返回返回后页后页前页前页一、惟一性§2 收敛数列的性质本节首先考察收敛数列这个新概念有哪七、一些例子六、极限的四则运算五、迫敛性(夹逼原理)四、保不等式性三、保号性二、有界性些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.返回返回返回返回后页后页前页前页一、惟一性定理 2.2 若收敛, 则它只有一个极限.证 设下面证明对于任何定数若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0,返回返回后页后页前页前页当 n > N 时 (1), (2)同时成立,从而有返回返回后页后页前页前页二、有界性即存在证对于正数若令则对一切正整数 n , 都有定理 2.3 若数列返回返回后页后页前页前页件.注 数列是有界的, 但却不收敛.这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条返回返回后页后页前页前页三、保号性定理 2.4对于任意两个实数 b, c , 证注我们可取这也是为什么称该定理为保号性定理的原因., 则存在 N, 当 n > N 时,返回返回后页后页前页前页例1 证明证 对任意正数 ,所以由 这就证明了定理 2.4,返回返回后页后页前页前页四、保不等式性定理 2.5均为收敛数列, 如果存在正证所以返回返回后页后页前页前页是严格不等式.注 若将定理 2.5 中的条件 改为这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定也只能得到例如 , 虽然返回返回后页后页前页前页五、迫敛性 (夹逼原理)定理 2.6 设数列都以 a 为极限,证 对任意正数 所以分这就证得满足: 存在则返回返回后页后页前页前页例2 求数列的极限.所以由迫敛性，求得又因解有返回返回后页后页前页前页六、四则运算法则定理2.7则(1 )(2 )当为常数 c 时,(3)也都是收敛数列, 且有返回返回后页后页前页前页所以的任意性, 得到证明 (2)对于任意证明 (1)返回返回后页后页前页前页的任意性, 证得 证明 (3)由(2), 只要证明据保号性, 于是返回返回后页后页前页前页又因为即返回返回后页后页前页前页七、一些例子例3 用四则运算法则计算(1) 当 m=k 时, 有分别得出:解返回返回后页后页前页前页(2) 当 m N 时, 有又因为所以由极限的迫敛性, 证得返回返回后页后页前页前页例6 解所以由极限四则运算法则, 得故得返回返回后页后页前页前页例7 为 m 个正数, 证明证由以及极限的迫敛性, 可得返回返回后页后页前页前页定义1注返回返回后页后页前页前页定理 2.8证注返回返回后页后页前页前页例8 证 (必要性)返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页例9解因此,返回返回后页后页前页前页1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法,证明：复习思考题返回返回后页后页前页前页学过数列极限概念后，自然会产生两个§3 数列极限存在的条件 一、单调有界定理 下面就极限存在性问题, 介绍两个重要定理.二、柯西收敛准则理论中占有非常重要的地位.极限? 其中, 判断数列是否收敛, 这在极限即极限的存在性问题; 二是如何计算数列的问题：一是怎么知道一个数列是收敛的?返回返回返回返回后页后页前页前页一、单调有界定理定理 2.7 单调有界数列必有极限.证 该命题的几何意义是十分明显的. 单调增，有上界. 由确界定理，存在由上确界的定义，对于任意的使存在()返回返回后页后页前页前页例1 设求解这就证明了返回返回后页后页前页前页由此得到有上界 2 ,由极限的不等式性, 知道 , 所以下面再来证明此数列有上界.于是由可得返回返回后页后页前页前页例2 下面的叙述错在哪儿？因为显然有从而得出返回返回后页后页前页前页是最基本的, 而教材上的证法技巧性较强.返回返回后页后页前页前页由此得返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页*例3证证明:返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页例4证返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页二、柯西收敛准则定理 2.8 数列收敛的充要条件是:柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为：满足上述条件的数列称为柯西列.对任意均有返回返回后页后页前页前页时, 有证此这里仅给出必要性的证明.由此推得柯西( Cauchy,A.L.1789－1857 ,法国 ) 由于该定理充分性的证明需要进一步的知识，因 返回返回后页后页前页前页由柯西收敛准则的否定陈述, 可知 发散.发散.证明例5证 取使得返回返回后页后页前页前页例6求证证 返回返回后页后页前页前页例7证返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页论上特别有用, 大家将会逐渐体会到它的重要性. 2. 试给出{ an }不是柯西列的正面陈述.1. 对于数列是否收敛的各种判别法加以总结. 复习思考题注 柯西收敛准则的意义在于: 可以根据数列通 项本身的特征来判断该数列是否收敛, 而不必依 赖于极限定义中的那个极限值 A. 这一特点在理 。