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1、Ch.3 线性系统的时域分析本章简介本 章 简 介 本章讨论线性系统的运动分析。 主要介绍 连续系统与离散系统的状态空间模型的求解、 状态转移矩阵的性质和计算以及 连续系统状态方程的离散化。 本章最后介绍基于Matlab的状态空间模型求解与 控制系统的运动仿真问题的程序设计与仿真计算 。概述 概 述 建立了系统的数学描述之后,接着而来的是 对系统作定量和定性的分析。 定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的 响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出 方程的求解问题。 定性分析主要包括研究系统的结构性质,如 能控性、 能观性、 稳定性等。概述 本章先讨论用状态空间模型描述的线性系统 的定量分析
2、问题,即状态空间模型-状态方程 和输出方程的求解问题。 根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微 分方程组,通常是很容易的。 可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易 事。 状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变 系统的求解公式具有一个统一的形式。 为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性 质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求 解公式。概述 本章讨论的另一个中心问题是连续系统状态 方程的离散化,即建立连续系统的离散系统 状态方程。 随着计算机在控制系统分析、设计和实时控制 中的广泛应用,这个问题显得越来越重要。 在离散系统状态方程建立的基础上,本章也将讨 论相应的状态方程求解问题
3、,并将导出在形式上 与连续系统状态方程的解一致的离散系统状态 方程的解。概述(4/4) 本章需解决的问题: 线性定常连续系统状态方程的解理论 基本概念: 状态转移矩阵 状态转移矩阵和矩阵指数函数eAt的性质和计算 如何将线性定常连续系统离散化 线性定常离散系统状态方程的解理论线性定常连续系统状态方程的解 3.1 线性定常连续系统状态方程的解 求解状态方程是进行动态系统分析与综合的 基础,是进行定量分析的主要方法。 本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间 上,以矩阵代数运算来描述的定系数常微分方程 解理论。 下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引 入了状态转移矩阵这一基本概念。 该概念对
4、我们深刻理解系统的动态特性、状态的 变迁(动态演变)等都是非常有帮助的,对该概念 必须准确掌握和深入理解。线性定常连续系统状态方程的解 本节需解决的主要问题 状态转移矩阵? 矩阵指数函数？ 状态转移矩阵和矩阵指数函数的性质 齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程的求解? 非齐次状态方程解的各部分的意义？ 输出方程的解？重点喔!重点与 难点喔!要理解 喔!线性定常连续系统状态方程的解 在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解 之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以 引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。 所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输 入项(u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。 研
5、究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力 作用下的自由(自治)运动。 所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项 的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用 下的强迫运动。线性定常连续系统状态方程的解 下面,将依次分别讨论: 齐次状态方程的解 线性定常连续系统的状态转移矩阵 线性定常连续系统非齐次状态方程的解 系统的脉冲响应线性定常齐次状态方程的解 3.1.1 线性定常齐次状态方程的解什么是微分方程的齐次方程? 齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x 是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该 方程的解。 所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自
6、治 方程 x=Ax齐次状态方程满足初始状态的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强 迫项(无外力)时的自由运动。线性定常齐次状态方程的解 对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解 方法有 级数展开法和 拉氏变换法 2种。 级数展开法1. 级数展开法 在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常 微分方程 在初始时刻t0=0的解。 该方程中x(t)为标量变量,a为常数。 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有式中,qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数。 级数展开法(2/12) 将所设解代入该微分方程,可得 如果所设解是方程的真实
7、解,则对任意t,上式均 成立。 因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得 令x(t)的解表达式中t=0,可确定 q0=x(0) 因此, x(t)的解表达式可写为级数展开法(3/12) 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广 至求解向量状态方程的解。 为此,设其解为t的向量幂级数,即 x(t)=q0+q1t+q2t2+qktk+ 式中,qk(k=1,2,.)为待定级数展开系数向量。 将所设解代入该向量状态方程x=Ax,可得q1+2q2t+3q3t2 +kqktk- 1+=A(q0+q1t+q2t2 +qktk+) 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立.因此,使t有相同幂次项
8、的各项系数相等,即 可求得级数展开法(4/12) 若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定 q0=x(0)=x0 因此, 状态x(t)的解可写为该方程右边括号里的展开式是nn维矩阵函数。 由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所 以称为矩阵指数函数,且记为级数展开法(5/12) 利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写 为： x(t)=eAtx0拉氏变换法(1/12)2拉氏变换法 若将对标量函数拉氏变换的定义扩展到向量 函数和矩阵函数,定义对向量函数和矩阵函数 的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数 的各个元素求相应的拉氏变换,那么可利用拉 氏变换及拉氏反变换的方法求解齐次状
9、态方 程的解。 对该齐次状态方程x=Ax,设初始时刻t0=0 且初始状态x(t)=x0,对方程两边取拉氏变换, 可得sX(s)-x0=AX(s) 于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换 为 X(s)=(sI-A)-1x0拉氏变换法(2/12) 对上式取拉氏反变换,即得齐次状态方程的解为x(t)=L-1(sI-A)-1x0 下面讨论如何求解拉氏反变换L-1(sI-A)-1。 主要思想为将标量函数的拉氏变换与反变换平行推 广至矩阵函数中。 对标量函数,我们有拉氏变换法(3/12)将上述关系式推广到矩阵函数则有其中eAt称为时间t的矩阵指数函数，并有拉氏变换法 因此,基于上述(sI-A)-1
10、的拉氏反变换,该齐次 方程的解为 x(t)=L-1(sI-A)-1x0 = eAt x0上述拉氏反变换法求解结果与前面的级数展开法 求解结果一致。 若初始时刻t00,对上述齐次状态方程的解作坐 标变换,则可得解的另一种表述形式:q 状态方程的解表达式说明了齐次状态方程的解实质上是初始 状态x(t0)从初始时刻t0到时刻t系统运动状态的转移,其转移特 性和时刻t的状态完全由矩阵指数函数 和初始状态x(t0) 所决定。拉氏变换法 为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的 线性定常连续系统的状态转移矩阵如下: (t)=eAt 因此,有如下关系式x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0) 由上述状态
11、转移矩阵定义和齐次状态方程的解, 系统状态转移矩阵有如下关系 (t)=L-1(sI-A)-1拉氏变换法q 齐次状态方程的解描述了线性定 常连续系统的自由运动。 由解的表达式可以看出,系统 自由运动的轨线是由从初始时 刻的初始状态到t时刻的状态 的转移刻划的,如图3-1所示。图3-1 状态转移特性拉氏变换法 当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息 。 可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键 。拉氏变换法例3-1 例3-1 试求如下状态方程在初始状态x0下 的解q 解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt,其计算
12、过程为拉氏变换法(9/12) 例3-1(3) 状态方程的解为(2) 计算矩阵指数函数eAt。线性定常连续系统的状态转移矩阵 3.1.2 线性定常连续系统的状态转移矩阵 下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主 要内容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质基本定义:状态转移矩阵的定义1. 基本定义 定义3-1 对于线性定常连续系统x=Ax,当初 始时刻t0=0时,满足如下矩阵微分方程和初 始条件:(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x=Ax的状态转 移矩阵。 这里定义的状态转移矩阵与前面定义的是一 致的。 引入上述状态转移矩阵新定义,主要是为了使状 态转
13、移矩阵的概念易于推广到时变系统、离散系 统等, 使得有可能对各种类型系统的状态方程的解作统 一描述，更好地刻划系统状态运动变化的规律。几类特殊形式的状态转移矩阵 当系统矩阵A为nn维方阵时,状态转移矩阵 (t)亦为nn维方阵,且其元素为时间t的函 数。 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移 矩阵 1) 对角线矩阵。 当A为如下对角线矩阵: A=diag1 2 n 则状态转移矩阵为式中，diag表示由括号内元素组成对角线 矩阵。几类特殊形式的状态转移矩阵 (2) 块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵:A=block-diagA1 A2 Al其中Ai为mimi维的分块矩阵,则状态转移矩阵 为式中
14、，block-diag表示由括号内各方块矩 阵组成块对角矩阵。几类特殊形式的状态转移矩阵 (3) 约旦块矩阵。当Ai为特征值为i的mimi维约旦块,则分块矩 阵的矩阵指数函数为q 对上述三种特殊形式矩阵的状态转移矩阵和矩阵指数函数, 可利用矩阵指数函数的展开式证明。状态转移矩阵的性质2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的 定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具 有如下性质(t)为方阵A的状态转移矩阵)1) (0)=eA0=I状态转移矩阵的性质2) eA(t+s)=eAteAs ， (t+s)=(t)(s)式中t和s为两个独立的标量自变量证明 由指数矩阵
15、函数的展开式,有3) (t2-t1)-1=(t1-t2)状态转移矩阵的性质 4) 对于nn阶的方阵A和B,下式仅当AB=BA时 才成立 e(A+B)t=eAteBt5) 6) (t)n=(nt) 7) (t2-t1)(t1-t0)=(t2-t0) 状态转移矩阵的性质 由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=(t2-t1)x(t1)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)=(t2-t1)(t1-t0)x(t0)而x(t2)=(t2-t0)x(t0)因此，性质(7)表明,在系统的状态转移过程中,既可以将系统的 一步状态转移分解成多步状态转移,也可以将系统的多步状态 转移等效为一步状态转移,如图3-2所示。图3-2 系统的状态转移状态转移矩阵的性质 例3-2 求如下系统的状态转移矩阵的逆矩阵 。解： 对于该系统,在例3-1已求得状态转移矩 阵为 由于-1(-t)=(t),所以求得状态转移矩阵的 逆矩阵为非齐次状态方程的解 3.1.3 非齐次状态方程的解 当线性定常连续系统具有输入作用时,其状态 方程为如下非齐次状态方程: x=Ax+Bu 该状态方程在初始状态下的解, 也就是由初
