套利定价理论与实践

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1、南开大学金融专业硕士 核心课程 投资组合管理 第二版 南开大学金融学系 李学峰 2012.91 1第三章 套利定价理论与实践 套利与无套利分析 套利定价理论 套利定价理论的应用2 2第一节 套利与无套利分析 套利及其基本形式 无套利均衡 无套利定价分析3 3一、套利及其基本形式套利（Arbitrage），即无风险套利。是指利用 一个或多个市场上存在的各种价格差异，在不冒任 何风险或冒较小风险的情况下赚取大于零的收益的 行为。 （一） “无风险套利”行为的特点1，不承担风险。一种情况是风险因素相抵消， 如不同的市场中买卖同一不同定价的证券；另一种 情况是在确凿的市场参数条件下，虽然标的并非完 全

2、相关，但确凿的市场参数预期是的投资行为是近 似无风险的。2，套利主体不确定，不一定为所有投资者。动 作“剧烈”，少数投资者发现套利机会，做出巨大 的头寸。3，瞬时性。机会与行为的瞬间即逝。4 4（二）套利的基本形式空间套利或称地理套利，是指在一个市场上低价买进某种商品，而在另一市场上高价卖出同种商品，从而赚取两个市场间差价的交易行为。比如投资者在相对高价的市场卖出资产，而在相 对低价的市场买入资产。在高价市场出售资产所得 资金用于在低价市场购买资产，利用这种高低价市 场的价格联系，获取套利。这即是空间套利。时间套利是指同时买卖在不同时点交割的同种资 产，包括现在对未来的套利和未来对未来的套利。

3、5 5比如投资者在当前购买（或卖出）一种资产，同 时承诺在将来某个时间卖出（或买进）该项资产。 它是在两个不同的时间同时进行的买卖一种资产的 行为。工具套利是利用同一标的资产的现货及各种衍生证券的价格差异，通过低买高卖来赚取无风险利润的行为。在这种套利形式中，多种资产或金融工具组合在一起，形成一种或多种与原来有着截然不同性质的金融工具，这就是创造复合金融工具的过程 。课堂练习：请你构造一个简要案例说明工具套利行为。6 6风险套利是指利用风险定价上的差异，通过买低卖高赚取无风险利润的交易行为。根据高风险高收益原则，风险越高，所要求的风险补偿就越多。保险是风险套利的典型事例。税收套利是指不同投资主

4、体、不同证券、不同收入来源以在税收待遇上存在的差异所进行的套利交易。二、无套利均衡7 7套利机会的大量和持续性出现，意味着市场处 于非均衡状态，此时投资者的套利行为将最终消除 套利机会，使市场恢复均衡。这一状态下的市场称 为无套利均衡，它是指即使很少的投资者能发现套 利机会,并动用大笔资金获利,也能通过价格变动,很 快恢复均衡的结果。现代金融研究的基本方法是无套利均衡分析 （No-Arbitrage）方法。在金融资产的定价分析过 程中，无套利定价法既是一种定价的方法，也是定 价理论中最基本的原则之一。8 8事实上，确定无套利价格是金融资产定价的核 心，其价值与意在于：无套利价格至少可以用于金

5、融产品的创新、资产管理、对持有的组合资产进行 市值计算以及与实际价格作比较，以发现短期内可 能出现的价差等等。 （一）套利投资组合的条件一个有效的套利组合必须同时满足如下三个条件1，应是一个不需要投资者增加额外资金的组 合。以xi表示投资者对证券i的持有量的改变量， 则该条件要求：x1+x2+xn=09 9即组合中各证券之间的持有量具有替代性（有 增加即有减少），但组合中所有证券持有量的总体 变化为0（增减抵消）。这一条件表明投资者一方面 要大量购入头寸，另一方面还要大量卖出头寸；而 且买卖行为是同时进行的。2，该组合对任何因素都没有敏感性，即组合不 存在额外风险，换言之，组合的系统风险为0

6、。即 ：pj=0这正是所谓无风险套利的原因。3，组合的预期收益必须为正，即：1010x1E(r1)+x2E(r2)+xnE(rn)0否则构建组合无意义。可见，有效的套利组合是有吸引力的：不需要 额外资金、无额外风险、收益为正。 （二）无套利定价分析其基本思想是：套利是利用同一种实物资产或证券的不同价格来 赚取无风险利润的行为；如果投资者可以找到这样一种证券组合，其初始 净投资为零而又能赚得正值收益，那么所有投资者 都会去投资于这种吸引人的证券，结果这种证券组 合的价格将发生变化，直到均衡状态下正的收益降 为零；1111当这种交易不再存在时，就失去了套利机会，并且 得到了一种与资本资产定价模型类

7、似的风险收 益模型。 案例3：套利投资组合的构造假设有如下表1所示参数：表1 有关参数股票当前价格 （元）预期收益率 (%)标准差 (%)A1025.029.58 B1020.033.91 C1032.548.15 D1022.258.581212投资者不同情况下的预计收益率如表2：表2计划的收益率（%）不同 情况高实际利率低实际利率高通货膨 胀率低通货膨 胀率高通货膨 胀率低通货膨 胀率概率0.250.250.250.25股票A-20204060股票B07030-20股票C90-20-1070股票D152315361313将表2中不同概率下的预计收益率代入期望收益率 计算公式，并依据相关系数

8、计算公式，我们即得到 如下表3的结果：表3统计统计 的收益率股票现行价 （元）期望收益 率标准 差相关系数ABCDA102529.581.00 -0.15 -0.29 0.68 B102033.91 -0.15 1.00 -0.87 -0.38 C1032.548.15 -0.29 -0.87 1.00 0.22 D1022.258.580.68 -0.38 0.22 1.00 1414从上表的原始收益预期收益可观察到，资产A与 B和C之间存在着负相关性，可望通过组合来降低风 险。将A、B、C按等比例方式构造一投资组合，可分 别计算出每种经济状态下该组合的收益，从而可计 算出该组合的收益率和标

9、准差。同理，可以计算出这一组合与D之间的相关系数 。以上计算结果如下表4所示。1515表4 计算结果将表4结果绘制为下图，我们可直观比较组合与 股票D的风险与收益：预期收益率 (%)标准差 (%)相关性由A，B & C组成的 资产组 合25.836.400.94股票D22.258.58E(r)sPD25.83 22.256.408.581616据此，我们可做如下套利操作：卖空三股股票D购买1份由A， B & C组成的资 产组合P由此得到的回报: 多头组合P的回报率高于空头资产D的回报率。 课堂作业：请在我国股市中选择4只股票，模仿本案例进行 套利操作分析。1717第二节 套利定价理论假设与主要

10、观点 模型 对套利定价理论的进一步研究1818在一个均衡的资本市场中，所有的资产将遵循 “一价法则”，即同一个资产（或具有相同风险和 回报率水平的证券）既便在不同的市场上也只有一 个均衡价格。当“一价法则”被违反时，即出现了 套利（arbitrage）机会。套利定价理论 （arbitrage pricing theory,APT）即通过对套利 条件和行为的研究，揭示出套利定价模型及其对市 场均衡的影响。套利定价理论本质上是一个多因素 定价模型。 一、假设与主要观点 （一）假设 1：市场是完全竞争的、无摩擦的。套利的 可实施性。19192，投资者是追求效用最大化的：当投资者具有 套利机会时，他们

11、会构造套利证券组合来增加自己 的财富。套利的主观性。3，所有投资者有相同的预期，特别是，投资者 都一致认为任一证券的收益率都是影响该证券收益 率的k个因素的线性函数预期不同属风险套利。4，市场上的证券的种类远远大于因子的数目 k。保证有足够多的证券来分散掉不同的风险。5，随机误差项为非系统风险，与所有影响因 素正交。2020（二）主要观点1，套利行为是利用同一资产的不同价格赚取无 风险利润的行为；在一个高度竞争的、流动性强的 市场中，套利行为将导致差价的消失，最终使市场 趋于均衡。2，APT理论认为，套利行为是市场效率（市场 均衡）的决定因素之一。如果市场未达到均衡，市 场上即存在套利机会，投

12、资者即会利用差价买入或 卖出，直至套利机会消失，市场恢复或达到均衡。3，套利机会主要表现于差价的存在，因此凡是 影响价格的因素都会影响套利机会是否存在。212122224，根据无套利均衡原则，在因素模型下，具有相 同因素敏感性的资产（组合）应提供相同的期望收益 率。 二、套利定价模型 （一）收益率与k因素的线性关系2222（二）APT：单因素模型上式中，k为因素组合的收益率。均衡状态下，任何风险资产的期望收益率与k风 险因素的敏感系数存在线性关系。2323（三）APT：多因素模型均衡状态下，任何风险资产的期望收益率与多个 风险因素的敏感系数存在线性关系。 （四）APT和分散化投资组合假设分散化

13、投资组合P由n个资产组成，iK表示 其中资产i对要素K的敏感度，PK表示该组合P对要 素K的敏感度，其中：2424是因素K的意外变化对于充分多样化的投资组合，eP趋于零 该结果类似于CAPM。该投资组合和单一证券比 较如下图所示：Frp(%)投资组合Fr(%)单一证券2525 案例4：非均衡情形考虑具有如下特征的投资组合：单一资产A，预期收益率为10%，=1；无风险资产B，预期收益率为4%；单一资产C，预期收益率为6%，=0.5；将以上资产在下图表示，同时得到A、B、C三个 点，连接A、B，并在其中找到同C点具有相同值的 D，可得到其预期收益率为7%。考察下图：因为资产组合D具有和资产C相等的

14、值，但比C 的期望收益大。所以可以进行如下操作：26261、卖空资产C；2、用已获资金构造一相同风险而较高收益的组 合D，D由50%的A和50%的B组成；3、可以获得套利利润为1%。E(r)%1076无风险利率= 4ADC0.51.0B2727三、对套利定价理论的进一步研究 （一）因素的识别与估计套利定价理论对系统风险进行了细分，而且又 能够测量每项资产对各种系统因素的敏感系数，因 而可以使得投资组合的选择更准确，对实际的组合 策略更具有指导意义。要利用APT来定价，首先必须辨别市场中重要的 因素的类别，并对因素进行估计。1，因素的识别直观上来说，因为股票的价格应视为将来红利 的贴现值，而将来

15、的红利与总的经济状况如GDP增长 率或工业生产的增长率有关；贴现率则与通货膨胀 率和利率有关，所以，重要的因子应具有以下特征 ：28281，它们应该包含表明总的经济行为的指标；2，它们应该包含通货膨胀；3，它们应该包含某种利率。一般而言，在学术研究和实际分析中，我们会 确定3到5个因素。如，根据特定的研究，可以设定 ： GDP增长率、长短期利率差、石油价格变化率、国防 开支增长率等。上述因素的识别，其理论基础与指导思想来源 于宏观经济学，微观经济学，产业组织，基本分析 。Chen， Roll， Ross （1986）推荐了四个经济 要素：未预期到的行业生产情况的变化2929未预期到的低级债券和

16、高级债券之间的价差变化 未预期到的收益曲线的形状和利率的变化 未预期到的通货膨胀率的变化 2，因素模型的估计主要应用如下方法进行估计：时间序列方法(Times-series approaches)。最 直观的方法。假设投资者事先知道影响证券回报率 的因素。准确度量因素值是关键。横截面方法(Cross-sectional approaches)。 先估计敏感度，再估计因素的值。注意计量经济学 上与时间序列方法的区别。3030因子分析方法(Factor-analytic approaches) 。 既不知道因素的值，也不知道对因素的敏感度。 （二）因素模型与CAPM的比较总体而言，套利定价理论(APT)是由Stephen Ross在70年代中期建立的。在某种意义上来说，它 是一种比CAPM简单的定价理论：最优投资组合理论+ 市场均衡=CAPM；因素模型+无套利=APT具体来看，CAPM用beta系数来解释风险的大 小，但无法告诉投资者风险来自何处；而APT用多个 因素共同来解释。如用通货膨胀的意外变化