电动力学.数学预备

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1、电动力学 数学预备 2007级基地班/逸仙班,2009.3中山大学物理科学与工程技术学院黄迺本 电动力学 数学预备 经典电动力学的研究对象 教学目标 教材和主要参考书 课程考核 矢量和张量电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核 经典电动力学的研究对象电动力学是在电磁学基础上开设的理论性课程。本课程主要研究电磁场的基本规律及其与物质的相互作用，以及运用这些规律定量研究和处理各种电磁问题，包括： 静电场与静磁场的边值问题 势的物理效应与势的规范变换问题 电磁波的传播与辐射问题 电磁场与带电粒子相互作用问题 电动力学的相对论不变性、电磁势和电磁场的相对论变换，等.电 动 力 学 教 学 目 标

2、与 考 核 教学目标通过本课程的学习，学生应掌握电磁相互作用的基本规律，以及应用这些规律处理各类电磁系统的实际问题的基本理论方法，为进一步学习相关专业课程、或从事相关领域的科学研究打下基础. 主要数学工具微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数,等.电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核 教材和主要参考书教材：郭硕鸿著、黄迺本 李志兵 林琼桂修订电动力学（第三版）高等教 育出版社，2008.主要参考书：1黄迺本，方奕忠电动力学（第三版）学习辅导书，高等教育出 版社，2009.2Jackson.J.D.Clasical Electrodynamics.3rd ed. New Yo

3、rk：Wiley， 1998. 或中译本 ,高等教育出版社.3费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005.4朗道等,场论人民教育出版社，1959.5俞允强,电动力学简明教程，北京大学出版社，1999.6蔡圣善等,电动力学（第二版），高等教育出版社，2003.7尹真,电动力学（第二版），科学出版社，2005.电 动 力 学 教 学 目 标 与 考 核 课程考核（1）课程论文与平时训练,占总成绩40% .课程论文有独到见解者加分. （2）期末闭卷考试，占总成绩 60% .课程论文目的：鼓励交流讨论、广泛涉猎、扩大视野、了解知识的应用与学科前沿发展动态；培养查阅文献资料、提出和解决问题的能力

4、；学习科学研究的方法.课程论文的要求论文内容：与电动力学相关的各种理论问题，或实际应用. 论文格式： 论文题目 作者姓名 班级 学号摘要（Abstract）关键词（Key Words）正文：引言（问题的背景与科学意义）你的论述、论证，或实验和结果结语参考文献 1作者名，文献题目（或参考书名），期刊名（或出版社）， 卷/期，页码,年份. 2 所列参考文献，必须在正文中提及，并按出现次序，用右上 角标，如: 1 , 标示序号.交课程论文的时间：第十八周.物理学观测+猜想+定量描写自然界各种层次物质的结构、存在形态与相互作用规律,并不断经受实践检验的基础科学. 如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙

5、这本书,它的语言就是数学. Galileo 矢量和张量 1.矢量和张量代数 物理量分类在三维空间转动下，物理量按其变换性质（见教材P209-212），分为：0 阶张量，即标量(scalar)，只有30 =1个分量,无空间取向. 如长度l ,时间t ,质量 m ,温度T,能量E ,等.1阶张量，即矢量(vector)，由31 = 3个分量构成有序集合,有一定的空间取向.如位置矢量,速度,加速度,动量,作用力,力矩, 角动量,电流密度,电偶极矩,磁偶极矩,等. 2阶张量(tensor),由32 =9个分量构成有序集合,空间取向比矢量复杂.如刚体的转动惯量,电四极矩,电磁场应力张量,等.可以定义更高

6、阶张量.如 3阶张量，由33 =27个分量构成有序集合.1.矢量和张量代数 矢量表示书写在字母上方加一箭头，如 . 印刷用黑体字母表示，如 r , A . 场概念Maxwell 提出的“电磁场” （electromagnetic field）概念,是19世纪物理学的伟大创举.现在我们知道,“场”与粒子，是物质的两种基本存在形态.1.矢量和张量代数物理量在空间中的分布构成“场”,亦即场量是空间坐标（以及 时间）的函数.例如:温度分布T (x,y,z,t) 标量场 流体速度分布v (x,y,z,t)矢量场 电磁场的两个基本场量电场强度E(x,y,z,t ),磁感应强度B(x,y,z,t ) 都是矢

7、量场可以用势描写电磁场: 标势（scalar potential） (x,y,z,t ) 标量场矢势 (vector potential)A(x,y,z,t )矢量场在相对论四维时空中： 和A统一为四维协变矢量.E 和B统一为四维协变张量. 量子理论：电磁场有波粒二象性,电磁场（光子场）由波函数 描述.光子的能量E = h , 光子的动量p = h /c .1.矢量和张量代数 正交坐标系的基矢量三维空间正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系) 基矢量e1, e2 ,e3 的正交性,可表示为(1.1)一般矢量A 有三个独立分量A1，A2，A3，故可写成(1.2)u1u2u3A1.矢量和张量

8、代数 矢量的乘积 两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)AABBABAcosBcos ABCAB1.矢量和张量代数 并矢量与二阶张量 两个矢量A 和B 并置,构成并矢量 (1.7)它有9个分量AiBj 和9个基ei ej.一般地u1u2u31.矢量和张量代数三维空间二阶张量也有9个分量Tij ，它的并矢量形式与矩阵 (matrix)形式分别为(1.8)(1.9)u1u2u31.矢量和张量代数 张量的迹,是其主对角线全部元素(分量)之和：(1.10)trT = 0 的张量,称为无迹张量. 单位张量,其并矢量形式与矩阵形式分别是(1.11)(1

9、.12)因此(1.1)式中的符号 ij ,实际上是单位张量的分量. 1.矢量和张量代数 对称张量与反对称张量若Tij=Tji,称之为对称张量，它有6个独立分量.若对称张量的迹 trT = 0 ，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若Tij=-Tji称之为反对称张量,由于T11=T22=T33= 0, 反对称张量只有3个独立分量.任何张量Tij 均可写成一个对称张量Sij 与一个反对称张量Aij 之和，即Tij= Sij+ Aij，只需使 Sij= (Tij+ Tji) /2 ， Aij= (Tij-Tji) /2 1.矢量和张量代数 二阶张量与矢量点乘，结果降阶为矢量.由(1

10、.1)式，有(1.13)(1.14)一般地 . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：(1.15)1.矢量和张量代数 并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果降阶为标量.运算规则:先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：(1.16)2.矢量和张量分析（1）算符 和2 表示“场”的物理量,一般地是空间坐标（和时间）的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.温度T 的分布,静电势 的分布,都构成标量场.电流密度J, 电场强度E, 磁感应强度B, 矢势A 的分布,都构成矢量场.(读“del”) 是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符.= 2 是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算

11、符.2.矢量和张量分析在直角坐标系中， (2.1)当P点位置变化时，三个基矢量的方向保持不变，即ex ,ey ,ez 均是常矢量.xyzP2.矢量和张量分析（2）标量场的梯度(gradient of a scalar field)标量场 在某点P 的梯度(2.2)是一个矢量，它在数值上等于 沿其等值面的法向导数，方向沿 增加的方向，即(2.3)en是等值面的法向单位矢量.例如,静电势 的分布是一个标量场,- = E 即变成矢量场静电场. xyzP2.矢量和张量分析（3）矢量场的散度(divergence of a vector field)矢量场A通过某曲面S 的通量(flux),定义为(2.

12、4)其中dS = dSen 是曲面某点P 附近的面积元矢量，方向沿曲面在该点的法向en .对于闭合曲面(closed surface)，规定: dS 的方向沿曲面的外法向.PP2.矢量和张量分析对于矢量场A中包含任一点P(x,y,z)的小体积V ,其闭合曲面为S ，定义极限(2.5)为矢量场A 在该点的散度,它是标量.在直角坐标系中(2.6)若处处均有A = 0，就称A为无散场(solenoidal field),或无源场,它的场线必定是连续而闭合的曲线.例如，磁场的B线总是连续而闭合（遵从磁通连续性）,故B是无散场,即B = 0P2.矢量和张量分析高斯定理(Gauss theorem) 对任

13、意闭合曲面S 及其包围的体积V，下述积分变换定理成立(2.7)由此推知，若A 是无散场，即处处有A = 0 ,则A 场通过任何闭合曲面S 的净通量均为零.例如磁场B.P2.矢量和张量分析（4）矢量场的旋度(curl of a vector field)矢量场A沿闭合路径(closed contour)的积分称为A沿L 的环量(circulateon).其中dl 是路径L的线元矢量.若对任意闭合路径L，均有(2.8)则A 称为保守场（conservative field）.L2.矢量和张量分析当闭合路径L 所围成的面积元S 是某点P 的无限小邻域，我们约定：路径积分的绕行方向即dl 的方向，与其

14、所围成的面积元矢量S = S en 的法向en成右手螺旋关系.并定义极限(2.9)为矢量场A 在P点的旋度A 在en方向的分量.在直角坐标系中(2.10)它是矢量.LP2.矢量和张量分析如果所有点上均有A= 0 称A 为无旋场(irrotational field). 例如, 静电场E 就是无旋场,即处处有E = 0 .斯托克斯定理(stokes theorem) 对任意的闭合路径L 所围的曲面S，下述积分变换成立(2.11)LSAdl2.矢量和张量分析（5）矢量场的几个定理 标量场的梯度必为无旋场：(2.12)【证】对任意标量场 的梯度取旋度，可得,2.矢量和张量分析逆定理：无旋场必可表示成

15、某一标量场的梯度，即若 A= 0 , 必可令 A= 例如, 静电场强度E,可用标势 的负梯度描写: E = - . 矢量场的旋度必为无散场：(2.13)【证】逆定理：无散场必可表成另一矢量场的旋度，即若 B = 0 , 必可令 B = A例如,磁感应强度B，就可用矢势A 的旋度描写.2.矢量和张量分析（6）算符运算标量函数 的梯度 是矢量,矢量函数f 的散度 f 是标量，旋度 f 是矢量，而 f 是二阶张量：(2.14)若 和 是标量函数，f 和g 是矢量函数，有(2.15)(2.16)(2.17) (2.18)(2.19) (2.20)(2.21)(2.22)上述运算,不必采用化成分量的方法进行，只要抓住算符的微分作用及其矢量性质，便可快捷准确地写出结果.当作用于两个函数的乘积（或两个函数之和）时,表示它对每一个函数都要作微分运算,可以先考虑对第一个量的作用，并 将这个量记为的下标，以示算符只对此量执行微分运算，第二 个量则视为常数，再