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1、1第五单元第五单元 数列数列第第 2828 讲讲 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法课前双击巩固课前双击巩固1.数列的有关概念有关概念定义数列按照 排列的一列数 数列的项数列中的 数列的通项数列an的第n项an通项公式数列an的第n项an与 之间的关系式 前n项和数列an中,Sn = 2.数列的表示法表示法定义列表法通过表格表示n与an的对应关系图像法用平面直角坐标系内的y轴 一系列孤立的点表示 通项公式an= 公式法 递推公式an+1= f(an) ;an+1=f(an, an-1)3.数列的分类分类原则类型满足条件递增数列 递减数列 单调性常数列nN*an+1=an周期性周期数列
2、对nN*,存在正整数常数k, 2使an+k = 有界数列存在正数M,使 其他标准 摆动数列从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项4. an 与Sn 的关系已知数列an的前n项和Sn ,则an= 1, = 1, - - 1, 2.?常用结论求数列的最大(小)项,一般可以利用数列的单调性,即用(n2,nN*)或 - 1, + 1?(n2,nN*)求解,也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解. - 1, + 1?题组一 常识题1. 教材改编 已知数列的前几项为 1,-,-,则该数列的一个通项公式是 . 3225327422. 教材改编 已知数列满足an=(n-)2n(n
3、N*),若an是递增数列,则实数的取值范围是 . 3. 教材改编 在数列中,若a1=1,an=1+(n2),则a3= . 1 - 1题组二 常错题索引:忽视数列是特殊的函数,其自变量为正整数集 N*或其子集1,2,n;求数列前n 项和Sn的最值时忽视项为零的情况;根据Sn求an时忽视对n=1 的验证.4.在数列-1,0, , ,中,0.08 是它的第 项. 1918 - 225.在数列an中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n= . 36.已知Sn=2n+3,则an= . 课堂考点探究课堂考点探究探究点一 根据数列的前几项求数列的通项公式1 (1)数列的前几项为 ,3,8,
4、则此数列的通项公式可能是( )12112212A.an= B.an=5 - 423 - 22C.an=D.an=6 - 5210 - 92(2)数列 ,-, ,-,的一个通项公式为( )325478916A.an=(-1)n2+ 12B.an=(-1)n2 + 12C.an=(-1)n+12+ 12D.an=(-1)n+12 + 12(3)数列的前几项为 7,77,777,7777,则此数列的通项公式可能是 . 总结反思 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略:(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联 想(联想常见的数列)等方法.同时也
5、可以使用添项、还原、分割等方法,转化为一个常见数 列,通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式.(2)具体策略:分式中分子、分母的特征;相邻项的变化特征,如递增时可考虑关于n为 一次递增或以 2n,3n等形式递增;拆项后的特征;各项的符号特征和绝对值的特征;化 异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;对于 符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,nN*来处理.4式题 (1)数列,的一个通项公式为 . 152245351048176326(2)数列 ,-, ,-,的一个通项公式可以为 . 134597169探究点二 由an与Sn求通项公式an2
6、 (1)已知数列的前n项和Sn=2n+n2+1(nN*),则通项公式为an= . (2)已知数列的前n项和Sn满足an+2SnSn-1=0(n2,nN*),a1=,则通项公式为an= 12. 总结反思 已知Sn求an的常用方法是利用an=转化为关于an的关系式,再1, = 1, - - 1, 2?求通项公式.主要分三个步骤完成:(1)先利用a1=S1,求得a1;(2)用n-1 替换Sn中的n得到一个新的关系式,利用an=Sn-Sn-1(n2)便可求出当 n2,nN*时的通项;(3)对n=1 时的结果进行检验,看是否符合n2,nN*时an的表达式,如果符合则可以把数 列的通项公式合写;如果不符合
7、,则应该分n=1 与n2 两段来写.式题 (1) 2017西宁五中月考 已知数列的前n项和Sn= n2+,则通项公式为an= 1323. (2)已知数列的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,则数列的通项公式为an= . 探究点三 数列的函数特征考向 1 求最大(小)项3 (1) 2017临川实验中学月考 已知an=(nN*),则在数列的前 100 项中 - 2017 - 2016最小项和最大项分别是( )A.a1,a100B.a100,a44C.a45,a44D.a44,a45(2)已知数列的通项公式为an=(n+1)(nN*),则该数列的最大项是第 项. (1011)5总结反思 求数列的最大
8、项与最小项的常用方法:(1)将数列视为函数f当xN*时所对应的一列函数值,根据f的类型作出相应的函数图()()像,或利用求函数最值的方法,求出f的最值,进而求出数列的最大(小)项;()(2)通过通项公式an研究数列的单调性,利用(n2)确定最大项,利用 - 1, + 1?(n2)确定最小项. - 1, + 1?(3)比较法:若有an+1-an=f(n+1)-f(n)0 或an0 时,1 ,则an+1an,则数列an是递增数列,所以 + 1数列an的最小项为a1=f(1);若有an+1-an=f(n+1)-f(n)0 时,0 时,an是 数列;当d0,d0,则Sn存在最 值. 常用结论等差数列的
9、性质1.已知an,bn是公差分别为d1,d2的等差数列,Sn是an的前n项和,则有以下结论:(1)a2n是等差数列,公差为 2d1.(2)pan+qbn是等差数列(p,q都是常数),且公差为pd1+qd2.(3)ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为 md1 的等差数列.10(4)成等差数列,其首项与an的首项相同,公差是an的公差的 .12(5)数列pan,an+p都是等差数列(p,q都是常数),且公差分别为pd1,d1.2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质(1)若项数为 2n,则S偶-S奇= nd ,=.奇偶 + 1(2)若项数为 2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇= na
10、n,S奇-S偶= an ,= .奇偶 - 13.两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,它们之间的关系为=.2 - 12 - 1题组一 常识题1. 教材改编 在等差数列中,a5=9,且 2a3=a2+6,则a1= . 2. 教材改编 在等差数列中,a2=-1,a6=-5,则S7= . 3. 教材改编 在等差数列中,S4=4,S8=12,则S12= . 4. 教材改编 已知等差数列的公差为d(d0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m= .题组二 常错题索引:忽视等差数列中项为 0 的情况,考虑不全而忽视相邻项的符号,等差数列各项的符号 判断不正确5.在等差数列an中
11、,a1=-28,公差d=4,则前n项和Sn取得最小值时n的值为 . 6.首项为-20 的等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差d的取值范围是 . 7.已知等差数列的通项公式为an=11-n,则|a1|+|a2|+|a20|= . 11课堂考点探究课堂考点探究探究点一 等差数列的基本运算1 (1) 2017蚌埠质检 已知等差数列的前n项和为Sn,且S6=24,S9=63,则a4=( ) A.4 B.5C.6 D.7(2)公差不为 0 的等差数列的前n项和为Sn,若a6=3a4,且S10=a4,则的值为( )A.15B.21C.23D.25总结反思 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉
12、及五个量a1,n,d,an,Sn,知道其 中三个就能求出另外两个.(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量,即首项a1和公差d.式题 (1) 2017鹰潭二模 等差数列的前n项和是Sn,且a3=1,a5=4,则S13=( )A.39B.91C.48D.51(2)已知等差数列的前n项和为Sn,且 3a3=a6+4,若S50,d0 时,满 0, + 1 0?足的项数n,使Sn取最小值.即正项变负项处最大,负项变正项处最小.若有零项, 0, + 1 0?则使Sn取最值的n有两个.式题 (1) 2017大庆实验中学月考 设等差数列的前n项和为Sn,a10 的n的最大值为( )A.11B.19C.2
13、0D.21第第 3030 讲讲 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和课前双击巩固课前双击巩固1.等比数列中的有关公式已知等比数列an的首项为a1,公比是q,前n项和为Sn,则等比数列定 义式(n2,q0 且q为常数) 等比中项=(G是a与b的等比中项) 通项公式 或 前n项和公 式当q=1 时,Sn= ; 当q1 时,Sn= = 2.等比数列的性质已知an是等比数列,Sn是an的前n项和.(1)若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则有aman= . (2)若q-1,或q=-1 且m为奇数,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成 数列,其公比为 . 3.等比数列与函数的关系(1)
14、等比数列的通项公式可以写成an=qn(q1),前n项和公式可以写成Sn=qn- 11 - 11 - 1(q1).15(2) 满足 或 时,an是递增数列;满足 或 时,an1 0, 1?1 0, 0 1?是递减数列; 当q=1 时,数列an是常数列; 当q0,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3= . 课堂考点探究课堂考点探究探究点一 等比数列的基本运算1 (1) 2017揭阳二模 已知等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a5=( )A.1 B.12C.D.414(2) 2017山西三区八校二模 设等比数列的前n项和为Sn, 若a3=3,且a2016+a2017=0,则S101等于( )A.3 B
