental variogram)的计算公式设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳条件或(准)本征 假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分 别是Z(x)在空间位置xi和xi+h上的观测值 (i=1,2,N(h),则计算实验变异函数的公式为：变异函数曲线图：以h为横坐标， #(h)为纵坐标 作图变异函数计算实例（1）一维变异函数的计算x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x104 3 4 5
4、7 9 7 8 7 7以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足 二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔 距离h=1米，计算 #(h)两方面理解：变异性的理解与相关性的理解作业：x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 2 4 3 1 5 3 6 4以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足 二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔 距离h=1米，计算 #(1), #(2), #(3)（2）二维变异函数的计算 下图为正方形网格状的采样数据，*号处为无数据点 ，点间距离h为100米，请分别计算南北、东西、西北 和东南方向上的变异函数值。西北和东南方向上的变异函数值的计算，注意
5、分隔 距离h的确定和样本数据对的查找作业： 下图为正方形网格状的采样数据，网格交叉空白处为 无数据点，点间距离h为a米，请分别计算南北方向 #(a), 西北东南方向上 #( a)。四、变异函数的性质区域化变量Z(x)满足二阶平稳或本征假设条件，则 变异函数存在且平稳，计算公式为1. (0) = 0，即在h=0时，变异函数为零2. (h) = (-h) ，即(h)对h=0的直线对称，是一个 偶函数3. (h) 0,即研究现象的变异性只能大于或等于零4.|h|时, (h) C(0)，或写作() =C(0)，即当 空间距离很大时，变异函数值接近先验方差5.- (h)必须是一个条件非负定函数，即由-
6、(xi- xj)构成的变异函数矩阵必须是条件非负定矩阵 。区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协 方差为C(h),变异函数为(h)，令Y是该类型区域 化变量的任意有限线性组合，即：区域化变量Z(x)的 变异函数(h)是有条件的，即 需满足条件非负定条件五、协方差函数与变异函数的关系协方差函数和变异函数的曲线图 问题：为什么只 画出了h0的关 系图？当h足够大(即存在a0 ，当ha)时，可以使 C(h) =0,(h)=C(0),a称 为变变程(range)1、变程a表示区域化变量从存在空间相关状态(当|h| a时)的转折点2、变程a的大小反映区域化变量影响范围的大小，或 说反映该变量自相
7、关范围的大小。也可说变程a是区域 化变量空间变异尺度或空间自相关尺度变程a的意义 ：第二节 变异函数的功能一、变异函数通过“变程”反映变量的影响范围 变异函数的跃迁现象变异函数(h)是一个单调递 增函数，当h超过某一数 值(变变程a)后， (h)不再继续单调 地增大，而往往稳定 在一个极限值值() 附近，这种现象称为“跃跃迁现现象 ”(transition phenomena)()极限值称为基台值值(sill),即C(0)【二阶平稳条件】 ，基台值的大小反映变变量变变化幅度的大小凡具有一个变程a和一个基台值的变异函数，称为“跃 迁型”的变异函数“变程”反映变量的影响范围(图示）二、不同方向上的
8、变异函数图可反映区域化变量的各 向异性 变异函数表示的各向异性如果在各个方向上区域化变量的变异性相同或相近， 则称区域化变量是各向同性的，反之称为各向异性通过作出各个方向 上的变异函数图， 并放到一起来比较 、分析、研究，就 可以确定区域化变 量的各向异性（包 括有无各向异性， 及各向异性的类型 等）三、块金常数C0的大小可反映区域化变量的随机性大 小 变异函数的块金效应当h=0时，变异函数(h)0，而等于一个常数C0 ，这 种现象称为“块金效应”(nugget effect), C0称为块块金常 数或块金方差(nugget variance)块金效应的图形表示“块金效应” 主要有两种来源：1
9、、区域化变量在小于抽样尺度h时所具有的变异性2、采样分析误差当样点间的距离大于微域结构的范围，或样点的大小 大于微域结构的范围就会出现块金效应（Webester， 1985）四、变异函数在原点处的性状可反映区域化变量的空 间连续性变异函数在原点处的性状主要有五种类型，每种类 型反映了变量的不同程度的空间连续性1、抛物线型（parabolic type）当|h|0时, (h)A|h|2(A为 常数)，即变异函数曲线在原 点处趋向一条抛物线线，反映 区域化变量是具有高度连续连续 性的，如矿层厚度2、线性型（linear type）当|h|0时, (h)A|h|(A为 常数)，即变异函数曲线在原 点
10、处趋向一条直线线，或说在 原点处有斜向的切线存在， 反映区域化变量是具有平均 的连续性，如金属品位3、间断型（discontinuous type）当|h|0时, (h)C0，即变异 函数曲线在原点处间间断，说明 块金效应存在，又称“块块金效应应 型”，反映区域化变量的连续性 很差，但当h增大时，(h) 又变 的较为连续 了，如金品位4、随机型（random type）这种变异函数可看成具有基台值C0和无穷小变程a的 跃迁型变异函数，则无论h多小，h总大于a，故Z(x)与 Z(x+h)总是互不相关又称纯块金效应型，反映了区域化变量完全不存在空 间相关的情况，则本质上此区域化变量为普通随机变 量
11、此时，C0=C(0)5、过渡型：介于抛物线型和随机型间当|h|0时, (h)C0，即有块金效应；当|h|=a时, (a)=C(0)，即有基台值值(C0+C)和变程a,C称 为“拱高”过渡型是实际研究 工作中最常遇到的 一种类型第三节 变异函数的理论模型思考：是否有了采样数据及变异函数计算公式就可以 获知任意距离h的区域化变量变异性？设Z(x)具有各向同性的变异函数 (h)，则常见的变异 函数模型如下：变异函数的 理论模型有基台值模型无基台值模型可以有或无基台值模型：孔穴效应模型球状模型、指数模型 高斯模型 线性有基台模型 纯块金效应模型 幂函数模型对数模型线性无基台模型一、有基台值模型1、球状
12、模型（spherical model）若模型满足二阶平稳假设，且有有限先验方差， (h) 值随h的变大而增大，当h达一定值(ha)时，(h)达到 一定值基台值，则称此类模型为有基台值值模型式中：C0为块金常数，(C0+C)为基台值，C为拱高，a为 变程当C0=0，C=1，称为标准球状模型，其图形为：原点处切线的斜率 为3/2a,与基台值线 交点的横坐标为 2a/3球状模型是地统计学应用最广的理论模型，许多区域 化变量的理论模型都可以用球状模型来拟合2、指数模型（exponential model）式中：C0，C意义同前，但a不是变程当C0=0，C=1， 称为标准指数模 型，其图形为：由于1-e
13、-3=1-0.05=0.951，则变程为3a3、高斯模型（gaussian model）式中：C0，C意义同前，但a不是变程由于1-e-3=1-0.05=0.951，则变程为3 a当C0=0，C=1， 称为标准高斯函 数模型，其图形 为：模型通过原点切线与基台 值线交点的横坐标变程原点处的性 状 球状2a/3a直线指数a3a直线高斯无交点3 a抛物线三种模型的比较4、线性有基台值模型（linear with sill model）式中：C0，C意义同前，A为常数，表示直线的斜率， 变程为a5、纯块金效应模型（pure nugget effect model）此时，C0=C(0)此种模型意味着区
14、域化变量为随机分布，样点间的协 方差函数对于所有距离h均等于0，即变量不存在空间 相关性二、无基台值模型1、幂函数模型（power model）若与模型相应的区域化变量不满足二阶平稳假设，仅 满足本征假设，(h)值随h的变大而增大，但不能达到 一定值，即无基台值值，则称此类模型为无基台值值模型当改变参数时 ，可以表示原点 处的各种性状2、线性无基台值模型（linear without sill model）3、对数模型（power model）三、孔穴效应模型(hole effect model)当变异函数(h)在大于一定距离后，并非单调递 增， 而具有一定周期波动，此种模型称为孔穴效应模型有
15、基台值无基台值第四节 变异函数的结构分析一、结构分析、套合结构概念采样数据计算#(h)试验变异函数曲线对区域化变量 进行分析合适的理论模型实际中实际中区域化变量的变化性很复杂：(1)可能在不同方 向上有不同的变异性；(2)在同一方向上包含不同尺度 上的多层次的变异性这么复杂！？矿床或矿体的变异性往往由多种原因引起采样、样品制备及分析等过程 所产生的误差原因矿物成分的变化，如金矿等品 位变化剧烈的矿床上尤为明显矿层与夹层的交替变化矿床分布引起的变异01n cm米至百米公里尺度不同原因引起的变异特性 ，其变异尺度的大小不同显然，大尺度的变异总是包含着小尺度的变异，小尺 度的变异在大尺度变异曲线上只能作为“块金效应” 出现土壤的空间变异性与土壤母质、气候、水文、地形和 生物等因素相关Z(x)Z(x+h）hh0h1mh100m取样和测定误差+ +其它因素，如水分+ +地形影响合适的理论模型！？结构分析结构分析:就是构造一个变异函数模型对于全部有效结 构信息作定量化的概括，以表征区域化变量的主要特 征。结构分析的主要方法:套合结构套合结构(nested structure):就是把分别出现在不同距 离h上和(或）不同方向上同时起作用的变异性组合 起来套合结构表达式:套和结构可以表示为多个变异函数之 和，每一个变异函数代表一种
