信道编码和差错控制

信道编码和差错控制概述Ø信道编码：n目的：提高信号传输的可靠性n方法：增加多余比特，以发现或纠正错误 Ø差错控制：包括信道编码在内的一切纠正错误手段Ø产生错码的原因：n乘性干扰引起的码间串扰n加性干扰引起的信噪比降低 Ø信道分类：按照加性干扰造成错码的统计特性不同划分n随机信道：错码随机出现，例如由白噪声引起的错码 n突发信道：错码相对集中出现，例如由脉冲干扰引起的 错码 n混合信道1Ø差错控制技术的种类：n检错重发：p能发现错码，但是不能确定错码的位置p通信系统需要有双向信道 n前向纠错(FEC)：利用加入的差错控制码元，不但能够 发现错码，还能纠正错码n 反馈校验：p将收到的码元转发回发送端，将它和原发送码元比 较p缺点：需要双向信道，传输效率也较低n检错删除：p在接收端发现错码后，立即将其删除p适用在发送码元中有大量多余度，删除部分接收码 元不影响应用之处 2Ø自动要求重发(ARQ)系统n停止等待ARQ系统 n拉后ARQ系统 停止等待ARQ系统接收数据ACKACKNAKACKACKNAKACK1233455 t发送数据12334556 t有错码组有错码组拉后ARQ系统214365798接收数据有错码组有错码组910 1110 11 12576ACK1NAK5NAK9ACK55769521436798发送数据10 1110 11 12重发码组重发码组3n选择重发ARQ系统 nARQ和FEC比较：p优点n监督码元较少，即码率较高 n检错的计算复杂度较低n能适应不同特性的信道 p缺点n需要双向信道。

n不适用于一点到多点的通信系统或广播系统n传输效率降低，可能因反复重发而造成事实上的 通信中断 选择重发ARQ系统9接收数据有错码组有错码组214365759810 11131412发送数据9958521436710 1113 1412重发码组重发码组NAK9ACK1NAK5ACK5ACK9410.2 纠错编码的基本原理Ø分组码举例n设：有一种由3个二进制码元构成的编码，它共有23 = 8种 不同的可能码组： 000 – 晴 001 – 云 010 – 阴 011 – 雨 100 – 雪 101 – 霜 110 – 雾 111 – 雹这时，若一个码组中发生错码，则将收到错误信息 n若在此8种码组中仅允许使用4种来传送天气，例如：令 000 – 晴 011 – 云 101 – 阴 110 – 雨为许用码组，其他4种不允许使用，称为禁用码组 这时，接收端有可能发现（检测到）码组中的一个 错码p这种编码只能检测错码，不能纠正错码 n若规定只许用两个码组：例如 000 – 晴 111 – 雨 就能检测两个以下错码，或纠正一个错码 5Ø分组码概念n分组码 ＝ 信息位 ＋ 监督位n分组码符号：(n, k) 其中，n － 码组总长度，k － 信息码元数目。

r = n – k － 监督码元数目 右表中的码组为(3, 2)码 n分组码的一般结构：n分组码的参数：p码重：码组内“1”的个数p码距：两码组中对应位取值不同的位数，又称汉明距 离 p最小码距(d0) ：各码组间的最小距离信息 位监督 位晴000云011阴101雨110k个信息位r个监督位an-1an-2.arar-1an-2.a0t码长 n = k + r 分组码的结构6Ø编码序列的参数nn － 编码序列中总码元数量nk － 编码序列中信息码元数量nr － 编码序列中差错控制码元数量（差错控制码元，以后称为监督码元或监督位 ）nk/n － 码率n(n - k) / k = r / k － 冗余度7n码距的几何意义：以n = 3的编码为例 n一般而言，码距是 n 维空间中单位正多面体顶点之间的 汉明距离0,0,0)(0,0,1)(1,0,1)(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,1,1)(1,1,1)a2a0a18n一种编码的纠检错能力：决定于最小码距d0的值 p为了能检测e个错码，要求最小码距p为了能纠正 t 个错码，要求最小码距 0123 BA汉明距离 ed0码距等于3的两个码组BtA汉明距离012345td0码距等于5的两个码组9p为了能纠正t个错码，同时检测e个错码，要求最小码 距纠检结合工作方式：n当错码数量少时，系统按前向纠错方式工作，以 节省重发时间，提高传输效率；n当错码数量多时，系统按反馈重发的纠错方式工 作，以降低系统的总误码率。

AB1tt汉明距离e码距等于(e+t+1)的两个码组1010.3 纠错编码系统的性能 10.3.1 误码率性能和带宽的关系采用编码降低误码率 所付出的代价是带宽的增大10-610-510-410-310-210-1编码后Eb/n0 (dB) 编码和误码率关系PeCDEAB2PSK1110.3.2 功率和带宽的关系采用编码以节省功率，并保持误码率不变，付出的代价也是 带宽增大 10-610-510-410-310-210-1编码后Eb/n0 (dB) 编码和误码率关系PeCDEAB2PSK1210.3.3 传输速率和带宽的关系 对于给定的传输系统，其传输速率和Eb/n0的关系：式中，RB － 码元速率 提高传输速率，采用编 码以保持误码率不变；付出 的代价仍是带宽增大10-610-510-410-310-210-1编码后Eb/n0 (dB) 编码和误码率关系PeCDEAB2PSK1310.3.4 编码增益 定义：在保持误码率恒定条件下，采用纠错编码所节省的信噪比Eb/n0称为编码增益：式中，(Eb/n0)u － 未编码时的信噪比(dB)；(Eb/n0)c － 编码后所需的信噪比(dB)。

1410.4 奇偶监督码10.4.1 一维奇偶监督码Ø奇偶监督码 － 分为奇数监督码和偶数监督码两类Ø在奇偶监督码中，监督位只有1位，故码率等于k/(k+1)Ø偶数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为偶数：式中，a0为监督位，其他位为信息位Ø奇数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为奇数：15Ø检错能力 － 能够检测奇数个错码 n设：码组长度为n，码组中各个错码的发生是独立的和等概率的，则在一个码组中出现 j 个错码的概率为式中，— 为在n个码元中有j个错码的组合数n奇偶监督码不能检测码组中出现的偶数个错码，所以在一个码组中有错码而不能检测的概率等于:－ 当n为偶数时－ 当n为奇数时 16n[例] 右表中的编码是偶数监督码 设信道的误码率为10-4，错码的出 现是独立的试计算其不能检测 的误码率 将给定条件代入式计算得出由计算结果可见，纠错编码可以将误码率从10-4降低到10-8量级，显著提高了通信的可靠性，效果非常明显信息位监督位晴000云011阴101雨1101710.4.2 二维奇偶监督码n码率等于n有可能检测偶数个错码n适合检测突发错码 n能够纠正部分错码 1810.5 线性分组码Ø基本概念n代数码 － 利用代数关系式产生监督位的编码n线性分组码 － 代数码的一种，其监督位和信息位的关系由线性代数方程决定n汉明码 － 一种能够纠正一个错码的线性分组码n校正子： 在偶数监督码中，计算实际上就是计算并检验S是否等于0。

S称为校正子n监督关系式：19Ø纠错基本原理n 中，S只有两种取值，故只能表示有错和无错，而不能进一步指明错码的位置 n若此码组长度增加一位，则能增加一个监督关系式这 样，就能得到两个校正子两个校正子的可能取值有4种 组合，即00，01，10，11，故能表示4种不同的信息若 用其中一种组合表示无错码，则还有其他3种组合可以用 于指明一个错码的3种不同位置， 从而可以有纠错能力n一般而言，若有 r 个监督关系式，则 r 个校正子可以指明 一个错码的 (2^r – 1) 个不同位置 n当校正子可以指明的错码位置数目等于或大于码组长度n时，才能够纠正码组中任何一个位置上的错码，即要求20Ø汉明码n例：要求设计一个能够纠正1个错码的分组码(n, k)，给定 的码组中有4个信息位，即k = 4 p由 这时要求监督位数r  3若取r = 3，则n = k + r = 7 现在用a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0表示这7个码元，用S1 S2 S3表 示校正子，则这3个校正子恰好能够指明23 – 1 = 7个错 码的位置。

p若规定校正子和错码位置的关系如下表，则仅当在a6, a5, a4 , a2位置上有错码时，校正子S1的值才等于1；否 则S1的值为零这就意味着a6 a5 a4 a2四个码元构成偶 数监督关系：p同理，有S1 S2 S3错码 位 置S1 S2 S3错码 位 置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码21p在编码时，信息位a6 a5 a4 a3的值决定于输入信号，它 们是随机的监督位a2 a1 a0是按监督关系确定的，应 该保证上列3式中的校正子等于0，即有给定信息位后，为了 计算监督位，上式可 以改写为按照上式计算结果为信息位 a6 a5 a4 a3监督位 a2 a1 a0信息位 a6 a5 a4 a3监督位 a2 a1 a0000000010001110001011100110000101011010010001111010110010100110110000101011011101010011001111101000111000111111122p在接收端解码时，对于每个接收码组，先按式计算出校正子S1，S2和S3，然后按照表判断错码的位置。

例：若接收码组为0000011，则按上三式计算得到：S1 = 0，S2 = 1，S3 = 1这样，由上表可知，错码位置在 a3S1 S2 S3错码 位 置S1 S2 S3错码 位 置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码23p上例中的汉明码是(7, 4)码，其最小码距d0 = 3p由式p可知，此码能够检测2个错码，或纠正1个错码n汉明码的码率：当r (或n)很大时，上式趋近于1所以汉明码是一种高效编码24Ø分组码的一般原理n线性分组码的监督位和信息位的关系 可以改写为上式中，已经将“”简写成“+” 25n监督矩阵上式可以写成矩阵形式：（模2） 将上式简写为 HAT = 0T 或 AHT = 026HAT = 0T 式中， － 称为监督矩阵 n监督矩阵的性质p监督矩阵H确定码组中的信息位和监督位的关系pH 的行数就是监督关系式的数目，即监督位数 r pH 的每行中“1”的位置表示相应的码元参与监督关系 p H 可以分成两部分，例如－典型监督矩阵 式中，P 为r  k阶矩阵，Ir为 r  r 阶单位方阵 A = [a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0]0 = [000]27pH 矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到 r 个 线性无关的监督关系式。

p若一个矩阵能写成典型阵形式[P Ir]，则其各行一定是 线性无关的n生成矩阵p例：可以写为上式两端分别转置后，可以变成式中，Q为k  r 阶矩阵，是P的转置，即 Q = PT28将Q的左边加上一个k阶单位方阵，称为生成矩阵：－ 生成矩阵 G称为生成矩阵，因为可以用它产生整个码组A，即有p生成矩阵的性质n具有[Ik Q]形式的生成矩阵称为典型生成矩阵n由典型生成矩阵得出的码组A中，信息位的位置不 变，监督位附加于其后这种形式的码组称为系 统码 n矩阵G的各行也必须是线性无关的n如果已有k个线性无关的码组，则可以将其用来作 为生成矩阵G，并由它生成其余码组29n错误图样 设：发送码组A是一个n列的行矩阵：接收码组是一个n列的行矩阵B： 令接收码组和发送码组之差为E就是错码的行矩阵 －称为错。