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1、二、典型例题分析与解答 第七章机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程 (16)一、知识点与考点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、知识点与考点1.基本概念恒等式,含有未知函数导数或微分的方程.若函数y = (x)代入方程后可使之成为(3) 方程的解:(1) 微分方程:未知函数是一元函数的微分方程叫常微分方程.其一般形式为:标准形式为:(2) 方程的阶:方程中未知函数导数的最高阶数.则称函数y = (x)为方程的解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 特解:n阶微分方程的含有n个独立的任意常数的解称为方程的通解.通解:初始条件:微分方程不含任意常数的解称为方程的特解.确定通解中任意常
2、数的条件一阶方程的初始条件为:二阶方程的初始条件为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 一阶微分方程及其解法:分离变量:两边积分:(2) 齐次方程:则 y = x u ,(1) 可分离变量的方程:令原方程变为:分离变量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 两边积分:(3) 一阶线性微分方程:常数变易法:对应的齐次方程为:分离变量:两边积分:令是非齐次方程的解,两边积分得:代入非齐次方程得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程的通解为:将公式法:将方程化为标准形:把P(x) , Q(x)代入公式:直接积分即可求得原方程的通解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 这是以 p 为未知函数
3、 x 为自设其通解为 原方程的通解为:即3. 可降阶的高阶微分方程可用逐次积分法求解.(1)(2) 为降阶作变量代换,原方程变为则令(方程右端不显含未知函数y)变量的一阶方程.若可解,(方程右端仅含自变量x)(3)(方程右端不显含自变量x)为降阶作变量代换,令则原方程变为:机动 目录 上页 下页 返回 结束 这是以 p为未知函数 y 为自变量的一阶方程.设其通解为 若可解,即原方程的通解为:二、典型例题分析与解答 例1. 已知函数 y = y (x)在任意点x处的增量为且当x0 时,则 y (1) 等于( ) .y(0) = , 是 x的高阶无穷小,D分析 ：机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、 解此方程可得y(x),从而可得 y(1)的值.两边积分:由微分定义知解: 由于分离变量:且当x0 时, 是 x的高阶无穷小,由微分定义知即有:由 y (0) = 知 C =.函数的表达式为故选项(D)正确.例2. 微分方程 的通解为_.注释:本题考查可分离变量方程的解法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 所给方程为可分离变量的方程.分离变量:两边积分:应填:例3. 解:求微分方程满足初始条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 的特解 .所给微分方程变形为:将这是齐次微分方程.令则方程变为即为分离变量:两边积分:可得:代入得将代入得C = 1. 特解为注释:本题考查齐次方程的解法.例4
5、.解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分方程满足的特解为_.所给方程为一阶线性方程,方程两边但不是标准形. 其中则有将代入通解得: C = 0 .同除以x得:特解为:注释: 本题考查一阶线性非齐次方程的解法.例5.微分方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 的通解为_.为降阶令解: 所给方程是一个不显含未知函数 y 的二阶方程.注释: 本题考查二阶可降阶方程的解法.则代入原方程得:分离变量:两边积分:即有两边再积分得:例6.的特解.解:则原方程变为机动 目录 上页 下页 返回 结束 求微分方程满足初始条件所给方程是一个不显含未知函数 y 的二阶方程.为降阶令即为也即为(这一步是关键 !)则有:其中代公式:将初始条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 注释: 本题考查二阶可降阶方程的解法.代入得则有两边积分得:将初始条件代入得即有也即有满足初始条件的特解为(想一想为何开方只取正?)例7. 微分方程 解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 满足初始条件的特解为_.则原方程变为:分离变量:两边积分:把初始条件所给方程是一个不显含自变量 x 的二阶方程.令代入得则有即有把初始条件代入得特解为
